1、 第 1 页 共 18 页【易错题解析】北师大版九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.计算：cos 245+sin245=（ ） A.
2、 B. 1 C.
3、 D. 12 14 22【答案】B 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：cos45=sin45= ， 22cos245+sin245= (22)2+(22)2= 12+12=1故选：B【分析】首先根据 cos45=sin45= &nb
4、sp;，分别求出 cos245、 sin245的值是多少；然后把它们求和，求出22cos245+sin245的值是多少即可2.三角形在方格纸中的位置如图所示，则 tan 的值是（ ）A. B.
5、 C. D. 34 43 35 45【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【
6、分析】根据三角函数的定义就可以解决【解答】在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边， tana=34故选 A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义3.在ABC 中， C90 ，BC 5，AB13，则 sinA 的值是（ ） A.
7、 B. C. D. 513 121
8、3 512 125【答案】A 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义 第 2 页 共 18 页【解析】【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，即可得到结果。【解答】sinA= ，BCAB=513故选 A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边。4.如图，ABC 中， ACB=90，CD AB 于点 D，若 CD：AC=2：3 ，则 sinBCD 的值是（ ） A. &nb
9、sp; B. C. &nb
10、sp; D. 255 23 21313 213【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：sinA= = ， ACB=90，CDAB，CDAC23A+B=90， BCD+B=90，A=BCD，sinBCD=sinA= = ，CDAC23故选：B【分析】根据正弦的定义求出 sinA，根据同角的余角相等得到 A=BCD，得到答案5.如图所示，在 RtABC 中，斜边 AB=3，BC=1 ，点 D 在 AB 上，且
11、 = ，则 tanBCD 的值是（ ）BDAD13A. B. 1
12、; C. D. 13 223 332【答案】C 【考点】平行线分线段成比例，解直角三角形 【解析】【解答】解：作 DEAC，在 RtABC 中，斜边 AB=3，BC=1，DEAC， = = ，BECEBDAD13第 3
13、 页 共 18 页BE= ，CE= ，BD= 14 34 34DE= = ，BD2-BE222tanBCD= = = DECE2234 223故答案为：C【分析】作 DEAC，根据平行线分线段成比例得出 BE、CE、BD 的长度，再根据勾股定理得 DE 得长度，最后由正切定义得出结论。6.如图，已知 A 点坐标为（5，0 ），直线 y=x+b（b0）与 y 轴交于点 B，连接 AB， =75，则 b 的值为（ ） A. 3 &n
14、bsp; B. C. 4 &
15、nbsp; D. 534 533【答案】D 【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：令直线 y=x+b 与 x 轴交于点 C，如图所示 令 y=x+b 中 x=0，则 y=b，B（0， b）；令 y=x+b 中 y=0，则 x=b，C（b，0）BCO=45=BCO+BAO=75，BAO=30，点 A（5，0），OA=5，OB=b=OAtanBAO= 533故选 D【
16、分析】令直线 y=x+b 与 x 轴交于点 C，根据直线的解析式可求出点 B、C 的坐标，进而得出BCO=45，再通过角的计算得出BAO=30，根据点 A 的坐标利用特殊角的三角函数值即可得出 b 的值7.在 RtABC 中，已知 B=90，AC=10，AB=5 ， 则A 等于（ ） 2第 4 页 共 18 页A. 45
17、 B. 30 C. 60 &
18、nbsp; D. 50【答案】A 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，B=90，AC=10，AB=5 ， 2BC= =5 ， 102-(52)2 2即 AB=BC，A=45故选 A【分析】根据勾股定理求出 BC 的长度，然后求出A 的度数8.在ABC 中，若三边 BC ,CA,AB 满足 BC：CA ：AB=5：12：13，则 cosB=（ ） A.
19、; B. C.
20、 D. 512 125 513 1213【答案】C 【考点】勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】设 BC=5X，CA=12X ，AB=13X，根据题意可知， ，所以ABC 是直角三BC2+CA2=AB2角形，故 cosB= ，故选 CBCAB=5x13x=513【点评】本题属于对特殊角的三角函数的基本知识的理解和运用9.如图，为了测量
21、某建筑物 MN 的高度，在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30，向 N 点方向前进 16m 到达 B 处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45，则建筑物 MN 的高度等于( )A. B. C.
