1、 第 1 页 共 18 页【易错题解析】北师大版九年级数学下册 第三章 圆 单元测试卷一、单选题（共 10 题；共 30分）1.如图，AOB 是O 的圆心角， AOB=80，则弧 AB 所对圆周角ACB 的度数是（ ）A. 40 B. 45 C. 50 D. 80【答案】A 【考点】圆周角定理 【解析】 【 分析 】 由于圆心角AOB 和圆周角 ACB 所对的弧相同，因此可直接用圆周角定理进行求解【解答】ACB 与 AOB 同对着 ， 而ACB 为圆周角，AOB 为圆心角；ACB= AOB=40故选 A12【 点评 】 本题考查圆心角、圆周角的应用能力2.已知O 的半径为 5，点 P 在 O
2、外，则 OP 的长可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】D 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：当点 P 是O 外一点时，OP5cm， A、B、C 均不符题意.故答案为：D.【分析】由题意可知，OP5cm，结合选项即可判断求解。3.如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦， ABD=63，则 BCD 为（ ）A. 37 B. 47 C. 27 D. 63【答案】C 【考点】圆周角定理 第 2 页 共 18 页【解析】【解答】解：连接 AC，AB 是圆的直径，BCA=90，又ACD=ABD=63，BCD=ACBACD=9063=27故答案为：C【分析】连接 AC
3、，利用直径上的圆周角是直角可得 BCA=90，再由圆周角定理可得 ACD=ABD=63，继而求出BCD 的度数.4.已知O 的半径为 4cm，点 P 到圆心 O 的距离为 3cm，则点 P（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不能确定【答案】A 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【解答】点到圆心的距离为 3，小于圆的半径 5，所以点在圆内，故答案为 A。【分析】考查点与圆的位置关系：比较点到圆心的距离与半径的大小，当点到圆心的距离大于半径，点在圆外；当点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内。5.如图，O 的半径是 3，点 P 是弦 AB 延长线上的
4、一点，连接 OP，若 OP=4，APO=30，则弦 AB 的长为（ ）A. B. C. D. 25 5 213 13【答案】A 【考点】垂径定理 【解析】【分析】如图，过 O 作 OCAP 于点 C，连接 OB，OP=4， APO=30，第 3 页 共 18 页OC= OP= 4=212 12OB=3，根据勾股定理，得 BC= OB2-OC2= 32-22= 5根据垂径定理，得 AB=25故选 A.6.如图，DC 是 O 的直径，弦 ABCD 于 F，连结 BC，DB ，则下列结论错误的是（ ）A. 弧 AD=弧 BD B. AF=BF C. OF=CF D. DBC=90【答案】C 【考点】
5、垂径定理，圆周角定理 【解析】【分析】DC 是O 直径，弦 ABCD 于 F，点 D 是优弧 AB 的中点，点 C 是劣弧 AB 的中点，A、弧 AD=弧 BD，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、 OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、 DBC=90，正确，故本选项错误；故选 C7.如图，已知 AB 是O 的直径，CAB=50，则D 的度数为（ ） A. 20 B. 40 C. 50 D. 70【答案】B 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：AB 为O 的直径， ACB=90，CAB=50，CBA=40，D=40，故选 B【分析】首先利用直径所对的圆周
6、角是直角得到直角三角形，然后求得另一锐角的度数，从而求得所求的角的度数第 4 页 共 18 页8.已知ABC 的外接圆 O 的半径为 3，AC=4 ，则 sinB=（ ）A. B. C. D. 13 34 45 23【答案】D 【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，锐角三角函数的定义 【解析】 【 分析 】 作辅助线（连接 AO 并延长交圆于 E，连 CE) 构造直角三角形 ACE，在直角三角形中根据锐角三角函数的定义求得角 E 的正弦值；然后由同弧所对的圆周角相等知 B=E；最后由等量代换求得B 的正弦值，并作出选择【 解答 】 解：连接 AO 并延长交圆于 E，连 CEACE=90（直
7、径所对的圆周角是直角) ；在直角三角形 ACE 中，AC=4，AE=6，sinE= ；ACAE=23又B= E（同弧所对的圆周角相等)，sinB= 23故选 D【 点评 】 本题主要考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义在求锐角三角函数值时，一般是通过作辅助线构造直角三角形，在直角三角形中解三角函数的三角函数值即可9.如图，O 是ABC 的外接圆，AOB=60，AB=AC=4，则弦 BC 的长为（ ） A.2 3B.4 3第 5 页 共 18 页C.3D.4【答案】B 【考点】圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心 【解析】【解答】解：如图，连结 OC，设 OA 与 BC 交于点 D AB=
