1、 第 1 页 共 14 页【易错题解析】湘教版九年级数学上册 第三章 图形的相似 单元检测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.如果把三角形的三边按一定的比例扩大，则下列说法正确的是（） A. 三角形的形状不变，三边的比变大 B. 三角形的形状变，三边的比变大C. 三角形的形状变，三边的比不变 D. 三角形的形状不变，三边的比不变【答案】D 【考点】相似三角形的性质 【解析】【 分析 】 根据相似三角形的性质得出形状与各边的关系，从而分别分析得出答案【解答】根据相似三角形的性质可得；如果把三角形的三边按一定的比例扩大则三角形的形状不变，三边比不变故选 D【 点评 】 此题主要考查了相
2、似性的性质，根据图形变化得出各边比例关系是解决问题的关键2.如图，DE FGBC，若 DB=4FB，则 EG 与 GC 的关系是（ ）A. EG=4GC B. EG=3GC C. EG= GC D. EG=2GC52【答案】B 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【解答】DE FGBC，DB=4FB， 故答案为：BEGGC=DFFB=31=3【分析】根据平行线分线段成比例即可得出答案。3.若ABC ABC，则相似比 k 等于（ ） A. AB:AB B. A: A C. SABC：S ABC D. ABC 周长：ABC周长【答案】D 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】根据相似三角形对应
3、线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解ABCABC，相似比 k=AB：AB=ABC 周长：ABC周长， = k2.S ABC： S ABC故答案为：D【分析】由题意根据相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比即可求解。4.对于线段 a，b，如果 ab2 3，那么下列四个选项一定正确的是( ) A. 2a3b B. ba1 C. D. a+2b+3=23 a+bb =52【答案】C 第 2 页 共 14 页【考点】比例的性质 【解析】【解答】根据比值可得：A、2b=3a，则 A 不符合题意；B、设 a=2k，则 b=3k，a
4、-b=k，则 B 不符合题意；C、 ，则 C 符合题意；a+2b+3=23D、 ，则 D 不符合题意，a+bb =53故答案为：C【分析】（1）将比例式化为乘积式即可得 2b=3a；（2 ）设 a=2k，则 b=3k，a-b=k，而 k 不一定等于 1；（3 ）由等比性质可得 ；a+2b+3=23（4 ）由合比性质可得 .a+bb =535.如图，ABCDEF，相似比为 12，若 BC1 ，则 EF 的长是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】解：ABCDEF，相似比为 12BCEF=121EF=12EF=2故答案为：B【分析】根据相
5、似三角形的性质及相似比，得出 ，即可求解。BCEF=126.如图，在ABC 中，DEBC， ，DE=4cm，则 BC 的长为（ ） ADBD=12A. 8 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm【答案】B 第 3 页 共 14 页【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：DE BC， ， ， ，ADBD=12 ，DE=4cm，BC=12cm，故选 B【分析】根据平行线分线段成比例，可以求得 AD 与 AB 的比值，进而可以求得 BC 的长，本题得以解决7.如图，AB 是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚 B 距墙 1.4m，梯上点 D 距墙 DE=1.2m，BD 长 0.
6、5m，且ADEABC ， 则梯子的长为（ ） A. 3.5m B. 3.85m C. 4m D. 4.2m【答案】A 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】ADEABC ， AD：AB=DE：BC ， （ AB-0.5）：AB=1.2 ：1.4，AB=3.5m梯子 AB 的长为 3.5m故选：A【分析】由已知条件ADEABC ， 得相似三角形对应边成比例，代入数据进行解答此题是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出梯子 AB 的长8.如图，在ABC 中， ACB90，CD 是 AB 边上的高如果 BD =4，CD=6，那么 是（ ）BC:ACA. B
7、. C. D. 3:2 2:3 3:13 2:13【答案】B 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】ACB=90 ，B+ A=90，BDC=90， B+BCD=90，A=BCD，ACB=CDB=90，ACBCDB，第 4 页 共 14 页BC：AC=BD：CD=4：6=2：3，答案为：B.【分析】可证出ACBCDB，再利用其性质对应边成比例，求出 BC：AC=BD：CD=4 ：6=2 ：3.9.在ABC 与ABC 中，有下列条件： ； ；ABAB= BCBC ACAC= BCBC A= A C= C如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABCABC的共有（ ）组。 A. 1 B.