22、 D. 8(3+1)m 8(3-1)m 16(3+1)m 16(3-1)m【答案】A 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】设 MN=xm，在 RtBMN 中 ,MBN=45，BN=MN=x，在 RtAMN 中,tan MAN= ，MNANtan30= =33，x16+x解得：x=8( +1)，3则建筑物 MN 的高度等于 8( +1)m；3故答案为：A.第 5 页 共 18 页【分析】设 MN=xm，根据
23、等腰直角三角形的性质得出 BN=MN=x，在 RtAMN 中根据正切函数的定义，及特殊锐角三角函数值列出方程，求解即可。10.一副三角板按图 1 所示的位置摆放将DEF 绕点 A（F ）逆时针旋转 60后（图 2），测得 CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（ ）A. 75cm2 B. （25+25 ）cm 2 C. （25+ ）cm 2 &nb
24、sp; D. （25+ ）cm 232533 5033【答案】C 【考点】解直角三角形，旋转的性质 【解析】【 分析 】 过 G 点作 GHAC 于 H，则GAC=60，GCA=45，GC=10cm，先在 RtGCH 中根据等腰直角三角形三边的关系得到 GH 与 CH 的值，然后在 RtAGH 中根据含 30的直角三角形三边的关系求得 AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可【解答】过 G 点作 GHAC 于 H，如图，GAC=60，GCA=45，GC=10cm，在 RtGCH 中，GH=CH=22GC=5 cm，2在 Rt
25、AGH 中，AH= GH= cm，33 563AC=（5 + )cm，2563两个三角形重叠（阴影) 部分的面积= GHAC12= 5 （5 + )12 2 2563第 6 页 共 18 页=（25+ )cm2 2533故选：C【 点评 】 本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形也考查了含30的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质二、填空题（共 10 题；共 32 分）11.计算： =_ ( -3.14)0-23cos30 +(12)-2-|-3|【答案】1 【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值
26、 【解析】【解答】解：原式= = =1故答案为：11-2332+4-3 1-3+1【分析】根据实数的混合运算性质即可求解。12.如图, 的顶点为 O,它的一边在 x 轴的正半轴上,另一边 OA 上有一点 P(b,4),若 sin= ,则 b= .45【答案】3【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：因为 sin =4b=45,所以 OP=5,由勾股定理得 b= ,52-42=3故答案为：3
27、.【分析】根据正弦函数的定义可得 OP 的长，由勾股定理即可求出 b 的值。13.如图，在平行四边形 ABCD 中，AE BC，垂足为 E，如果 AB=5，BC=8， ，那么sinB=45EC=_. 【答案】5 【考点】解直角三角形 第 7 页 共 18 页【解析】【解答】在ABE 中，AE BC，AB=5 ，sinB= ，45AE=4，BE= =3，AB2-AE2EC=BC-BE=8-3=5故答案为：5.【分析】在直角三角形 ABE 中，sinB= = ,所以可求得 AE=4，由勾股定理可得 BE=3，所以 EC=BC-BE=8-
28、AEBE453=514.在等腰直角ABC 中，C90，AC8，D 为 AC 上一点，若 ，则 AD_tan DBC=14【答案】6 【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用 【解析】【解答】根据等腰直角三角形的性质得到 BC=AC=6，再在 RtBDC 中，利用正切的定义计算出CD，然后利用 AD=AC-CD 进行计算即可.解：ABC 为等腰三角形，BC=AC=8，在 RtBDC 中， tanDBC= = ，DCBC14CD= BC=2，14AD=AC-CD=8-2=6.故答案为：6.【分析】本题考查了解直角三角形：在
29、直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.15.如果某人沿坡度 i=1：3 的斜坡前进 10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了_m 【答案】 10【考点】勾股定理，解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【解答】如图所示：设 BC=x，AB=3x，则 AC2=AB2+BC2 ， 第 8 页 共 18 页AC= ，AB2+BC2= 10x=10解得：x= 10故所在的位置比原来的位置升高了 m10【分析】根据题意要求他所在的位置比原来的位置升高的高度，就是要求 BC 的长，根
