1、 第 1 页 共 14 页【易错题解析】北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似一、单选题（共 10 题；共 30 分）1. ( 3 分 ) 如图所示，在ABC 中 D 为 AC 边上一点，若DBC=A ， BC=3，AC=6，则 CD 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. ( 3 分 ) 如果两个相似三角形的面积的比是 4:9,那么它们的周长的比是（ ） A. 4:9 B. 1:9 C. 1:3 D. 2:33. ( 3 分 ) 两个相似多边形一组对应边分别为 3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为( ) A. B. C. D. 4. ( 3 分 ) 下列各组图形中不是位
2、似图形的是（ ） A. B. C. D. 5. ( 3 分 ) 在同一时刻太阳光线是平行的，如果高 1.5 米的测杆影长 3 米，那么此时影长 36 米的旗杆的高度为（ ） A. 18 米 B. 12 米 C. 15 米 D. 20 米6. ( 3 分 ) 下列各组长度的线段中，成比例线段的是（ ） A. 1cm，2cm, 3cm, 4cm B. 1cm, cm, cm， cmC. 2cm, 4cm, 6cm, 8cm D. cm, cm, cm, cm7. ( 3 分 ) 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是边 AD，AB 的中点，EF 交
3、AC 于点 H，则 的值为 （ ）A. B. 1 C. D. 第 2 页 共 14 页8. ( 3 分 ) 下列说法中正确的是（ ） A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似C. 两个等边三角形相似 D. 两个锐角三角形相似9. ( 3 分 ) 如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=6 ，BC=8，AD 平分CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是AD，AC 上的动点，则 CE+EF 的最小值为（ ）A. B. C. D.610. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，点 P 为 AB 上一点，给出下列四个条件：ACP=B； APC=ACB；AC 2=APAB；ABCP
4、=APCB其中能满足APC 和 ACB 相似的条件是 ( ) A. B. C. D. 二、填空题（共 10 题；共 30 分）11. ( 3 分 ) 两个相似三角形的相似比为 1 ：2 ，它们的面积比为_ 12. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，DEBC， = ，则 =_13. ( 3 分 ) 如图，直线 l1l2l3 ， 直线 AC 交 l1 ， l2 ， l3 ， 于点 A，B，C；直线 DF 交 l1 ， l2 ， l3 于点 D，E，F ，已知 ，则 =_。第 3 页 共 14 页14. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，DEBC，AD1 ，AB3，DE2，则 BC_15.
5、( 3 分 ) 把一个矩形剪去一个正方形，若余下的矩形与原矩形相似，则原矩形长宽之比为_ 16. ( 3 分 ) （2017兰州）如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心点是 O， = ，则 =_ 17. ( 3 分 ) 墙壁 CD 上 D 处有一盏灯（如图），小明站在 A 站测得他的影长与身长相等都为 1.5m，他向墙壁走 1m 到 B 处时发现影子刚好落在 A 点，则灯泡与地面的距离 CD=_m.18. ( 3 分 ) 如图，在 ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点 M 在边 AB 上，AM=3，过点 M 作直线 MN 与边AC 交于点 N，使截得的三角形与原三
6、角形 ABC 相似，则 MN 的长为_如图，在ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点 M 在边 AB 上，AM=3 ，过点 M 作直线 MN 与边 AC 交于点N，使截得的三角形与原三角形 ABC 相似，则 MN 的长为_第 4 页 共 14 页19. ( 3 分 ) 如图，矩形 ABCD 中，BE 平分 ABC 交 AD 于点 E，F 为 BE 上一点，连接 DF，过 F 作 FGDF交 BC 于点 G，连接 BD 交 FG 于点 H，若 FD=FG，BF=3 ，BG=4，则 GH 的长为_20. ( 3 分 )已知正方形 ABC1D1 的边长为 1，延长 C1D1 到 A1 ， 以
