1、 第 1 页 共 18 页【易错题解析】冀教版九年级数学下册期末综合测试卷一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.如图，将长方体表面展开，下列选项中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【考点】几何体的展开图 【解析】【解答】A、是长方体平面展开图，不符合题意；B、是长方体平面展开图，不符合题意；C、有两个面重合，不是长方体平面展开图，符合题意；D、是长方体平面展开图，不符合题意故答案为：C【分析】展开图如果不易观察，可以实际操作一下，易得结果。2.（2017齐齐哈尔）一个圆锥的侧面积是底面积的 3 倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ） A. 120 B. 180 C.
2、 240 D. 300【答案】A 【考点】几何体的展开图，圆锥的计算 【解析】【解答】解：设底面圆的半径为 r，侧面展开扇形的半径为 R，扇形的圆心角为 n 度 由题意得 S 底面面积 =r2 ， l 底面周长 =2r，S 扇形 =3S 底面面积 =3r2 ， l 扇形弧长 =l 底面周长 =2r由 S 扇形 = l 扇形弧长 R 得 3r2= 2rR，12 12故 R=3r由 l 扇形弧长 = 得：nR1802r= 解得 n=120n 3r180故选 A第 2 页 共 18 页【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的 3 倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得
3、圆锥侧面展开图的圆心角度数3.下列事件是随机事件的是（ ） A. 在一个标准大气压下，水加热到 100会沸腾 B. 购买一张福利彩票就中奖C. 有一名运动员奔跑的速度是 50 米/ 秒 D. 在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球【答案】B 【考点】随机事件 【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件A在一个标准大气压下，水加热到 100会沸腾是必然事件；B购买一张福利彩票就中奖是随机事件；C有一名运动员奔跑的速度是 50 米/ 秒是不可能事件；D在一个仅装有白球和黑球的袋中摸球，摸出红球是不可能事件.故选 B.4.如果二次函数 y=ax2+bx+c 中， a：
4、b：c=2：3 ：4，且这个函数的最小值为 ，则这个二次函数为（ 234） A. y=2x2+3x+4 B. y=4x2+6x+8 C. y=4x2+3x+2 D. y=8x2+6x+4【答案】B 【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：a ：b ：c=2 ：3 ：4， 设 a=2k，b=3k，c=4k ，函数的最小值= = = = ，4ac-b24a 42k4k-(3k)242k 23k8 234解得 k=2，a=4，b=6，c=8，这个二次函数为 y=4x2+6x+8故选 B【分析】根据比例设 a=2k，b=3k ，c=4k ，然后根据函数的最小值列式求出 k 值，再求出 a、b、c，
5、即可得解5.已知抛物线 yx 22x 上三点 A(5 ，y 1)，B(1 ，y 2)，C(12，y 3)，则 y1 ， y2 ， y3 满足的关系式为( ) A. y1y 2y 3 B. y3y 2y 1 C. y2y 1y 3 D. y3y 1y 2【答案】C 【考点】二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】 【 分析 】 首先求出抛物线 y=x2+2x 的对称轴，然后根据 A、B、C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解【解答】抛物线 y=x2+2x，x=-1，而 A（-5，y 1)，B（1，y 2)，C（12，y 3)，B 离对称轴最近， A 次之，C 最
