1、 第 1 页 共 17 页【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第四章 锐角三角函数 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.在 RtABC 中， C=90，AC=1，BC=3 ，则A 的正切值为（ ） A. 3 B. C. D. 13 1010 31010【答案】A 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】在 RtABC 中，C=90，AC=1，BC=3，A 的正切值为 =3，BCAC=31故答案为：A【分析】根据正切函数的定义即可直接得出答案。2.如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，AC=4 ，则 sinA 的值是（ ）A. B. C. D. B(3， 0) P
2、 PD x D【答案】C 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】因为在 RtABC 中，C=90，BC=3 ，AC=4，所以由勾股定理可得 AB=5，所以 sinA= ,故答案为：C【分析】利用正弦定义可求出结果 .BCAB=353.在 RtABC 中， C=90，AB=10，AC=8，则 sinA 的值是（） A. B. C. D. 45 35 34 43【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】根据题意画出图形，由勾股定理求出 BC 的长，再由锐角三角函数的定义进行解答即可【解答】如图所示：RtABC 中， C=90，AC=8，AB=10，BC= ， AB2-AC2=
3、102-82=6第 2 页 共 17 页sinA= BCAB=610=35故答案为：B4.如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5，则 cosB 的值为（ ）A. B. C. D. 35 45 34 43【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，C=90，AC=3，AB=5 ，由勾股定理，得cosB= = ， BCAB45故选：B【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案5.已知 RtABC 中，A=90，则 是B 的（ ） bcA. 正切； B. 余切； C. 正弦； D. 余弦【答案】A 【考点】锐角三
4、角函数的定义 【解析】 【 分析 】 根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答【解答】如图，tanB= bc故选 A【 点评 】 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边6.如图 CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cosBCD 的值是（ ）第 3 页 共 17 页A. B. C. D. 45 34 43 35【答案】A 【考点】同角三角函数的关系 【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB= =5，AC2+BC2在 RtBCD 中，B+ BCD=90，在 RtABC 中， B+A=90，B
5、CD=AcosBCD=cosA= = ACAB45故答案为：A【分析】首先根据勾股定理得出 AB 的长，再根据同角的余角相等，由B+ BCD=90， B+A=90，得出BCD=A根据等角的同名三角函数值想等即可由 cosBCD=cosA=AC AB 得出答案。7.如图，为一颗折叠的小桌支架完全展开后支撑在地面的示意图，此时ABC=90，固定点 A、C 和活动点O 处于同一直线上，且 AO： OC=2：3，在支架的向内折叠收拢过程中（如箭头所示方向）， ABC 边形为凸四边形 AOCB，直至形成一条线段 BO，则完全展开后BAC 的正切值为（ ） A. B. C. D. 23 34 45 121
6、3【答案】B 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：AO：OC=2：3 ， 设 AO=2x、OC=3x，AB=y、BC=z ，则 ，y2+z2=25x2y+2x=z+3x解得： 或 （舍），y=4xz=3x y= -3xz= -4x在 RtABC 中， tanBAC= = = = ，BCABzy 3x4x 34故选：B【分析】由 AO：OC=2：3 ，设 AO=2x、OC=3x、AB=y、BC=z，由 AB2+BC2=AC2、BC+CO=AB+AO 列出关于x、y、z 的方程组，将 x 看做常数求出 y=4x、z=3x，再由正切函数的定义求解可得第 4 页 共 17 页8.如图，将A
7、OB 放置在 55 的正方形网格中，则 tanAOB 的值是( )A. B. C. D. 23 32 21313 31313【答案】B 【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【分析】认真读图，在以AOB 的 O 为顶点的直角三角形里求 tanAOB 的值：tanAOB= .32故选 B.9.在 RtABC 中， C=90，若 sinA= ， 则 cosA 的值为（ ） 513A. B. C. D. 512 813 23 1213【答案】D 【考点】同角三角函数的关系 【解析】【解答】解：sin 2A+cos2A=1，即（ ） 2+cos2A=1，513cos2A= ， 144169cosA= 或