30、据已知坡度 i=1：3得出 = ，再根据勾股定理即可求出结果。BCAB1316.在菱形 ABCD 中，DE AB，cosA= ，BE=2，则 tanDBE 的值是_35【答案】2 【考点】菱形的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】设菱形 ABCD 边长为 t，BE=2，AE=t-2，cosA= ，35 ，AEAD=35 ，t-2t =35t=5，AE=5-2=3，DE= ，AD2-AE2= 52-32=4tanDBE= DEBE=42=2【分析】根据题意设菱形 ABCD 边长为 t，则 A
31、E=t-2，根据已知可得 cosA= ,所以 = ,解得 t=5，AE=5-AEAD t-2t 352=3，在直角三角形 ADE 中，由勾股定理可求得 DE 的长，则 tanDBE= .DEBE17.如图，D 为直角ABC 的斜边 AB 上一点，DE AB 交 AC 于 E，如果AED 沿 DE 翻折，A 恰好与 B 重合，联结 CD 交 BE 于 F，如果 AC8，tanA ，那么 CF：DF_ 12【答案】6：5 第 9 页 共 18 页【考点】翻折变换（折叠问题），解直角三角形 【解析】【解答】解：DE AB，tanA ，
32、 DE= AD，12 12RtABC 中，AC8，tanA ，12BC=4， AB= =4 ，AC2+BC2 5又AED 沿 DE 翻折，A 恰好与 B 重合，AD=BD=2 ，DE= ，5 5RtADE 中，AE= =5，AD2+DE2CE=85=3，RtBCE 中，BE= =5，32+42如图，过点 C 作 CGBE 于 G，作 DHBE 于 H，则 RtBDE 中，DH= =2，5255RtBCE 中，CG= = ，345 125CGDH，CFG
33、DFH， = = = CFDFCGDH1252 65故答案为：6：5【分析】先根据 DEAB，tanA ，AC 8，求得 BC=4，CE=3，BD=2 ，DE= ，再过点 C 作 CGBE12 5 5于 G，作 DHBE 于 H，根据面积法求得 CG 和 DH 的长，最后根据CFG DFH，得到 = = = 即CFDFCGDH1252 65可18.如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点O，则 t
34、anAOD=_.【答案】2 【考点】相似三角形的判定与性质，解直角三角形 第 10 页 共 18 页【解析】【解答】解：连接 BE 交 CF 于点 G（如图），四边形 BCEF 是边长为 1 的正方形，BE=CF= ，BE CF，2BG=EG=CG=FG= ,22又 BFAC，BFOACO， ,BFAC=FOCO=13CO=3FO，FO=OG= CG= ，12 24在 RtBGO 中，tanBOG= =2,BGOG= 2224又AOD=BOG,tanAOD=2.故答案为:2.【分析】连接 BE 交
35、 CF 于点 G（如图），根据勾股定理得 BE=CF= ，再由正方形的性质得2BECF，BG=EG=CG=FG= ,又根据相似三角形的判定得BFOACO，由相似三角形的性质得 22 BFAC=FOCO=13,从而得 FO=OG= CG= ，在 RtBGO 中根据正切的定义得 tanBOG= =2,根据对顶角相等从而得出12 24 BGOG= 2224答案.19.如图，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，OCD=90 ，AOB=60 ，若点B 的坐标是（6，0 ），则点 C 的坐标是_【答案
36、】（2，2 ） 3【考点】位似变换，解直角三角形 第 11 页 共 18 页【解析】【解答】解：分别过 A 作 AEOB，CF OB，OCD=90， AOB=60，ABO=CDO=30，OCF=30，OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4，点 B 的坐标是（6，0），D（8， 0），则 DO=8，故 OC=4，则 FO=2，CF=COcos30=4 =2 ，32 3故点 C 的坐标是：（2，2 ）3故答案为：（2，2 ）3【分析】分别过 A 作 AEOB，CF OB，根据已知可
37、求出ABO=CDO=30，OCF=30，再根据OAB 与OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 3：4 ，点 B 的坐标是（6 ，0），求出点 D 的坐标及 OC的长，然后利用解直角三角形求出 CF、FO 的长，就可得出点 C 的坐标。20.如图所示，已知：点 A（0 ，0），B（ ，0），C（0，1）在 ABC 内依次作等边三角形，使一边在3x 轴上，另一个顶点在 BC 边上，作出的等边三角形分别是第 1 个 AA1B1 ， 第 2 个B 1A2B2 ， 第 3 个B2A3B3 ， ，则第 n 个等边三角形的边长等于_
38、【答案】 32n【考点】等边三角形的性质，解直角三角形 【解析】【解答】解：OB= ，OC=1， BC=2，3OBC=30， OCB=60而AA 1B1 为等边三角形，A 1AB1=60，COA1=30，则 CA1O=90在 RtCAA1 中，AA 1= OC= ，32 32同理得：B 1A2= A1B1= ，12 322依此类推，第 n 个等边三角形的边长等于 32n第 12 页 共 18 页【分析】根据题目已知条件可推出，AA 1= OC= ，B 1A2=