6、远，第 3 页 共 18 页y2y 1y 3 故选 C【 点评 】 此题主要考查了二次函数的性质，解题首先确定抛物线的对称轴，然后根据已知条件确定A、B 、C 的位置即可解决问题6.如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB，AC 于点 E，D，DF 是圆的切线，过点 F作 BC 的垂线交 BC 于点 G若 AF 的长为 2，则 FG 的长为（ ）A. 4 B. C. 6 D. 33 23【答案】B 【考点】等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，切线的性质，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】连接 OD， DF 是切线，ODF=90，C=60，OD=OC=
7、 BC，12OCD 是等边三角形，CD=OC= BC= AC，12 12OD/AB，AFD ODF9，A6，ADF=30，AD=2AF=4，AC=8，AB=AC=8，AF=2，BF=6，FBG=90，B=60，FG=FBsin60=3 ；3故答案为：B【分析】连接 OD，根据切线的性质得出ODF=90，根据等边三角形的判定知OCD 是等边三角形，根据第 4 页 共 18 页等边三角形的性质得 CD=OC= BC= AC，再根据平行线的判定和性质得出 AFDODF9 ，根据含12 1230 的直角三角形的边角关系得出 AD=2AF=4，AB=AC=8 ，进而得出 BF=6，在直角三角形 BGF
8、中利用正弦函数的定义算出 FG。7.已知二次函数 y= x27x+ ，若自变量 x 分别取 x1 ， x2 ， x3 ， 且 0x 1x 2x 3 ， 则对应的函12 152数值 y1 ， y2 ， y3 的大小关系正确的是（ ） A. y1y 2y 3 B. y1y 2y 3 C. y2y 3y 1 D. y2y 3y 1【答案】B 【考点】二次函数的性质 【解析】【分析】先计算得到抛物线的对称轴 ，再结合抛物线的开口方向根据二次函数的性质x= -b2a分析.抛物线的对称轴 ，二次项系数 a=- 0，即抛物线开口向上下x= -b2a= - -72(-12)= -70 12且 0x1x2x3y
9、1y 2y 3故选 B.【点评】解答二次函数的增减性问题一定要注意要以抛物线的对称轴为界进行讨论，同时结合抛物线的开口方向进行分析.8.一次函数 y=ax+b（a0）、二次函数 y=ax2+bx 和反比例函数 y= （k0）在同一直角坐标系中的图象如kx图所示，A 点的坐标为（ 2，0），则下列结论中，正确的是（ ） A. b=2a+k B. a=b+k C. ab 0 D. ak0【答案】D 【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象 【解析】【解答】解：根据图示知，一次函数与二次函数的交点 A 的坐标为（ 2，0）， 2a+b=0，b=2a由图示知，抛物线开口向上，则 a0，
10、b0反比例函数图象经过第一、三象限，k0A、由图示知，双曲线位于第一、三象限，则 k0 ，第 5 页 共 18 页2a+k2a，即 b2a+k故 A 选项错误；B、k 0 ，b=2a，b+k b，即 b+k 2a，a=b+k 不成立故 B 选项错误；C、 a 0，b=2a，ba0故 C 选项错误；D、观察二次函数 y=ax2+bx 和反比例函数 y= （k0）图象知，当 x= = =1 时，y= k = =a，即kx b2a 2a2a b24a 4a24aka，a0， k0，ak 0 故 D 选项正确；故选：D【分析】根据函数图象知，由一次函数图象所在的象限可以确定 a、b 的符号，且直线与抛
11、物线均经过点A，所以把点 A 的坐标代入一次函数或二次函数可以求得 b=2a，k 的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定9.半径为 a 的正六边形的面积等于（ ） A. B. C. a2 D. 34a2 332a2 33a2【答案】B 【考点】正多边形和圆 【解析】【解答】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是 a，因而面积是： ，因而正六边形的面积： 故选 B3a24 332a2【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形第 6 页 共 18 页10.如图，正方形 ABCD 内接于 O，O 的直径为 分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子