7、 A1C1 为边向右作正方形 A1C1C2D2 ， 延长 C2D2 到 A2 ， 以 A2C2 为边向右作正方形 A2C2C3D3（如图所示），以此类推 若 A1C1=2，且点A，D 2 ， D3 ， ，D 10 都在同一直线上，则正方形 A9C9C10D10 的边长是_ 三、解答题（共 8 题；共 60 分）21. ( 6 分 ) 如图所示的网格中，每个小方格都是边长为 1 的小正方形，B （1，1 ），C（5，1 ）（1 ）把ABC 绕点 C 按顺时针旋转 90后得到 A1B1C1 ， 请画出这个三角形并写出点 B1 的坐标； （2 ）以点 A 为位似中心放大 ABC，得到 A2B2C2
8、， 使放大前后的面积之比为 1：4，请在下面网格内出A 2B2C2 22. ( 6 分 ) 如图，有一块三角形的土地，它的一条边 BC=100 米，BC 边上的高 AH=80 米某单位要沿着边 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，D 、G 分别在边 AB、AC 上若大楼的宽是 40 米（即 DE=40 米），第 5 页 共 14 页求这个矩形的面积23. ( 6 分 ) 如图，在 ABC 中，EFCD ， DEBC 求证：AF：FD=AD ：DB 24. ( 8 分 ) 如图，四边形 ABCD 中，AC BD 交 BD 于点 E，点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分ABE交
9、 AM 于点 N，AB AC BD，连接 MF，NF（1 ）判断BMN 的形状，并证明你的结论； （2 ）判断MFN 与BDC 之间的关系，并说明理由 25. ( 8 分 ) 如图，矩形 ABCD 中，以对角线 BD 为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一边 EF 过原矩形的顶点 C第 6 页 共 14 页（1 ）设 RtCBD 的面积为 S1 ， RtBFC 的面积为 S2 ， RtDCE 的面积为 S3 ， 则 S1 S2+S3（用“”、“=”、“ ”填空）；（2 ）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明 26. ( 8 分 ) 四边形 ABCD 中, 点 E 是 AB 的中点
10、,F 是 AD 边上的动点连结 DE、CF（1 ）若四边形 ABCD 是矩形 ,AD=12,CD=10,如图（1 ）所示请直接写出 AE 的长度;当 DECF 时,试求出 CF 长度（2 ）如图（2 ）,若四边形 ABCD 是平行四边形,DE 与 CF 相交于点 P探究：当B 与 EPC 满足什么关系时, 成立？并证明你的结论27. ( 8 分 ) 把两个直角三角形如图(1) 放置,使ACB 与DCE 重合,AB 与 DE 相交于点 O,其中DCE=90,BAC=45,AB=6 cm,CE=5cm, CD=10cm（1 ）图 1 中线段 AO 的长= cm；DO= cm第 7 页 共 14 页
11、图 1（2 ）如图 2,把DCE 绕着点 C 逆时针旋转 度（090）得 D1CE1,D1C 与 AB 相交于点 F,若BCE 1 恰好是以 BC 为底边的等腰三角形,求线段 AF 的长 图 2 28. ( 10 分 ) 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 ADE 摆放在一起，A 为公共顶点，BAC=ADE=90，它们的斜边长为 2，若ABC 固定不动，ADE 绕点 A 旋转，AE、AD 与边 BC 的交点分别为 F、 G （点 F 不与点 C 重合，点 G 不与点 B 重合），设 BF=a，CG=b（1 ）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行
12、证明（2 ）求 b 与 a 的函数关系式，直接写出自变量 a 的取值范围（3 ）以ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系（如图 2）若 BG=CF，求出点 G 的坐标，猜想线段 BG、FG 和 CF 之间的关系，并通过计算加以验证第 8 页 共 14 页答案解析部分一、单选题1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】B 7.【答案】A 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【 答案】D 二、填空题11.【 答案】1:4 12.【 答案】13.【 答案】2 14.【 答案】6 15.【
