1、 第 1 页 共 12 页【易错题解析】苏科版九年级数学上册第一章 一元二次方程 单元测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.一元二次方程 x21=0 的根是（ ） A. 1 B. 1 C. D. 112【答案】D 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：x 21=0，x2=1，两边直接开平方得：x=1，则 x1=1，x 2=1，故选：D【分析】首先把1 移到等号左边，再两边直接开平方即可2.若关于 x 的一元二次方程 x2+（k+3）x+2=0 的一个根是1 ，则另一个根是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 2【答案】D 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：设
2、方程的另一个根是 t， 根据题意得1t=2 ，解得 t=2，即方程的另一个根是2 故选 D【分析】设方程的另一个根是 t，根据根与系数的关系得到1t=2 ，然后解一次方程即可3.（2017绵阳）关于 x 的方程 2x2+mx+n=0 的两个根是2 和 1，则 nm 的值为（ ） A. 8 B. 8 C. 16 D. 16【答案】C 【考点】根与系数的关系 【解析】【解答】解：关于 x 的方程 2x2+mx+n=0 的两个根是 2 和 1， =1， =2，m2 n2m=2，n= 4，nm=（ 4） 2=16第 2 页 共 12 页故选 C【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出 m、n 的值
3、，将其代入 nm 中即可求出结论4.关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0，则 a 的值为 （ ） (a-1)x2+x+a2-1=0A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 12【答案】B 【考点】一元二次方程的定义，一元二次方程的解 【解析】【解答】解：将 x=0 代入方程得：a-1=0，a= 1；因为是一元二次方程，所以 a-10，即 a1.综上有 a=-1故答案为 B.【分析】一元二次方程的系数不为 0；同时将 x=0 代入方程计算出 a 的取值。5.如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+1=0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是（ ） A. k B. k 且
4、 k0 C. k D. k 且 k0-14 -14 -14 -14【答案】B 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：由题意知，k0，方程有两个不相等的实数根，所以0， =b24ac=（2k+1） 24k2=4k+10又 方程是一元二次方程， k0，k 且 k0-14故选 B【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=b 24ac0，建立关于 k 的不等式，求出 k 的取值范围6.已知 x1、x 2 是方程 x25x6=0 的两个根，则代数式 x12+x22 的值是（ ） A. 37 B. 26 C. 13 D. 10【答案】A 【考点】代数式求值，根与系数的关系 【解析
5、】【解答】解：x 1、 x2 是方程 x25x6=0 的两个根，x1+x2= =5， x1x2= =6，ba cax12+x22=（x 1+x2） 22x1x2=25+12=37故答案为：A第 3 页 共 12 页【分析】根据根与系数的关系得出 x1+x2= =5，x 1x2= =6，又 x12+x22=（x 1+x2） 22x1x2 然后整体代入ba ca计算即可。7.已知方程 x2- x+2m=0 有两个实数根，则 的化简结果是（ ） 22 (m-1)2A. m-1 B. m+1 C. 1-m D. (m-1)【答案】C 【考点】二次根式的化简求值，根的判别式 【解析】【分析】方程 x2-
6、 x+2m=0 有两个实数根，=b 2-4ac0 即 ， 22 (-22)2-42m 0解得 m1， .(m-1)2=|m-1|=1-m【点评】解决本题须知道一元二次方程根的判别式，开方要考虑被开方数 m-1 的正负，是一道方程和开方相结合的题，属于基本知识。8.已知关于 x 的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数 a 的取x2-6x+(a-2)|x-3|+9-2a=0值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或a= -2 a0 a= -2 a0 a- 2 a0【答案】C 【考点】根的判别式 【解析】【分析】将原方程变形为|x-3| 2+（a-2）|x-3|-2a=0 ，求出方程的，分为两
7、种情况，=0，0 ，代入后求出 a 的范围即可【解答】x 2-6x+（a-2）|x-3|+9-2a=0，（x-3） 2+（a-2）|x-3|-2a=0 ，这是一个关于|x-3| 的一元二次方程，原方程有且仅有两个不相等的实根，|x-3|只有一个大于 0 的实数根（因为当|x-3|0，无解；当|x-3|=0，有 1 个解；当|x-3| 0，有 2 个解），=（a-2 ） 2-4（ -2a）=（a+2 ） 2 ， 当=0 时，|x-3|有唯一解；=0，a=-2；此时原方程为|x-3| 2-4|x-3|+4=0，|x-3|=2，x=5， x=1；|x-3|的一个根大于 0，另一个根小于 0，0，a-