12、，则豆子落在2正方形 ABCD 内的概率是（ ）A. B. C. D. 2 2 12 2【答案】A 【考点】几何概率 【解析】【 分析 】 在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可【解答】因为O 的直径为 分米，则半径为 分米，O 的面积为 （ )2= 平方分米；222 22 2正方形的边长为 ，面积为 1 平方分米；(22)2+(22)2=1因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，所以 P（豆子落在正方形 ABCD 内) = 1 2=2故选 A【 点评 】 此题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事
13、件为 n，随机事件 A所包含的基本事件数为 m，我们就用来描述事件 A 出现的可能性大小，称它为事件 A 的概率，记作 P（A)，即有 P（A)=mn二、填空题（共 10 题；共 36 分）11.先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后恰好一次正面向上,一次正面向下的概率是_. 【答案】 12【考点】概率的意义 【解析】【解答】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后恰好一次正面向上,一次正面向下的概率是： P=1212+1212=12.故答案为： 12.【分析】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币所有可能的结果有 4 种，符合题意的有 2 种，所以概率 P = 。12第 7 页 共 18 页12.抛物
14、线 y=-x2 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，则平移后抛物线的函数表达式是 _【答案】y=(x+1) 2+2【考点】二次函数图象的几何变换 【解析】【解答】解、由二次函数的平移规律“左加右减、上加下减 ”可知，将二次函数化成顶点式后，左右平移在 h 后加或减；上下平移在 k 后加或减，所以平移后抛物线的函数表达y=a(x-h)2+k式：y=(x+1) 2+2。【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减、上加下减 ”即可求解。13.如图为函数：y=x 21，y=x 2+6x+8，y=x 26x+8，y=x 212x+35 在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是 y=x26x+
15、8 的图象的序号是_【答案】第三个 【考点】二次函数的图象 【解析】【解答】解：y=x 21 对称轴是 x=0，图象中第二个，y=x2+6x+8 对称轴是 x=3，图象中第一个，y=x26x+8 对称轴是 x=3，图象中第三个，y=x212x+35 对称轴是 x=6，图象中第四个，故答案为：第三个【分析】根据二次函数的对称轴，可得答案14.抛物线 y=x22x3 与 y 轴的交点坐标是 _ 【答案】（0， 3） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：抛物线 y=x22x3， 当 x=0 时，y= 3，第 8 页 共 18 页抛物线 y=x22x3 与 y 轴的交点坐标是（0，
16、3 ）故答案为：（0， 3）【分析】由于抛物线与 y 轴的交点的横坐标为 0，把 x=0 当然抛物线的解析式中即可求出纵坐标15.小华与父母从合肥乘车去无为县米公祠（北宋大书法家米芾故居）参观,车厢里每排有左、中、右三个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是_ . 【答案】 13【考点】概率公式 【解析】【解答】共有三个座位，小华有三种坐法；小华恰好坐在中间是其中一种情况；故则小华恰好坐在中间的概率是 13故答案是 13【分析】运用概率公式作答即可。16.某批乒乓球的质量检验结果如下：抽取的乒乓球数 n 50 100 200 500 1000 1500 2000优等
17、品频数 m 47 95 189 478 948 1426 1898优等品频率mn a 0.95 b 0.956 0.948 0.951 0.949（1 ） a=_ ， b=_；（2 ）这批乒乓球“ 优等品”的概率的估计值是_【答案】0.94；0.945；0.95【考点】利用频率估计概率 【解析】【解答】解：（1） a= =0.94，b= =0.945；4750 189200（2 ）这批乒乓球“ 优等品”概率的估计值是 0.95故答案为：0.94，0.945，0.95【分析】（1）利用频率的定义计算；（2 ）根据频率估计概率，频率都在 0.95 左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估
