1、 第 1 页 共 10 页【易错题解析】青岛版九年级数学上册 第四章 一元二次方程 单元检测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.方程 x2=25 的解为（ ）A. x=5 B. x=65 C. x=5 D. x= 25【答案】C 【考点】直接开平方法解一元二次方程 【解析】【解答】解：x 2=25，x=5；故选 C【分析】直接开方即可得出答案2.一元二次方程 根的情况是（ ） 2x2-3x+1=0A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根【答案】A 【考点】根的判别式 【解析】【解答】解： a=2,b=-3,c=1 = -4ac=
2、-421=1 0;b2 (-3)2 方程有两个不相等的实数根。故选 A；【分析】根据根的判别式= -4ac，把 a,b,c,的值代入，由计算结果判断方程根的情况即可。b23.已知 x1 是方程 的一个根，则 m=（ ） x2+mx+1=0A.2 B.-2 C.0 D.1【答案】A 【考点】一元二次方程的根 【解析】【解答】将 x=-1 代入解得 1-m+1=0，解得 m=2。【分析】使一元二次方程两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解.根据定义将 x=-1 代入方程得 1-m+1=0，解方程得 m=2。4.下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. ax2+bx+c=0 B. =2
3、 C. x2+2x=x21 D. 3（x+1） 2=2（x+1 ）1x2+1x【答案】D 【考点】一元二次方程的定义 【解析】【解答】解：A、ax 2+bx+c=0 当 a=0 时，不是一元二次方程，故 A 错误； B、 =2 不是整1x2+1x式方程，故 B 错误；C、 x2+2x=x21 是一元一次方程，故 C 错误；D、3（ x+1） 2=2（x+1）是一元二次方程，故 D 正确；第 2 页 共 10 页故选：D【分析】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有一个未知数由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个
4、条件者为正确答案5.已知关于 x 的方程 x2-6x+m-1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. m10 m 10【答案】A 【考点】根的判别式 【解析】【 分析 】 根据关于 x 的方程 x2-6x+m-1=0 有两个不相等的实数根，则 0，列出不等式，即可求出 m 的取值范围【解答】方程有两个不相等的实数根，=36-4（m-1)0，解得 m10故选 A【 点评 】 本题考查了根的判别式，解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1)0方程有两个不相等的实数根；（2)=0方程有两个相等的实数根；（3)0方程没有实数根；据此即可把求未知
5、系数的问题转化为解不等式的问题6.若一元二次方程 中的 ，则这个一元二次方程是（ ） ax2+bx+c=0 a=2,b=0,c= -1A. B. C. D. 2x2+1=0 2x2-1=0 2x2+x=0 2x2-x=0【答案】B 【考点】一元二次方程的定义 【解析】【分析】把 分别代入一元二次方程 中, 得到a=2,b=0,c= -1 ax2+bx+c=0 2x2-1=0故选 B.7.用配方法解一元二次方程 x26x=5 的过程中，配方正确的是（ ） A. （x+3） 2=1 B. （x3 ） 2=1 C. （x+3） 2=4 D. （x3 ） 2=4【答案】D 【考点】配方法解一元二次方程
6、 【解析】【解答】解：x 26x+9=4，（x3） 2=4故选 D【分析】先把方程两边都加上 9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可8.一元二次方程 x2+4x-3=0 的两根为 、 ，则 的值是（ ） 第 3 页 共 10 页A. 4 B. -4 C. 3 D. -3【答案】D 【考点】根与系数的关系 【解析】解答: =-3故选 D分析: 根据根与系数的关系求解9.方程 x2+ax+1=0 和 x2-x-a=0 有一个公共根，则 a 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】方程 x2+ax+1=0 和 x
7、2-x-a=0 有一个公共根，（ a+1）x+a+1=0，解得 x=-1，当 x=-1 时， a=2，所以选 C【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得 x 与 a 的关系，故可以解得公共解 x ， 然后求出 a 10.某商店购进一种商品，单价为 30 元试销中发现这种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售价x（元）满足关系：P=100-2x.若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）. A. （x-30）（100-2x）=200 B. x（100-2x）=200C. （ 30-x）（100-2x）=200 D. （x-30 ）（ 2x-
8、100）=200【答案】A 【考点】一元二次方程的应用 【解析】 【 分析 】 一天的利润=（售价-进价)销售量，把相关数值代入即可【解答】每件商品的利润为（x-30)元，可售出（100-2x) 件，根据每天的利润为 200 元可列的方程为（ x-30)（100-2x)=200，故选 A【 点评 】 考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.一元二次方程 x2=3x 的解是_ 【答案】0 或-3 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】x 2=3x，x（ x+3）=0，x=0 或 x=-3.第 4 页 共 10 页故答案