8、2 C. 3 D. 4【答案】C 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】如果从中任取两个条件组成一组；【解答】选 ； ，则 = ，ABCABC； ABAB= BCBC ACAC= BCBC ABAB= BCBC ACAC选 ； 根据三角形相似的条件，所以ABC ABC； A= A C= C选 ； ， 则根据三角形相似的判定方法，ABCABC，其他的组合都不 C= C能判定这两个三角形相似【点评】本题考查相似三角形，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键，要求学生会判定两个三角形相似10.一个三角形框架模型的三边长分别为 20 厘米、30 厘米、40 厘米，木工要以一根长为 60 厘
9、米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ） A. 30 厘米、45 厘米； B. 40 厘米、80 厘米； C. 80 厘米、120 厘米； D. 90 厘米、120 厘米【答案】C 【考点】相似三角形的应用 【解析】【解答】当 60cm 的木条与 20cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为 90cm 与120cm；当 60cm 的木条与 30cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为 40cm 与 80cm；当 60cm 的木条与 40cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为 30cm 与 45cm；所以 A、B、D 选项不符
10、合题意，C 选项符合题意，故答案为：C.【分析】讨论：若 20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为 60 厘米、x 厘米、y 厘米；若 20 厘米、 30 厘米、40 厘米的对应边分别为 x 厘米、60 厘米、y 厘米，；若 20 厘米、 30 厘米、40 厘米的对应边分别为 x 厘米、y 厘米、60 厘米，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可二、填空题（共 10 题；共 30 分）第 5 页 共 14 页11.如图，AB CB 于点 B ， ACCD 于点 C ， AB=6，AC=10，当 CD= _时，ABCACD 【答案】【考点】相似三角形的判定 【解析】【解答】ABCB
11、， ACCD ， AB=6，AC=10，B=ACD=90，BC=8，ABCACD当 AB：BC=AC ：CD 时 ，解得 CD= 【分析】根据已知，利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定，根据相似三角形的边对应成比例求得 CD 的长12.已知点 在线段 上，且 ,那么 _ P AB AP:BP=2:3 AB:PB=【答案】5:3 【考点】比例的性质 【解析】【解答】由题意 AP：BP=2：3，设 AP=2x,BP=3XAB=5XAB： PB=5：3.故答案为：5:3.【分析】根据 AP：BP=2：3 ，从而说明 AP 占两份，BP 占三份，从而得出 AB 占 5 份，进一
12、步得出答案。13.已知ABC 与DEF 相似，且对应边的比为 1：2 ，则 ABC 与DEF 的面积比为_ 【答案】1：4 【考点】相似三角形的性质 【解析】【解答】面积比等于相似比的平方，易得.【分析】根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方可求解。第 6 页 共 14 页14.如图，已知 ，AD6.4 cm，DB4.8 cm，EC4.2 cm，则 AC_ cm.ADDB=AEEC【答案】9.8 【考点】比例线段 【解析】【解答】已知 ，AD6.4 cm，DB 4.8 cm，EC 4.2 cm，所以 ，解得ADDB=AEEC 6.44.8= AE4.2AE=5.6cm，即可得 AC=AE+
13、EC=4.2+5.6=9.8cm.【分析】将已知的线段 AD、DB 、EC 代入比例式可求得 AE 的长，由题意可得 AC=AE+EC，将 AE、EC 代入计算即可求解。15.如图，点 G 是ABC 的重心，AG 的延长线交 BC 于点 D，过点 G 作 GEBC 交 AC 于点 E，如果 BC6 ，那么线段 GE 的长为_【答案】2 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】点 G 是ABC 重心，BC=6，CD= BC=3，AG：AD=2：3，12GEBC，AEGADC，GE：CD=AG ： AD=2：3，GE=2.故答案为：2.【分析】由相似三角形的判定易得AEG ADC，结合三角
14、形的重心的性质可求解。16.已知 RtABC 中， ACB=90，AC=6 ，BC=8 ，点 D 是 AB 中点，点 E 是直线 AC 上一点，若以 C、D、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则 AE 的长度为_【答案】3 或 73【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】ACB=90,AC=6,BC=8,第 7 页 共 14 页AB= 62+82=10点 D 是 AB 中点,CD=5,CD=AD,A=ACD,C,D,E 为顶点的三角形与ABC 相似，应分 ABCCDE 和 ABCCED 两种情况进行讨论:当ABC CDE 时: ,ABCD=ACCE则 ,即 CE=3,得到:AE=3,1