8、 （舍去），12131213cosA= 1213故选：D【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是 1，即可求解10.一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30方向，继续向南航行 30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是（ ）（结果保留小数点后两位）（参考数据： ） 3 1.732， 2 1.414A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21 海里【答案】B 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 第 5 页 共 17 页【解析】【解答】解：根据题意画出图如图所示
9、：作 BDAC，取 BE=CE，AC=30，CAB=30 ，ACB=15，ABC=135，又 BE=CE，ACB=EBC=15，ABE=120，又CAB=30BA=BE，AD=DE，设 BD=x，在 RtABD 中，AD=DE= x，AB=BE=CE=2x，3AC=AD+DE+EC=2 x+2x=30，3x= = 5.49，153+1 15(3-1)2故答案为：B.【分析】根据题意画出图形，作 BDAC，取 BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设 BD=x，Rt ABD 中，根据勾股定理得 AD=DE= x，AB=BE=CE=2x ，由 AC=AD+DE+
10、EC=2 3x+2x=30，解之即可得出答案.3二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.13+ 12sin30=_ 4【答案】-5 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：原式= 1+212 =1+26=5，12故答案为：5【分析】先依据有理数的乘方法则、算术平方根的性质、特殊锐角三角函数值进行化简，最后，在进行计算即可.第 6 页 共 17 页12.如图，旗杆高 AB=8m，某一时刻，旗杆影子长 BC=16m，则 tanC=_。【答案】 12【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在 RtABC 中，高 AB=8m，BC=16m ，tanC= = = .ABBC8161
11、2故答案为： .12【分析】在 RtABC 中，根据锐角三角函数正切定义即可得出答案.13.如图，在边长为 1 的小正反形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanB 的值为_ 【答案】 34【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图： ，tanB= = ADBD34故答案是： 34【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案14.如图，点 A（3，t）在第一象限， OA 与 x 轴所夹的锐角为 ，tan= ，则 t 的值是_32【答案】 92第 7 页 共 17 页【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】过点 A 作 ABx 轴于 B，点 A（3，t）在第
12、一象限，AB=t，OB=3，又tan = = = ，ABOBt3 32t= 92【分析】过点 A 作 ABx 轴于 B，根据 A 点的坐标得出 AB=t，OB=3，根据正切函数的定义得出tan= = ，即可列出方程，求解即可。ABOB3215.如图，在ABC 中，ACB=90，CD AB 于 D，若 AC=4，AB=5，则 cosBCD 的值为_ 【答案】 45【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：AC=4，AB=5，ACB=90， BC= =3，52-42 ABCD= ACBC，12 12 CD=6，52CD= ，125cosBCD= = = DCBC1253 45故答案为： 45
13、【分析】首先利用勾股定理计算出 BC 长，然后再利用直角三角形的面积公式计算出 CD 长，再用余弦定义可得答案16.在直角三角形中，一个锐角为 57，则另一个锐角为_ 【答案】33 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【解答】解：直角三角形的两锐角互余，第 8 页 共 17 页另一锐角=90 57=33，故答案为：33 【分析】利用直角三角形的两锐角互余可求得答案17.某兴趣小组借助无人飞机航拍，如图，无人飞机从 A 处飞行至 B 处需 12 秒，在地面 C 处同一方向上分别测得 A 处的仰角为 75， B 处的仰角为 30已知无人飞机的飞行速度为 3 米/秒，则这架无人飞机的飞行高度为（结果
14、保留根号）_米【答案】9 +93【考点】解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，作 ADBC，BH 水平线，由题意得：ACH=75，BCH=30，ABCH ，ABC=30， ACB=45，AB=312=36m，AD=CD=18m，BD=ABcos30=18 m，3BC=CD+BD=（18 +18）m，3BH=BCsin30=（9 +9）m3故答案为：9 +93MISSING IMAGE: , 【分析】作 ADBC，BH 水平线，根据题意确定出ABC 与ACB 的度数，利用锐角三角函数定义求出 AD与 BD 的长，由 CD+BD 求出 BC 的长，即可求出 BH 的长18.BD 为等腰ABC 的