8、AC，AOB=AOC，OB=OC，OABC，BD=DCOA=OB， AOB=60，AOB 是等边三角形，OB=AB=4在直角OBD 中，ODB=90，BOD=60，BD=OBsinBOD=4 =2 ，32 3BC=2BD=4 3故选 B【分析】连结 OC，设 OA 与 BC 交于点 D根据圆心角、弧、弦的关系得出AOB=AOC ，又 OB=OC，根据等腰三角形三线合一的性质得出 OABC，BD=DC再证明AOB 是等边三角形，得到 OB=AB=4解直角OBD，求出 BD=OBsinBOD=4 =2 ，那么 BC=2BD=4 32 3 310.如图，在直径为 4 的 O 中，弦 AC= ，则劣弧
9、 AC 所对的圆周角ABC 的余弦值是:（ ）23A. B. C. D. 32 33 22 12【答案】D 【考点】垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值 【解析】【 分析 】 连接 OA，OC，过 O 作 OD 垂直于 AC，由垂径定理得到 D 为 AC 的中点，求出 AD 的长，在直角三角形 AOD 中，由 OA 与 AD 的长，利用勾股定理求出 OD 的长，进而确定出 OAC 的度数，再利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半即可求出所求角的度数第 6 页 共 18 页【解答】连接 OA，OC，过 O 作 ODAC，D 为 AC 的中点，即 AD=CD=12AC= ，3在 RtAOD
10、中，OA=2，AD= ，3根据勾股定理得： ，OD= OA2-AD2=1OD= OA，又 OA=OC，12OAD=OCD=30，AOC=120，AOC 与ABC 都对弧 AB，ABC= AOC=60，12则 cosABC= 12故选 D【 点评 】 此题考查了圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键二、填空题（共 10 题；共 30分）11.已知点 O 到直线 l 的距离为 6，以 O 为圆心，r 为半径作O，若O 上只有 3 个点到直线 l 的距离为2，则 r 的值为_ 【答案】8 【考点】点与圆的位置关系 【解析】【解答】解：由图可知，r=6+2=8，故答案为：8【分
11、析】根据题意画出图形，由图形并结合题意可得 r=6+2=8。12.如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（ ）对应的圆心角（AOB）为 120，OC 的长为 2cm，则三角板和量角器重叠AB第 7 页 共 18 页部分的面积为_.【答案】 +2 （cm 2） 163 3【考点】三角形的面积，含 30 度角的直角三角形，扇形面积的计算 【解析】【解答】AOB=120，BOC=60，在 RtOBC 中，OC=2cm， BOC=60，OBC=30，OB=4cm，BC=2 cm，3则 S 扇形 OAB= （cm 2），S 扇形 OA
12、B= OCBC=2 （cm 2），120 42360=163 12 3故 S 重叠 =S 扇形 OAB+SOBC= （cm 2）163 +23【分析】根据平角的定义由AOB=120得出BOC=60 ，根据三角形的内角和得出 OBC=30，根据含 30角的直角三角形的边之间的关系得出 BC 的长，然后根据扇形的面积公式及三角形的面积公式，分别计算出 S 扇形 OAB， S 扇形 OAB，根据 S 重叠 =S 扇形 OAB+SOBC 即可得出答案。13.如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 E，已知 CD=6，EB=1，则O 的半径为_【答案】5 【考点】垂径定理 【解析】【解答】解：连接
13、 OC ， AB 为O 的直径，ABCD ， CE=DE= CD= 6=3，设O 的半径为 xcm ， 则 OC=xcm ， 12 12OE=OBBE=x1，在 RtOCE 中，OC 2=OE2+CE2 ， x2=32+（x1） 2 ， 解得：x=5， O 的半径为 5，故答案为：5第 8 页 共 18 页【分析】连接 OC ， 根据垂径定理得出 CE=DE= CD=3，设O 的半径为 xcm ， 则 OC=xcm ， 12OE=OBBE=x1，在 RtOCE 中根据勾股定理列出方程，求解得出答案。14.已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120，用它做成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径
14、是_cm 【答案】1 【考点】弧长的计算，圆锥的计算 【解析】【解答】解：设该圆锥的底面圆的半径是 rcm，由题意，得2r= ，120 3180解得 r=1故答案为：1【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长=底面圆的周长。即可求解。15.（ 2016海南）如图， AB 是 O 的直径，AC 、BC 是O 的弦，直径 DEAC 于点 P若点 D 在优弧 上，AB=8，BC=3，则 DP=_【答案】5.5 【考点】垂径定理，圆周角定理 【解析】【解答】解：AB 和 DE 是 O 的直径，OA=OB=OD=4， C=90，又 DEAC，OPBC，AOPABC， ，即 ，OP=1.5DP=OP+O