15、05= 6CE当ABC CED 时: ,ABCE=ACCD则 ,即 CE= ,10CE=65 253得到 AE= ,253-6=73AE 的长为 3 或 ,73故答案为: 3 或 .73【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出 CD、AD 的长，再根据 C,D,E 为顶点的三角形与 ABC 相似，分两种情况讨论：当 ABCCDE 时；当ABCCED 时，分别利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，解方程求出 AE 的长。17.如图，在ABC 中，D，E 两点分别在边 AB，AC 上，AB=8cm，AC=6cm，AD=3cm，要使ADE 与 ABC相似
16、，则线段 AE 的长为_ 【答案】4 或 94【考点】相似三角形的判定 【解析】【解答】解：当 ADEABC 时，有 AD：AB=AE：AC，AB=8， AC=6，AD=3，AE= ；94当AEDABC 时，有 AD：AE=AC ：AB，AB=8， AC=4，AD=3，第 8 页 共 14 页AE=4，所以 AE 等于 4 或 94故答案为：4 或 94【分析】根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，ADE 与ABC相似，由于题中没有指明对应边，故应该分两种情况讨论求解18.如图，以点 O 为位似中心，将 ABC 放大得到 DEF，若 AD=OA，则ABC 与DE
17、F 的面积之比为_ 【答案】1：4 【考点】作图位似变换 【解析】【解答】解：以点 O 为位似中心，将ABC 放大得到 DEF，AD=OA，AB：DE=OA：OD=1：2，ABC 与DEF 的面积之比为：1 ：4故答案为：1：4【分析】由 AD=OA，易得ABC 与DEF 的位似比等于 1： 2，继而求得ABC 与DEF 的面积之比s19.如图，在直角 中， ， AC=6， BC=8， P、 Q 分别为边 BC、 AB 上的两个动 ABC C=90点，若要使 是等腰三角形且 是直角三角形，则 AQ=_ APQ BPQ【答案】 或 154 307【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解
18、：当BPQ 是直角三角形时，有两种情况： BPQ=90 度，BQP=90 度。在直角 中， ， AC=6， BC=8，则 AB=10，AC：BC：AB=3:4:5.( 1 )当BPQ=90 度，则 ABC C=90BPQBCA，则 PQ：BP：BQ=AC：BC：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，此时AQP 为钝角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，第 9 页 共 14 页则 10-5x=3x，解得 x= ，54则 AQ=10-5x= ；154（ 2 ）当 BQP =90 度，则BQP BCA，则 PQ：BQ：BP=AC：BC
19、：AB=3:4:5，设 PQ=3x，则 BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x ，此时AQP 为直角，则当APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，则 10-4x=3x，解得 x= ，107则 AQ=10-4x= ；304故答案为： 或 154 307【分析】要使BPQ 是直角三角形，因此分情况讨论：利用勾股定理求出 AB 的长，就可得出 AC：BC：AB的比值，( 1 )当 BPQ=90 度，则 BPQBCA，得出对应边成比例，设 PQ=3x，则 BP=4x，BQ=5x，AQ=AB-BQ=10-5x，则 AQP 为钝角，则当APQ 是等腰三角形时，则 AQ=PQ，建立方程求出
20、x 的值，就可得出AQ 的长；（ 2 ）当BQP =90 度，则BQPBCA，得出对应边成比例，设 PQ=3x，则BQ=4x，BP=5x，AQ=AB-BQ=10-4x，则 AQP 为直角，则当 APQ 是等腰三角形时，只有 AQ=PQ，建立方程求出 x 的值，就可得出 AQ 的值，从而可得出答案。20.如图 RtABC 中， BAC=90，AB=3，AC=4 ，点 P 为 BC 上任意一点，连接 PA，以 PA，PC 为邻边作平行四边形 PAQC，连接 PQ，则 PQ 的最小值为_【答案】 125【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：BAC=90 ，AB=3 ，AC=4 ，BC=
21、 =5，AC2+AB2四边形 APCQ 是平行四边形，PO=QO，CO=AO，PQ 最短也就是 PO 最短，过 O 作 BC 的垂线 OP，ACB=PCO， CPO=CAB=90，CABCPO， ，COBC=OPAB第 10 页 共 14 页 ，25=OP3OP= ，65则 PQ 的最小值为 2OP= ，125故答案为： 125【分析】通过证明两个对应角相等，得出CABCPO，通过对应边成比例，求出 PQ 的最小值。三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图，在ABC 和ADE 中，已知B= D ， BAD=CAE ， 求证：ABC ADE 【答案】解答：如图，BAD=CAE ， BAD