39、 A1B1= ，依此类推，第 n 个等边三角形的32 32 12 322边长等于 32n三、解答题（共 8 题；共 58 分）21.计算：（ ） 0+（ ） 1 |tan45 | 12 13 23 3【答案】解：原式=1+3 1 233 3=1+2 +13 3=2+ 3【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果22.钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完
40、整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视某日，我海监船（A 处）测得钓鱼岛（B 处）距离为 20 海里，海监船继续向东航行，在 C 处测得钓鱼岛在北偏东 45的方向上，距离为 10 海里，求 AC 的距离（结果保留根2号）【答案】解：作 BDAC 交 AC 的延长线于 D，由题意得，BCD=45，BC=10 海里，2CD=BD=10 海里，AB=20 海里，BD=10 海里，AD= =10 ，AB2-BD2 3AC=ADCD=10 10 海里3答：AC 的距离为（ 10 10）海里3【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 第 13 页 共 18 页【解
41、析】【分析】作 BDAC 交 AC 的延长线于 D，根据正弦的定义求出 BD、CD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，计算即可23.如图，大楼 AB 高 16m，远处有一塔 CD，某人在楼底 B 处测得塔顶 C 的仰角为 39，在楼顶 A 处测得塔顶的仰角为 22，求塔高 CD 的高（结果保留小数后一位）参考数据：sin220.37，cos220.93，tan220.40，si390.63，cos390.78，tan390.81【答案】解：过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知：CAE=22 ，CBD=39，ED=AB=16 米设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AE=BD=
42、x 米，在 RtBCD 中， tanCBD= ，CDBDCD=BD tan 390.81x，在 RtACE 中，tan CAE= ，CEAECE=AEtan 220.4x，CDCE=DE，0.81x0.4x=16，解得 x39.0，即 BD=39.0（米），CD=0.8139.0=31.6（米），答：塔高 CD 是 31.6 米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】过点 A 作 AECD 于点 E，由题意可知：CAE=22，CBD=39，ED=AB=16 米，设大楼与塔之间的距离 BD 的长为 x 米，则 AE=BD=x，分别在 RtBC
43、D 中和 RtACE 中，用 x 表示出 CD 和CE=AE，利用 CDCE=DE 得到有关 x 的方程，求得 x 的值即可第 14 页 共 18 页24.如图，AC 是某市环城路的一段，AE，BF，CD 都是南北方向的街道，其与环城路 AC 的交叉路口分别是A，B ，C 经测量东方家具城 D 位于点 A 的北偏东 45方向，点 B 的北偏东 30方向上，AB=2km，DAC=15，求 C、D 之间的距离（结果保留根号）【答案】解：由题意可得EAD=45 ，FBD=30，又DAC=15，EAC=60，AEBF，FBC=EAB=60，DBC=30，BDA=DBCDAB=3015=15，BDA=D
44、AB，AB=DB=2km，ADB=15，DBC=ADB+DAC=15+15=30；过 B 作 BODC，交其延长线于点 O，在 RtDBO 中，BD=2， DBO=60，DO=2sin60= ，BO=2cos60=13在 RtCBO 中， CBO=30，CO=BOtan30= ，33CD=DOCO= = （km）333 233即 C，D 之间的距离 km 233【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】通过作垂线把特殊角放到直角三角形 RtDBO、Rt CBO 中，利用平行线的性质，转化同位角
45、得到CBO=30 ，DBO=60，进而 DO、CO ，二者之差即可求出 CD.第 15 页 共 18 页25.京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点 A、B 和点 C、D，先用卷尺量得 AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得CAB=30，DBA=60，求该段运河的河宽（即 CH 的长）【答案】解：过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，HE=CD=40m，设 CH=DE=xm，在 RtBDE 中，DBA=60，BE= xm，33在 RtACH 中，BAC=30，AH= xm，3由 AH+