15、腰 AC 上的高，BD1 ，tanABD ，则 CD 的长为_. 3【答案】 、 或 2+ 3 2- 333【考点】解直角三角形 【解析】【解答】如图 1：第 9 页 共 17 页BD=1，tanABD= 3 AD= 3， AB=AC=2 CD=2- 3如图 2：BD=1，tan ABD= 3 AD= 3， AB=AC=2 CD=2+ 3如图 3：BD=1，tanABD= 3 ABD=60 D=90 A=30又 AC=BC BCD=60 BD=1 CD= 33综上述， 、 或 CD=2+ 3 2- 333故答案为： 、 或 2+ 3 2- 333第 10 页 共 17 页【分析】此题有 3 种
16、情况，第一种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 A 是锐角时，由解直角三角形可以求出CD 的长；第二种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 A 是钝角时，由解直角三角形可以求出 CD 的长；第三种情况，等腰三角形 ABC 的顶角 C 是钝角时，由解直角三角形可以求出 CD 的长。19.如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为_ 【答案】2 km 2【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 ADO
17、B 于 D在 RtAOD 中，ADO=90，AOD=30，OA=4km，AD= OA=2km12在 RtABD 中， ADB=90， B=CABAOB=7530=45，BD=AD=2km，AB= AD=2 km2 2即该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km2故答案为 2 km2【分析】过点 A 作 ADOB 于 D先解 RtAOD，得出 AD= OA=2km，再由 ABD 是等腰直角三角形，得出12BD=AD=2km，则 AB= AD=2 km2 220.一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距离为 20 海里，渔船将险情( 3+1)报告给位于 A 处
18、的救援船后，沿北偏西 65方向向海岛 C 靠近同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为 _ 海里/第 11 页 共 17 页分【答案】2 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】解：作 CDAB，CAB=10+20=30， CBA=6520=45，BD=CD=x 海里，则 AD=20 x海里，( 3+1)在 RtACD 中， =tan30，CDAD则 = ， x20(3+1)-x 33解得 x=20，在 RtACD 中，AC=220=40 海里，4020=2 海里/分故答案为：2【分析】作 CD
19、AB，得到两直角三角形ACD 、BCD，利用三角函数的知识即可求得答案三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离（参考第 12 页 共 17 页数据： 2.449，结果保留整数）6【答案】解：作 PCAB 交于 C 点，由题意可得APC=30 ， BPC=45，AP=80（海里）在 RtAPC 中，PC=PAcos APC=40 （海里）3在 RtPCB 中，PB= 98（海里）PCc
20、os BPC= 403cos45=406答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】构造直角三角形，作 PCAB 交于 C 点；由方位角易知APC=30， BPC=45，则根据解直角三角形的知识解答即可22.如图，某游客在山脚下乘览车上山导游告知，索道与水平线成角 BAC 为 40，览车速度为 60 米/分，11 分钟到达山顶，请根据以上信息计算山的高度 BC（精确到 1 米）（参考数据： sin40=0.64，cos40=0.77 ， tan40=0.84）【答案】解：由题意可得：BAC=40，AB=66 米sin40=
21、，BC0.64660=422.4 米422 米BCAB答：山的高度 BC 约为 422 米 第 13 页 共 17 页【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【分析】利用正弦函数的定义由 sin40=BC AB 得出 B 错的长度，从而得出答案。23.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面 BC 改建为坡度 1：05 的迎水坡AB，已知 AB=4 米，则河床面的宽减少了多少米(即求 AC 的长)5【答案】解：设 AC 的长为 x，那么 BC 的长就为 2xx2+（2x） 2=AB2 ， x2+（2x） 2=（4 ） 2 ， 5x=4答：河床面的宽减少了 4 米 【考