8、2，x1x20，根据根与系数的关系得：-2a0，a 0，第 4 页 共 12 页综合上述，a 的取值分、范围是 a0 或者 a=-2，故选 C9.若三角形两边长分别为 3 和 4，第三边长是方程 x2-12x+35=0 的根，该三角形的周长为( ) A. 14 B. 12 C. 12 或 14 D. 以上都不对【答案】B 【考点】因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系 【解析】【解答】解：解方程 x2-12x+35=0 得，x 1=7,x2=5,当三角形的第三边是 7 时，由于 3+4=7，所以这种情况不能围成三角形，需要排除；当三角形的第三边是 5 时，由于 3+45 ，三角形的周长为：3
9、+4+5=12.故答案为：B。【分析】首先利用因式分解法求出方程的解，即求出三角形的第三边，再根据三角形三边的关系判断能否围成三角形，不能的排除，能的根据三角形周长的计算方法算出答案。10.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为 289 元的药品进行连续两次降价后为 256 元，设平均每次降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是（ ） A. 289（ 1x） 2=256 B. 256（1 x） 2=289C. 289（ 12x）=256 D. 256（1 2x）=289【答案】A 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设平均每次的降价率为 x，则经过两次降价后的价格
10、是 289（1 x） 2 ， 根据关键语句“连续两次降价后为 256 元， ”可得方程 289（1 x） 2=256故选：A二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.一元二次方程 x2=x 的解为 _ 【答案】x 1=0，x 2=1 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】解：x 2=x， 移项得：x 2x=0，x（ x1）=0，x=0 或 x1=0，x1=0，x 2=1故答案为：x 1=0，x 2=1【分析】首先把 x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案第 5 页 共 12 页12.小华在解一元二次方程 时，只得出一个根是 x4 ，则被他漏掉的一个根是x_ 【答案】0
11、【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】在 方程中， ， ，被他漏掉的一个根是x0【分析】可以利用提公因式的方法进行因式分解13.关于 x 的一元二次方程 x2+a=0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是_ 【答案】a0 【考点】一元二次方程根的判别式及应用 【解析】【解答】解：方程 x2+a=0 没有实数根，=4a0，解得：a0 ，故答案为：a0【分析】根据原方程没有实数根可得出 b2-4ac0，建立关于 a 的不等式，即可解答。14.设 m,nx 分别为一元二次方程 的两个实数根，则 =_ x2-2x-2015=0 m2-3m-n【答案】2013 【考点】一元二次方程的根与系数
12、的关系 【解析】【解答】m，n 分别为一元二次方程 x2-2x-2015=0 的两个实数根，m+n=2，mn=-2015，m2-3m-n=m（ m-2）-（m+n）=-mn-（m+n）=2013【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 m+n=2，mn=-2015，再将 m23mn 利用拆项及提公因式的方法变形为：m(m-2)-(m+n)=-mn- （m+n）然后再整体代入即可算出答案。15.三角形的两边长为 2 和 4，第三边长是方程 x26x+8=0 的根，则这个三角形的周长是_ 【答案】10 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】解：解方程 x26x+8=0 得第三边的边长
13、为 2 或 42第三边的边长6，第三边的边长为 4，这个三角形的周长是 2+4+4=10故答案为 10【分析】先解方程求得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可第 6 页 共 12 页16.已知一元二次方程（m2 ）x 23x+m24=0 的一个根为 0，则 m=_ 【答案】2 【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的根 【解析】【解答】解：根据题意将 x=0 代入原方程得：m 24=0，解得：m=2 或 m=2又m20 ，即m2，m= 2故答案为：2【分析】因为一元二次方程的一个根是 0，所以把 x=0 代入原方程得：m24=0，解得 m=2
14、 或 m=2；根据一元二次方程的定义可得 m20，即 m2，所以 m=2。17.在实数范围内定义运算“ ”，其规则为 ab=a 2b2 ， 则方程（43 ）x=13 的根为_ 【答案】x 1=6，x 2=6 【考点】一元二次方程的解 【解析】【解答】解：根据新定义可以列方程： （4 232）x=13，72x2=13，49x2=13，x2=36，x1=6，x 2=6故答案为：x 1=6，x 2=6【分析】根据新定义列出方程，把方程的左边化成完全平方的形式，右边是一个非负数，用直接开平方法求出方程的根18.关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根为 x1=1，x 2=2，则 x2+bx