13、答案】16.【 答案】17.【 答案】18.【 答案】6 19.【 答案】20.【 答案】三、解答题第 9 页 共 14 页21.【 答案】（1）解：如图所示：A 1B1C1 ， 即为所求，点 B1 的坐标为：（5，5）（2 ）解：如图所示：A 2B2C222.【 答案】解答：由已知得，DG BCADGABC ， AHBCAHDG 于点 M,且 AM=AH-MH=80-40=40（m） ，即 DG 50 （m），S 矩形 DEFG=DEDG=2000（m 2） 23.【 答案】证明： EFCD， DEBC， ， ， ，即 AF：FD=AD： DB 24.【 答案】（1）解：BMN 是等腰直角三
14、角形证明：ABAC ，点 M 是 BC 的中点，AMBC，AM 平分 BACBN 平分ABE，ACBD，AEB90，EABEBA90， BMN 是等腰直角三角形（2 ）解：MFNBDC 证明：点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，FMAC， 第 10 页 共 14 页ACBD， ，即 由(1)知BMN 是等腰直角三角形， ，即 ， AMBC，NMF FMB90FMACACB FMBCEB90，ACB CBD90CBDFMB90 ，NMF CBDMFNBDC 25.【 答案】（1）解： S1= BDED，S 矩形 BDEF=BDED，S1= S 矩形 BDEF ， S2+S3= S 矩形 BD
15、EF ， S1=S2+S3 （2 ）答：BCDCFBDEC证明BCDDEC ；证明：EDC+ BDC=90，CBD+ BDC=90，EDC=CBD，又BCD=DEC=90，BCDDEC 26.【 答案】解：(1)四边形 ABCD 是矩形, CD=10,点 E 是 AB 的中点,AE= CD=5;四边形 ABCD 是矩形,A=FDC=90,CFDE,ADE+CFD=90,ADE+AED=90,CFD=AED,A=CDF,AEDDFC第 11 页 共 14 页在AED 中, A =90,AD=12,AE =5,DE= =13CF= ;（2 ）当 B+EPC=180时, 成立四边形 ABCD 是平行
16、四边形,B=ADC,ADBC,B+A=180,B+EPC=180,A=EPC=FPD,FDP=EDA,DFPDEA, ,B=ADC,B+EPC=180,EPC+DPC=180,CPD=CDF,PCD=DCF,CPDCDF, , , ,即当B+ EPC=180时, 成立 27.【 答案】解：(1)如图, 过点 A 作 AFDE,ACB 与 DCE 重合, DCE=90,BAC=45,AB= ,第 12 页 共 14 页AC=BC=6,DCE=“90,CE=5,“ CD=10ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,AFDEAFCDEC ,即 AF= , ,即 EF
17、=2,BF=EF+BE=2+1=3,AFDEBOEBAF ,即 AO= ,即 OE= DO=DE-OE= (2) 连接 BE1 ,过点 E1 作 E1GBC 于 G, 过点 F 作 FHBC 于 H,DCE 绕着点 C 逆时针旋转 度E1CG=,BCE1 恰好是以 BC 为底边的等腰三角形,E1G 是线段 BC 的中垂线E1C=5,BC=6CG=BH=3,E1G= ,FHBC,DCE=90,BAC=45,BH=FH,令 BH=FH=x,则：CH=6-x在FHC 与CG E1 中E1CG +FCH=FCH +CFH=90,E1CG =CFH,第 13 页 共 14 页FHC=CG E1=90,F
18、HCCG E1, ,即： ,解得 x= ,FH= ,FHB=90,BAC=45,BF=AF=AB-BF= . 28.【 答案】解：（1）ACGFAG， FAGFBAGAF=C=45，AGF=AGC，ACGFAG类似证明FAGFBA；（2 ） CAG=CAF+45， BFA=CAF+45，CAG=BFAB=C=45，ACGFBA， = 由题意可得 CA=BA= = b= 自变量 a 的取值范围为 1a2 （3 ）由 BG=CF 可得 BF=CG，即 a=bb= ，a=b= OB=OC= BC=1，OF=OG= 1G（1- ，0 ）线段 BG、FG 和 CF 之间的关系为 BG2+CF2=FG2；BG=OBOG=1-( -1)=2- =CF，FG=BC2BG= 2-2(2- )=2 -2第 14 页 共 14 页BG2+CF2=2(2- )2=12-8 ，FG 2=(2 -2)2=12-8 BG2+CF2=FG2