18、计值是0.95第 9 页 共 18 页17.如图，O 的半径为 1cm，正六边形 ABCDEF 内接于O，则图中阴影部分面积为_ cm2 （结果保留 ）【答案】 6【考点】正多边形和圆 【解析】【解答】解：如图所示：连接 BO，CO，正六边形 ABCDEF 内接于O，AB=BC=CO=1， ABC=120，OBC 是等边三角形，COAB，在COW 和ABW 中， COWABW（AAS），图中阴影部分面积为：S 扇形 OBC= 故答案为： 6第 10 页 共 18 页【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可18.一口袋中有 6 个红球
19、和若干个白球，除颜色外均相同，从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中摇匀重复上述实验共 300 次，其中 120 次摸到红球，则口袋中大约有_个白球 【答案】9 【考点】利用频率估计概率 【解析】【解答】在重复的 300 次实验中，摸到红球 120 次，则红球出现的概率是 ， 利用样120300=25本估计总体方法，则在口袋中任意摸到一个红球的概率均是 ， 设有白球 个，则依据题意可得 25 ， 解得： 个，则白球为 9 个。66+ =25 =625-6=9【分析】理解样本估计总体含义及应用技巧；掌握概率的意义；解决此题一定要注意总体是白球和红球的总和。19.（ 2015天水）下列函
20、数（其中 n 为常数，且 n1） y= （ x0 ）； y=（n1 ）x； y= （x0）； y=（1 n）x+1； y=x2+2nx（x0）中，nx 1-n2xy 的值随 x 的值增大而增大的函数有 _个 【答案】3 【考点】正比例函数的图象和性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质 【解析】【解答】y= （x 0），n1，y 的值随 x 的值增大而减小；y=（n1 ）x，n1，y 的值随 xnx的值增大而增大；y= （x0）n1，y 的值随 x 的值增大而增大；y=（1 n）x+1，n1，y 的值随 x 的值增大而减1-n2x小；y=x2+2nx（ x0）中，n1，y 的值随
21、 x 的值增大而增大；y 的值随 x 的值增大而增大的函数有 3 个，故答案为：3【分析】分别根据正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质进行分析即可20.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O，点 E 是 上一点（不与 A、B 重合），点 F 是 上一AB BC点，连接 OE， OF，分别与 AB，BC 交于点 G，H ，有下列结论： = ；AEBFOGH 是等腰三角形；四边形 OGBH 的面积随着点 E 位置的变化而变化；若 BG=1 ，则 BG，GE， 围成的面积是 + 33 BE 1236第 11 页 共 18 页其中正确的是_（把所有正确结论的序号都填上）【答案】 【
22、考点】等腰三角形的判定与性质，正多边形和圆，扇形面积的计算 【解析】【解答】如图所示，连接 OC、OB、CF、BEBOE+BOF=90，COF+ BOF=90，BOE=COF， = ，BE CF = ，ABBC = ；故 正确，AEBF在BOG 与COH 中， BOG= COHOC=OB OBG= OCH=45BOGCOH（ASA），OG=OH，HOG=90OGH 是等腰直角三角形，正确，SOBG=SOCH ， S 四边形 OGBH=SBOC= S 正方形 ABCD=定值，故 错误；14作 OMAB 于 M，则 OM=BM= AB=1，OB= OM= ，12 2 2GM= ，33tanGOM=
23、 = ，GMOM33GOM=30，BOM=45，BOG=4530=15，第 12 页 共 18 页扇形 BOE 的面积= = ，15 (2)2360 12BG=1 ，33AG=1+ ，33过 G 作 GPBO 于 P，PG=PB= ，22 66OBG 的面积= （ ）= ，12 2 22 66 12 36BG，GE， 围成的面积=扇形 BOE 的面积 BOG 的面积= + ，故错误BE1212 36故答案为：【分析】连接 OC、OB 、CF、BE由同角的余角相等得出BOE=COF，从而得出 = ，再由等式得性质得 = ；故正确，BECF AEBF根据全等三角形得判定 ASA 得BOGCOH，再