9、为：0 或-3.【分析】根据一元二次方程因式分解法即可得出答案.12.已知关于 的方程 的一个根是 1，则另一个根为 _ x x2-x+m=0【答案】0 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：把方程一个根 1 代入方程有：1-1+m=0，解得 m=0；把 m=0 代入原方程解得 x=0故案为：0【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得 即可求解。x1+x2= -ba13.两个连续负奇数的积是 143，则这两个数是_ 【答案】13 ，11 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设这两个连续奇数为 x，x+2，根据题意 x（x+2）=143，解得 x1=11（不合题
10、意舍去），x 2=13，则当 x=13 时， x+2=11答：这两个数是13 ，11故答案为：13，11【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差 2 得到较大的奇数，根据两个数的积是 143 列出方程求解即可14.若（x 2+y2）（1 x2y2）+6=0，则 x2+y2 的值是_ 【答案】3 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：（x 2+y2）（1 x2y2）+6=0 ，（x 2+y2） 2+（x 2+y2）+6=0 ，（ x2+y2） 2（x 2+y2） 6=0，（x 2+y2）3（x 2+y2）+2=0，不论 x、y 为何值，（x 2+y2）+20，第 5 页 共 10
11、 页x2+y23=0，x2+y2=3，故答案为：3【分析】把 x2+y2 当作一个整体展开，分解因式，即可得出答案15.已知关于 x 的一元二次方程（ a2）x 2+x+a24=0 的一个根是 0，则 a 的值为_ 【答案】-2 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】解：把 0 代入方程有： a24=0，a2=4，a=2；a20，a=2，故答案为：2【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于 a 的方程，从而求得 a 的值16.如果关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，那么实数 k 的值是_ 【答案】
12、94【考点】解一元一次方程，根的判别式 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 x23x+k=0 有两个相等的实数根，=（3） 241k=94k=0，解得：k= 94故答案为： 94【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出结论17.方程 x2+x-1=0 的根是_。 【答案】【考点】解一元二次方程公式法 第 6 页 共 10 页【解析】【解答】a=1，b=1，c=-1b2-4ac =50 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题时要注意将方程化为一般形式18.已知关于 x 的一元二次方程： x23x2（m1）=0 的两个实数根是 x1
13、 和 x2 ， 且|x 1x2|=7，那么 m 的值是_ 【答案】6 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：x 23x2（m1）=0 的两个实数根是 x1 和 x2 ， x1+x2=3，x 1x2=2（m1），|x1x2|=7，（ x1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2=9+8m8=1+8m=49，解和 m=6故答案为：6【分析】利用根与系数的关系求出 x1+x2=3，x 1x2=2（m1），再由（x 1x2） 2=（x 1+x2） 24x1x2=49 求解即可19.若关于 x 的方程 x25x m 0 的两个根分别为为 x1 ， x2 ， 且 1，则 m_. 1x1+1x2【答
14、案】5 【考点】一元二次方程的根与系数的关系 【解析】【解答】解：由题意得， .x1+x2= -5 x1x2=m 1，1x1+1x2 1 ，x1+x2x1x2 1，-5mm=-5.故答案为：-5.【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和和两根之积，再将 的右边通分，1x1+1x2=1用含 x1x2 和 x1+x2 的式子表示，建立关于 m 的方程，解方程求解即可。20.合肥大建设再创新高潮，继“高架时代”后合肥即将迈入“地铁时代” ，2015 年合肥市投入 200 亿元用于地下轨道交通建设，并计划 2016 年、2017 年两年累计再投入 528 亿元用于地下轨道交通建设，若设这
15、两年中投入资金的年平均增长率为 x，则可列方程为_第 7 页 共 10 页【答案】200（1+x ）+200（1+x） 2=528【考点】一元二次方程的应用 【解析】【解答】解：设这两年中投入资金的年平均增长率为 x，则 2016 年投资额为 200（1+x），2017 年的投资额为：200（1+x） 2 ， 根据 2016 年、2017 年两年累计再投入 528 亿元，可列方程：200（1+x）+200（1+x） 2=528，故答案为：200（1+x ）+200（1+x） 2=528【分析】分别表示出 2016、2017 年的投资额，根据 2016 年、2017 年两年累计再投入 528 亿
16、元可列方程三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.解下列方程 （1 ） 2x2-x=0 （2 ） x2-4x=4 【答案】（1）解：2x 2-x=0，2x(x-1)=0，2x=0 或 x-1=0，则 x1=0,x2=1.（2 ）解：方程两边同时+4，得 x2-4x+4=4+4，（x-2） 2=8,x-2=2 ，2则 x1=2+2 ,x2=2-2 . 2 2【考点】解一元二次方程配方法，解一元二次方程 因式分解法 【解析】【分析】(1)考查运用解一元二次方程- 因式分解法；（2 ）考查运用解一元二次方程-配方法。选择合适的解答方法，使解答更简便。22.已知关于 x 的方程 kx2+（2k+1