15、P=5.5，故答案为：5.5【分析】解：由 AB 和 DE 是O 的直径，可推出 OA=OB=OD=4， C=90，又有 DEAC，得到 OPBC，于是有AOPABC，根据相似三角形的性质即可得到结论本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键第 9 页 共 18 页16.如图，AB 是O 的直径，弦 CD 垂直 AB，已知 AC=1， BC= ， 那么 sinACD 的值是 _22【答案】 13【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：AB 是O 的直径，弦 CD 垂直 AB， ， B=ACD，AB 是O 的直径，ACB=90，AB= =3
16、，sinACD=sinB= = ， 13故答案为： 13【分析】根据垂径定理得到 ，根据圆周角定理得到 B=ACD， ACB=90，由勾股定理得到 AB=3，根据三角函数的定义即可得到结论17.如图，已知 BD 是 O 的直径，点 A、C 在O 上， ， AOB=60，则COD 的度数是 _度【答案】120 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解： ， AOB=60，BOC=AOB=60，BD 是O 的直径，BOD=180，第 10 页 共 18 页COD=180BOC=120故答案为 120【分析】先由 ，得出BOC=AOB=60，再根据直径的定义得出BOD=180，则 COD=1
17、80BOC=12018.如图，O 在ABC 三边上截得的弦长相等， A=70，则 BOC=_ 度【答案】125 【考点】三角形内角和定理，角平分线的性质，圆心角、弧、弦的关系 【解析】【解答】解：过 O 作 OMAB，ONAC，OP BC，垂足分别为 M，N，PA=70，B+ C=180A=110O 在 ABC 三边上截得的弦长相等，OM=ON=OP，O 是B， C 平分线的交点BOC=180 （B+ C）=180 110=12512 12【分析】过 O 作 OMAB，ONAC，OP BC，垂足分别为 M，N，P，根据三角形内角和定理及角平分线定理即可得到BOC 的度数19.如图，PA、PB
18、分别切O 于点 A、B，若P=70，则C 的大小为_（度） 【答案】55 【考点】切线的性质 第 11 页 共 18 页【解析】【解答】解：连接 OA，OB， PA、PB 分别切O 于点 A、B，OAPA，OB PB，即PAO=PBO=90，AOB=360PAOPPBO=360907090=110，C= AOB=5512故答案为：55【分析】首先连接 OA，OB，由 PA、PB 分别切 O 于点 A、B ，根据切线的性质可得：OA PA，OBPB，然后由四边形的内角和等于 360，求得 AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得答案20.如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45，AB= ，D
19、 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分2别交 AB、AC 于 E、F ，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为_【答案】 32【考点】垂线段最短，勾股定理的应用，垂径定理的应用，圆周角定理，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径最短，如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H，在 RtADB 中， ABC=45，AB= ， 2AD=BD=1，即此时圆的直径为 1，EOF=2BAC=120，而EOH=HOF ，EOH=60，第 12 页 共 18 页在 RtEOH 中，EH=OEsin EOH=
20、 sin60= ，12 34OHEF，EH=FH，EF=2EH= ，32即线段 EF 长度的最小值为 32故答案为 32【分析】 由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径最短，如图，连接 OE，OF，过O 点作 OHEF，垂足为 H，根据勾股定理得 AD=BD=1，即此时圆的直径为 1，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系知EOF=2 BAC=120,根据垂径定理得EOH=60，在 RtEOH 中根据正弦定义得出 EH 的长，根据垂径定理知 EF=2EH，从而得出答案。三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是
21、20cm，10cm ，AOB 120，则这个广告标志的周长是多少？【答案】解： ，AC=BD=20-10=10cm，l=240 10180+240 20180=403 +803 =40周长 =( )cm 40 +20【考点】弧长的计算 【解析】【分析】根据弧长计算公式 l= 分别算出广告标志的两段弧长，再用大圆的半径减去小圆的半n r180径，算出 AC,BD 的长，再相加即可得出答案。22.如图，在半径为 13 的O 中，OC 垂直弦 AB 于点 D，交O 于点 C，AB=24，求 CD 的长 第 13 页 共 18 页【答案】解：连接 O A ， ， ，OC AB AB=24 ，AD=12