22、+BAE=CAE+BAE ， 即DAE= BAC 又B= D ， ABCADE 【考点】相似三角形的判定 【解析】【分析】利用“两角法”来证：ABCADE 22.如图，在ABC 中，DE BC，DFAB ，求证：ADEDCF【答案】解：ED BC,DFAB，ADE=C， DFC=B，AED=B，AED=DFCADEDCF 【考点】相似三角形的判定 【解析】【分析】由题意根据有两个角相等的两个三角形相似即可得证。第 11 页 共 14 页23.已知：平行四边形 ABCD，E 是 BA 延长线上一点，CE 与 AD、BD 交于 G、F求证：CF 2=GFEF【答案】证明：四边形 ABCD 是平行四
23、边形，ADBC，AB CD， = ， = ，GFCFDFBFCFEFDFBF = ，GFCFCFEF即 CF2=GFEF 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得 ADBC，ABCD ，再根据平行线分线段成比例定理得 = ， GFCFDFBF= ， 利用等量代换得到 = ， 然后根据比例的性质即可得到结论CFEFDFBF GFCFCFEF24.如图，ABC 是一块锐角三角形的材料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少 mm【答案】解：设正方形的边长为
24、 xmm，则 AI=ADx=80x，EFHG 是正方形，EFGH，AEFABC，EFBC=AIAD第 12 页 共 14 页即x120=80-x80解得 x=48mm，所以，这个正方形零件的边长是 48mm 【考点】相似三角形的应用 【解析】【分析】设正方形的边长为 x，表示出 AI 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解25.如图，在ABCD 中，EFAB，FGED，DE ：DA=2：5 ，EF=4 ，求线段 CG 的长【答案】解：EFAB ， = = = ，又 EF=4，EFABDFDBDEDA25AB=10，四边形 ABCD 是平行四边形，CD=A
25、B=10，FGED， = = ，DGDCDFDB25DG=4，CG=6 【考点】平行线分线段成比例 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理求出 = = ， 得到 AB 的长，根据平行四边形的性质求EFABDEDA25出 CD，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，计算即可26.如图所示，已知 ABEFCD，AC 、BD 相交于点 E，AB=6cm，CD=12cm，求 EF【答案】解：ABCD， ，CEAE=CDAB=126=2第 13 页 共 14 页 ，CEAC= CEAE+CE= 21+2=23ABEF， ，EFAB=CEAC即 ，EF6=23解得 EF=4cm 【考点】平行线分线段成
26、比例 【解析】【分析】由 ABCD，可得出对应相等成比例，求出 CE：AC 的值，再利用 ABEF，得出对应边成比例，就可求出 EF 的长。27.如图，大刚在晚上由灯柱 A 走向灯柱 B，当他走到 M 点时，发觉他身后影子的顶部刚好接触到灯柱 A的底部，当他向前再走 12 米到 N 点时，发觉他身前的影子刚好接触到灯柱 B 的底部，已知大刚的身高是1.6 米，两根灯柱的高度都是 9.6 米，设 AM=NB=x 米求：两根灯柱之间的距离【答案】解：由对称性可知 AM=BN，设 AM=NB=x 米，MFBC，AMFABC ，FMBC=AMAB = 1.69.6x2x+12x=3经检验 x=3 是原
27、方程的根，并且符合题意AB=2x+12=23+12=18（m）答：两个路灯之间的距离为 18 米 【考点】相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】由对称性可知 AM=BN，设 AM=NB=x 米，易证AMF ABC，根据相似三角形的性质可得， = ，代入求得 AM，最后再求得 AB。FMBCAMAB28.如图所示，在矩形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，OE BC 于 E，连接 DE 交 OC 于点 F，作 FGBC 于G（1 ）说明点 G 是线段 BC 的一个三等分点； 第 14 页 共 14 页（2 ）请你依照上面的画法，在原图上画出 BC 的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明） 【答案】（1）解： OEBC，CD BC， OECDOEFCDF， EFFD=OECD=OBBD=12四边形 ABCD 是矩形，ADBC CGBG=CEAF=EFFD=12G 是 BC 的三等分点（2 ）解：依题意画图所示， 【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质 【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2 ）连接DG，交 AC 于 P 点，做 PRBC 交 BC 于 R，R 点为四等分点。