17、）x+2=0求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根 【答案】解：当 k=0 时，方程变形为 x+2=0，解得 x=2；当 k0 时， =（2k+1） 24k2=（2k 1） 2 ， （ 2k1） 20，0，当 k0 时，方程有实数根，无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； 【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系 第 8 页 共 10 页【解析】【分析】分类讨论：当 k=0 时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当 k0 时，计算判别式得到=（2k 1） 2 ， 由此得到0，由此判断当 k0 时，方程有两个实数根；23.学完一元二次方程后，在一次数学课上，同
18、学们说出了一个方程的特点：它的一般形式为 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数，a0）它的二次项系数为 5常数项是二次项系数的倒数的相反数你能写出一个符合条件的方程吗？ 【答案】解：由知这是一元二次方程，由 可确定 ，而 的值不唯一确定，可为任意数，a、 c b熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键这个方程是 5x22x =0. 15【考点】一元二次方程的定义及相关的量 【解析】【分析】开放性的命题，由题知：此题是一个一元二次方程，由可确定 a 、 c ，而 b 的值不唯一确定，可为任意数，从而得出答案。24.如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三
19、边所围的栅栏的总长度是6m若矩形的面积为 4m2 ， 请你计算 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6m）【答案】解：设 AB=xm，则 BC=（6-2x ）m根据题意可得，x（6-2x ）=4解得 x1=1，x 2=2（舍去）.答：AB 的长为 1m 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】根据栅栏的总长度是 6m，AB=xm，则 BC=（6-2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可。25.一海关缉私艇发现在正北方 45 海里处有一艘可疑船只，测得它以 60 海里/时的速度向正东方向航行，立即调整方向，以 75 海里/时的速度准备将其拦截，问经过多少时间能拦截上？ 【答案
20、】 解：设经过 x 小时能拦截上，则 ，解得： （不合题意，舍去），答：经过 1 小时能拦截上 【考点】一元二次方程的应用，勾股定理 【解析】【分析】作图可以帮助理解该题的解题思路第 9 页 共 10 页26.（ 2017巴中）巴中市某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米 4050 元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率 【答案】解：设平均每次下调的百分率为 x，根据题意得：5000（1x ） 2=4050，解得：x 1=0.1=10
21、%，x 2=1.9（不合题意，舍去）答：平均每次下调的百分率为 10% 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设平均每次下调的百分率为 x，根据调价前后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取小于 1 的正值即可得出答案 .27.列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按 元销售时，每天可销售 个；若销售单价每降低元，每天可多售出 个.已知每个玩480 160 2具的固定成本为 元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润 元？ 360 20000【答案】解：设这种玩具的销售单价为 x 元时，厂家
22、每天可获利润 元，由题意得,20000(x-360)160+2(480-x)=20000（x-360）(1120-2x)=20000（x-360）(560-x)=10000这种玩具的销售单价为 460 元时，厂家每天可获利润 元. x2-920x+211600=0(x-460)2=0x1=x2=460 20000【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】根据总利润=单件利润 销量，用 x 的代数式分别表示两个量，构建方程，得出答案.28.已知：如图，ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点
23、 P 到达点 B 时， P、Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为t（s），解答问题：当 t 为何值时， PBQ 是直角三角形？【答案】解：根据题意得 AP=tcm，BQ=tcm，ABC 中，AB=BC=3cm， B=60，BP=（ 3t）cm，PBQ 中，BP=3t ，BQ=t ，若 PBQ 是直角三角形，则第 10 页 共 10 页BQP=90或BPQ=90，当BQP=90时，BQ= BP，12即 t= （3t），t=1（秒），12当BPQ=90时，BP= BQ，123t= t，t=2（秒）12答：当 t=1 秒或 t=2 秒时， PBQ 是直角三角形 【考点】一元二次方程的应用，等边三角形的性质，勾股定理 【解析】【分析】根据题意得 AP=tcm，BQ=tcm，本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形B=60 ，所以就可以表示出 BQ与 PB 的关系，要分情况进行讨论： BPQ=90；BQP=90然后在直角三角形 BQP 中根据 BP，BQ的表达式和B 的度数进行求解即可