24、由全等三角形得性质得 OG=OH，又HOG=90，从而得OGH 是等腰直角三角形， 正确，由已知得 SOBG=SOCH ， 从而得出 S 四边形 OGBH=SBOC= S 正方形 ABCD=定值，故 错误；14作 OMAB 于 M，从而得 OM=BM= AB=1，OB= OM= ；根据锐角三角函数定义得 tanGOM= 12 2 2 GMOM= ，根据特殊角的三角函数知GOM=30，由角得计算得BOG=15，再由 BG，GE， 围成的面积=S33 BE扇形 BOESBOG ， 故错误三、解答题（共 8 题；共 54 分）21.如图为 7 个正方体堆成的一个立体图形，分别画出从正面、左面、上面看
25、这个几何体所看到的图形 【答案】【考点】作图三视图 第 13 页 共 18 页【解析】【解答】解：如图所示： 【分析】从前面看到的形状是有三层，下层 3 个正方形，中间层有 2 个正方形靠右，上面一层靠右一个正方形从左面看到的形状是有三层，下层 2 个正方形，上两层有 1 个正方形靠左从上面看到的形状是有二层下面一层 1 个正方形靠右，上层有 3 个正方形22.已知二次函数的顶点坐标为(3,1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式. 【答案】解：设此二次函数的解析式为 y=a（x-3） 2-1；二次函数图象经过点（4 ，1 ），a（4-3 ） 2-1=1，a=2，y=2（x-3 ）
26、 2-1。 【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式 【解析】【分析】已知了二次函数的顶点坐标，可用二次函数的顶点式来设抛物线的解析式，再将抛物线上点（4，1 ）代入，即可求出抛物线的解析式。23.如图，一块矩形草地的长为 100m，宽为 80m，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，这时草坪的面积为 y（m 2）求 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围 【答案】解：设中间修筑两条互相垂直的宽为 x（m）的小路，草坪的面积为 y（m 2）， 根据题意得出：y=1008080x100x+x2=x2180x+8000（0 x80） 【考点】根据实际问题列二次函数
27、关系式 【解析】【分析】首先表示出矩形面积进而减去小路面积即可得出答案24.将正六边形纸片按下列要求分割（每次分割纸片不得剩余）第一次：将正六边形纸片分割成三个全等的菱形，然后选取其中一个菱形再分割成一个正六边形和两个全等的正三角形（后面就依次用剩下的正六边形按上述方法分割）（1 ）请画出第一次分割示意图；（2 ）若原正六边形的面积为 a，请你将第一次，第二次，第三次分割后所得的正六边形的面积填入下表：第 14 页 共 18 页（3 ）猜想：分割后所得的正六边形的面积 S 与分割次数 n 有何关系？（S 用含 a 和 n 的代数式表示）【答案】解：；（2 ） S1= a S2= a S3= a
28、；14 116 164（3 ） Sn=（ ） n a 14【考点】正多边形和圆 【解析】【分析】（1）连接正六边形的中心和以及不相邻的三个顶点即可分成三个菱形，然后作出对角线即可分成两个全等的等腰三角形，进而分出正三角形；（2 ）根据正六边形被平分成正三角形，然后计算小正三角形的个数即可求解；（3 ）根据（2 ）的结果即可得到结论25.如图是由几个小立方块所搭成几何体从正面和从上面看的形状图：这样搭建的几何体，最少、最多各需要多少个小立方块？【答案】解：搭这样的几何体最少需要 8+2+1=11 个小正方体，最多需要 8+6+3=17 个小正方体；故最多需要 17 个小正方体，最少需要 11 个
29、小正方体 【考点】由三视图判断几何体 【解析】【分析】易得这个几何体共有 3 层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层最少或最多的正方体的个数，相加即可26.小颖和小丽做“ 摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 14 的四个球（除编号不同外其它都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜这个游戏对双方公平吗？请说明理由 第 15 页 共 18 页【答案】解：根据题意，画树状图如下：P（两次数字之和大于 5） ，P （两次数字之和不大于 5） ，616=38 1016=58 ，38 58游戏不公平