46、HE+EB=AB=160m，得到 x+40+ x=160，333解得：x=30 ，即 CH=30 m，3 3则该段运河的河宽为 30 m 3【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过 D 作 DEAB，可得四边形 CHED 为矩形，根据矩形的性质得出 HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在 RtBDE 中，利用正切函数的定义及特殊锐角三角函数值表示出 BE，在 RtACH 中，利用正切函数的定义及特殊锐角三角函数值表示出 AH 的值，由 AH+HE+EB=AB=160m 列出方程，求解得出 x的值，
47、从而得出答案。26.如图，为了测量建筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 .在 上选取观测点 AB D CD 2 m DB E、 ，从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ，从 测得 、 的仰F E C A 58 45 F C A角分别为 、 .求建筑物 的高度（精确到 ） .（参考数据： ， 22 70 AB 0.1 m tan22 0.4
48、0第 16 页 共 18 页， .）tan58 1.60tan70 2.75【答案】解：在 中， ，Rt CED CED=58 .tan58 =CDDE .DE=CDtan58= 2tan58在 中， ，Rt CFD CFD=22 tan22 =CDDF .DF=CDtan22= 2tan22 .EF=DF-DE=2tan22- 2tan58同理 .EF=BE-BF=ABtan45- ABtan70 .ABtan45- ABtan70= 2tan22- 2tan5
49、8解得 .AB 5.9(m)因此，建筑物 的高度约为 AB 5.9 m【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】在 Rt CED 中，根据正切函数的定义得出 DE = ,在 Rt CFD 中根据正切CDtan58= 2tan58函数的定义得出 DF= ,由线段的和差表示出 EF 的长，同理再表示出 EF 的长，从而得出方程，CDtan22= 2tan22求解得出 AB 的长。27.“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴
50、趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角CAE 为 82.4，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角DBF 为 80.3求高、低杠间的水平距离 CH 的长（结果精确到 1cm，参考数据第 17 页 共 18 页sin82.40.991，cos82.40.132 ，tan82.47.500，sin80.30.983，cos80.30.168，tan80.35.85
51、0）【答案】解：在 RtACE 中，tanCAE= ，CEAEAE= CEtan CAE= 155tan82.4 1557.5 21(cm)在 RtDBF 中，tanDBF= ，DFBFBF= .DFtan DBF= 234tan80.3 2345.85=40(cm)EF=EA+AB+BF21+90+40=151（cm）CEEF，CHDF，DF EF四边形 CEFH 是矩形，CH=EF=151（cm ）.答：高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151cm 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】利用解直角三角形，分别在 RtAC
52、E 和 RtDBF 中，求出 AE、BF 的长，再由 AB 的长，求出 EF 的长，然后利用矩形的性质可得出结果。28.某地发生 8.1 级地震，震源深度 20 千米救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点 C 处有生命迹象在废墟一侧某面上选两探测点 A、B，AB 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和 45（如图）试确定生命所在点 C 与探测面的距离（参考数据 1.41， 1.73）2 3【答案】解：过 C 作 CDAB，第 18 页 共 18 页设 CD=x 米，ABE=45，CBD=45，DB=CD=x 米，CAD=30，AD= CD= x 米，3 3AB 相距 2 米， xx=2，3解得：x= 20073答：生命所在点 C 与探测面的距离是 米20073【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过 C 作 CDAB，设 CD=x 米，根据等腰直角三角形的性质得出 DB=CD=x 米，根据含 30直角三角形的边之间的关系得出 AD= CD= x，然后根据 AB=AD-BD 即可列出方程，求解即可。3 3