22、AB=12在 中，RtAOD ， ，OA=13 AD=12 ，OD=5 CD=OC-OD=13-5=8【考点】垂径定理 【解析】【分析】连接 O A ,根据垂径定理得出 AD= AB=12 ，根据勾股定理即可算出 OD 的长，再根据线12段的和差，由 CD=OCOD 即可算出答案。23.如图，O 的半径 OCAB，D 为 上一点，DE OC，DFAB ，垂足分别为 E、F，EF=3，求直径 AB 的BC长【答案】解：OCAB，DEOC ，DF AB，四边形 OFDE 是矩形，OD=EF=3，AB=6【考点】菱形的判定与性质，圆的认识 【解析】【分析】连接 OD，由条件可得四边形 OFDE 是矩
23、形，根据矩形对角线相等可知 OD=EF=3，利用同圆半径相等即可解答。24.如图，O 的半径 OD弦 AB 于点 C，连结 AO 并延长交O 于点 E，连结 EC若 AB=8，CD=2，求 EC的长第 14 页 共 18 页【答案】解：连结 BE，如图，ODAB，AC=BC= AB= 8=4，设 AO=x，则 OC=ODCD=x2，12 12在 RtACO 中， ，AO2=AC2+OC2 ，解得 x=5，x2=42+(x-2)2AE=10，OC=3，AE 是直径，ABE=90，OC 是ABE 的中位线，BE=2OC=6，在 RtCBE 中，CE= CB2+BE2= 42+62=213【考点】垂
24、径定理，圆周角定理 【解析】【分析】连结 BE，利用垂径定理求出 AC 的长，再在 RtACO 中，利用勾股定理求出 OC、AE 的长，然后利用三角形中位线定理及勾股定理求出 CE。25.如图，P 是ABC 的外接圆上的一点 APC=CPB=60求证：ABC 是等边三角形.【答案】解：APC 和ABC 都是弧 AC 所对的圆周角 ABC=APC=60又BPC 与BAC 都是弧 BC 所对的圆周角 BAC=BPC=60 ABC 是等边三角形.【考点】等边三角形的判定，圆周角定理 【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出ABC=APC=60， BAC=BPC=60 ，根据有两个角是60的三角形
25、是等边三角形得出结论。第 15 页 共 18 页26.如图，O 是ABC 的外接圆， AB 经过点 O，CD 是弦，且 CDAB 于点 F，连接 AD，过点 B 的直线与线段 AD 的延长线交于点 E，且E=ACF （1 ）若 CD=2 ， AF=3，求O 的周长；15（2 ）求证：直线 BE 是O 的切线【答案】解：（1）连接 OC设半径为 r，OACD，DF=FC= ，15在 RTOFC 中，OFC=90， FC= ，OF=r3 ，OC=r ，15r2=（r3） 2+（ ） 2 ， 15r=4，O 的周长为 8（2 ）证明：OACD，DF=FC，AD=AC ，AFD=90ADC=ACD，E
26、=ACD，ADC=E，CDEB，AFD=ABE=90，BE 是O 的切线【考点】切线的判定 【解析】【分析】（1）连接 OC设半径为 r，在 RTOFC 中利用勾股定理即可解决问题（2 ）只要证明 CDEB，即可得到 AFD=ABE=90，由此可以得出结论27.如图，在 RtABC 中， C90，ABC 的平分线交 AC 于点 D，点 O 是 AB 上一点，O 过 B、D 两点，且分别交 AB、BC 于点 E、F.第 16 页 共 18 页(1)求证：AC 是O 的切线；(2)已知 AB10，BC6，求O 的半径 r. 【答案】(1)证明：连接 OD，OBOD，OBDODB.BD 平分 ABC
27、，ABD DBC，ODBDBC，ODBC.又C 90，OD AC，AC 是O 的切线(2)解：OD BC，AOD ABC， ， ，解得 r . ODBCAOAB r6 10-r10 154【考点】切线的判定，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】考查切线的判定。28.如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，直线 EF 和O 相切于点 C，ADEF，垂足为 D。（1 ）求证：DAC BAC；（2 ）若把直线 EF 向上平行移动，如图 ，EF 交 O 于 G、C 两点，若题中的其它条件不变，猜想：此第 17 页 共 18 页时与DAC 相等的角是哪一个？并证明你的结论。【答案】解：（1）连 OC，
28、构建平行线 OCAD然后由两直线平行，内错角相等推知 OCA=DAC，再根据等腰三角形 OAC 两个底角相等的性质知，BAC= OCA，所以根据等量代换易证明：DAC= BAC；（2 ）根据（2 ）的思路，可以直接写出答案证明：（1）连 OC，则 OC=OA，BAC=OCAEF 切O 于 C，OCEFADEF，OCADOCA=DACDAC=BAC(2）BAG=DAC，理由如下：连接 BC，AB 为O 的直径，BCA=90， B+BAC=90，AGD+GAD=90，又B= AGD，BAC=GAD；即BAG+ GAC=GAC+DAC，第 18 页 共 18 页BAG=DAC【考点】圆周角定理 【解析】【解答】（1）连结 OC，得 OCAD。连 OC，构建平行线 OCAD然后由两直线平行，内错角相等推知OCA=DAC ，再根据等腰三角形 OAC 两个底角相等的性质知，BAC=OCA，所以根据等量代换易证明：DAC= BAC；（2 ）连结 BG，得ACD B。【分析】此题考查了圆的综合应用，涉及知识点有平行线性质，等腰三角形的性质以及圆周角的定理。