30、 【考点】游戏公平性，概率公式 【解析】【分析】事件分为两个步骤，由于是“放回”，因此每个步骤有 4 种情况，共 16 种情况，数字之和大于 5 的有 6 种，概率为 ,与小颖胜的概率不等，因此游戏不公平.616=3827.如图，O 与 RtACB 的两直角边 AC、BC 相切，切点分别为 D、E 两点，且圆心 O 在斜边 AB 上（1 ）试判断以 O、D、C、E 为顶点的四边形是什么特殊的四边形，并说明理由（2 ）若 AC=6，BC=8，求 O 的半径长【答案】解：（1）以 O、D、 C、E 为顶点的四边形是正方形理由：连接 OD，OE ，O 与 RtACB 的两直角边 AC、BC 相切，O
31、DAC，OE BC，ODC=OEC=90，C=90，四边形 ODCE 是矩形，OD=OE，四边形 ODCE 是正方形；（2 ）设 OD=x，四边形 ODCE 是正方形，CD=OD=x，ODBC，第 16 页 共 18 页则 AD=ACCD=6x，AODABC， = ，ODBCADAC即 ，x8=6-x6解得：x= ，247O 的半径长为： 247【考点】正方形的判定，切线的性质，相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）首先连接 OD，OE ，由 O 与 RtACB 的两直角边 AC、BC 相切，可得以O、D 、 C、E 为顶点的四边形是矩形，又由 OD=OE，即可得四边形 ODCE 是正
32、方形；（2 ）首先设 OD=x，由四边形 ODCE 是正方形，可证得AOD ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案28.（ 2014盘锦）如图， ABC 中，C=90，点 G 是线段 AC 上的一动点（点 G 不与 A、C 重合），以 AG为直径的O 交 AB 于点 D，直线 EF 垂直平分 BD，垂足为 F，EF 交 BC 于点 E，连结 DE（1 ）求证：DE 是 O 的切线；（2 ）若 cosA= ， AB=8 ， AG=2 ， 求 BE 的长；12 3 3（3 ）若 cosA= ， AB=8 ， 直接写出线段 BE 的取值范围12 3【答案】（1）证明：连接 OD，如图，AB
33、C 中，C=90，A+B=90，直线 EF 垂直平分 BD，第 17 页 共 18 页ED=EB，B=EDB，OA=OD，A=ODA，ODA+EDB=90，ODE=90，ODDE，DE 是O 的切线；（2 ）解：连接 GD，AG 为直径，ADG=90，cosA= ，12A=60，AGD=30，AD= AG= ，12 3AB=8 ，3BD=ABAD=8 =7 ，3 3 3直线 EF 垂直平分 BD，BF= BD= ，12 732在 RtBEF 中， B=30，EF= BF= ，33 72BE=2EF=7；（3 ）解：cosA= ，12A=60，B=30，AC= AB=4 ，12 3由（2）得 A
34、D= AG，12BF= （AB AD）=4 AG，12 314在 RtBEF 中， B=30，EF= BF，33BE=2EF= BF= （4 AG）=8 AG，233 233 314 36第 18 页 共 18 页0AGAC，即 0AG4 ，36BE8【考点】切线的判定，解直角三角形 【解析】【分析】（1）连接 OD，根据互余得 A+B=90，再根据线段垂直平分线的性质得 ED=EB，则B=EDB，加上 A=ODA，所以 ODA+EDB=90，利用平角的定义得ODE=90，然后根据切线的判定定理得到 DE 是O 的切线；（2 ）连接 GD，根据圆周角定理由 AG 为直径得 ADG=90，再根据特殊角的三角函数值得A=60，则AGD=30，根据含 30 度的直角三角形三边的关系，得 AD= AG= ， 则 BD=ABAD=7 ， 所以12 3 3BF= BD= ， 在 RtBEF 中，可计算出 EF= BF= ， BE=2EF=7；12 732 33 72（3 ）由于 A=60，则B=30，所以 AC= AB=4 ， 由（2）得 AD= AG，所以 BF= （AB AD）12 3 12 12=4 AG，在 RtBEF 中，EF= BF，BE=2EF= BF= （4 AG）=8 AG，利用 0AGAC 即可得到314 33 233 233 314 366 BE8