22、点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【解析】【分析】因为坡度为 1：0.5 ，可知道 = ， 设 AC 的长为 x，那么 BC 的长就为 2x，根据勾股定理可列出方程求解24.小明想测量位于池塘两端的 A、B 两点的距离他沿着与直线 AB 平行的道路 EF 行走，当行走到点 C处，测得 ACF=45，再向前行走 100 米到点 D 处，测得 BDF=60若直线 AB 与 EF 之间的距离为 60 米，求 A、B 两点的距离（结果保留三位有效数字，参考数据： 1.414； 1.732.）2 3【答案】试题解析：过点 A作 AM EF，过点 B作 BN EF，垂足分别为点 M、 N在 Rt ACM
23、中， ACF=45， AM=60米则 CM=60 米CD=100 米MD=40 米在 Rt BDN中， BDF=60， BN=60米则 DN= 米603=203第 14 页 共 17 页AB /EFBAM= AMB= BNM=90 四边形 AMNB为矩形AB=MN=40+ 米 203AB 74.6米【考点】解直角三角形 【解析】【分析】试题分析：过点 ，然后通过解直角三角形求解即可.25.（ 2017十堰）如图，海中有一小岛 A，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60方向上，航行 12 海里到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30方向上
24、如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？【答案】解：只要求出 A 到 BD 的最短距离是否在以 A 为圆心，以 8 海里的圆内或圆上即可，如图，过 A 作 ACBD 于点 C，则 AC 的长是 A 到 BD 的最短距离，CAD=30，CAB=60，BAD=6030=30， ABD=9060=30，ABD=BAD，BD=AD=12 海里，CAD=30，ACD=90 ，CD= AD=6 海里，12由勾股定理得：AC= =6 10.3928 ，122-62 3即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险 【考点】解直角三角形的应用方向角问题 【解析】【分析】过 A 作 ACBD 于点 C，求出
25、CAD、CAB 的度数，求出BAD 和 ABD，根据等边对等角得出 AD=BD=12，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 CD，根据勾股定理求出 AD 即可26.某国发生 8.1 级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 25和 60，且 AB=4 米，第 15 页 共 17 页求该生命迹象所在位置 C 的深度（结果精确到 1 米，参考数据： sin250.4，cos250.9 ，tan250.5， 1.7） 3【答案】解：作 CDAB 交 AB 延长线于 D， 设 CD=x 米
26、在 RtADC 中，DAC=25 ，所以 tan25= =0.5，所以 AD= =2xRtBDC 中，DBC=60，由 tan 60= = ，解得：x3即生命迹象所在位置 C 的深度约为 3 米【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过 C 点作 AB 的垂线交 AB 的延长线于点 D，通过解 RtADC 得到 AD=2CD=2x，在 RtBDC 中利用锐角三角函数的定义即可求出 CD 的值27.如图，小明要测量河内小岛 B 到河边公路 AD 的距离，在点 A 处测得BAD=37，沿 AD 方向前进 150米到达点 C，测得BCD=45求小岛 B 到河边公路 AD 的距离 （参考数据：si
27、n370.60，cos370.80，tan370.75）【答案】解：过 B 作 BECD 垂足为 E， 设 BE=x 米，第 16 页 共 17 页在 RtABE 中， tanA= ，AE= = = x，在 RtABE 中， tanBCD= ，CE= = =x，AC=AECE，xx=150，x=450答：小岛 B 到河边公路 AD 的距离为 450 米 【考点】解直角三角形的应用 【解析】【分析】过 B 作 BECD 垂足为 E，设 BE=x 米，再利用锐角三角函数关系得出 AE= x，CE=x，根43据 AC=AECE，得到关于 x 的方程，即可得出答案28.如图，小明想测山高度，他在 B
28、处仰望山顶 A，测得仰角 B=31，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口 C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角ACE=39求这座山的高度（小明的身高忽略不计）【参考数据：tan31 ，sin31 ，tan39 ，sin39 】35 12 911 711【答案】解：过点 A 作 ADBE 于 D，设山 AD 的高度为（x）m，第 17 页 共 17 页在 RtABD 中，ADB=90，tan31= ，ADBDBD= = x，BDtan31x35 53在 RtACD 中，ADC=90，tan39= ，ADCDCD= = x，ADtan39x911119BC=BDCD， x x=80，53 119解得：x=180即山的高度为 180 米 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【解析】【解答】【分析】过点 A 作 ADBE 于 D，设山 AD 的高度为（x）m，在 RtABD 和 RtACD 中分别表示出 BD 和CD 的长度，然后根据 BDCD=80m，列出方程，求出 x 的值