15、+c 可分解为_ 【答案】（x+1）（x 2） 【考点】解一元二次方程因式分解法 【解析】【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两根为 x1=1，x 2=2， （x+1）（x2）=0，x2+bx+c 可分解为（x+1）（x 2）故答案为（x+1）（x 2）【分析】利用因式分解解方程的方法得到方程为（x+1）（x2 ）=0，从而可得 x2+bx+c 分解的结果19.如果关于 x 的方程 x2+2（a+1 ）x+2a+1=0 有一个小于 1 的正数根，那么实数 a 的取值范围是_ 第 7 页 共 12 页【答案】-1a- 【考点】解一元二次方程公式法 【解析】【解答】根据方程
16、的求根公式可得：x= ，则方程的两根为-1 或-2a-1，-10，小于 1 的正数根只能为-2a-1，即 0-2a-11，解得-1a - 所以答案为-1 a- 【分析】先利用方程的求根公式表示出方程的两个根，再利用“有一个小于 1 的正数根” 这一条件确定 a 的取值范围20.已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根，且满足 1 +1 = -1， 则 m 的值是_ 【答案】3 【考点】根的判别式，根与系数的关系 【解析】【解答】， 是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根， 且 =(2m+3)2-4m2=
17、12m+90m -34 + = -(2m+3), =m2又 ，即 ， ，解得 m1=-1,m2=3.1 +1 = -1 + = -1 -(2m+3)m2 = -1m2-2m-3=0 ，m=3.m -34【分析】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.解下列方程 （1 ） 2x2-x=0 （2 ） x2-4x=4 【答案】（1）解：2x 2-x=0，2x(x-1)=0，2x=0 或 x-1=0，则 x1=0,x2=1.（2 ）解：方程两边同时+4，得 x2-4x+4=4+4，（x-2） 2=8,第 8 页 共 12 页x-2=2 ，2则 x1=2+2
18、,x2=2-2 . 2 2【考点】解一元二次方程配方法，解一元二次方程 因式分解法 【解析】【分析】(1)考查运用解一元二次方程- 因式分解法；（2 ）考查运用解一元二次方程-配方法。选择合适的解答方法，使解答更简便。22.如图，为美化环境，某小区计划在一块长为 60m，宽为 40m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，当通道的面积与花圃的面积之比等于 3：5 时，求此时通道的宽【答案】解：设此时通道的宽为 x 米，根据题意，得6040（602x）（40 2x）= 6040，38解得 x=5 或 45，45 不合题意，舍去答：此时通道的宽为 5 米 【考点
19、】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设此时通道的宽为 x 米，然后用通道的面积与花圃的面积之比等于 3：5 即为通道的面积=总面积的 得出方程，求解即可。3823.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，那么商场平均每天可多售出 2 件，若商场想平均每天盈利达 1200 元，那么买件衬衫应降价多少元？ 【答案】解：设买件衬衫应降价 x 元， 由题意得：（40 x）（20+2x）=1200，即 2x260x+400=0，x230x+200=0，（ x10）
20、（x20）=0 ，解得：x=10 或 x=20为了减少库存，所以 x=20故买件衬衫应应降价 20 元 【考点】一元二次方程的应用 第 9 页 共 12 页【解析】【分析】设买件衬衫应降价 x 元，那么就多卖出 2x 件，根据扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，每天在销售吉祥物上盈利 1200 元，可列方程求解24.如图, 利用一面长度为 7 米的墙, 用 20 米长的篱笆能否围出一个面积为 48 平方米的矩形菜园？若能,求出该菜园与墙平行一边的长度；若不能,说明理由【答案】 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】首先设该菜园与墙平行的一边的长为 x 米,则该菜园与墙垂直的一边的长为 (
21、20x)米,12利用 (20x)x48,进而分析得出即可1225.随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价 200 元/ 瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖 98 元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率 【答案】解：设该种药品平均每场降价的百分率是 x，由题意得： 200(1-x)2=98解得： （不合题意舍去）， =30%x1=1.7 x2=0.3答：该种药品平均每场降价的百分率是 30% 【考点】一元二次方程的应用 【解析】【分析】设该种药品平均每场降价的百分率是 x，则两个次降价以后的价
22、格是 ，200(1-x)2据此列出方程求解即可26.阅读题：一元二次方程 ax2+bx+c=0（其中 a0，c0）的二根为 x1 和 x2 ， 请构造一个新的一元二次方程，使方程的二根适是原方程二根的 3 倍数学老师张老师给出了一种方法是：设新方程的根是 y，则y=3x，得 x= 代入原方程得 变形得 ay2+3by+9c=0 此方程即为所求，这种利用方程根y3 a(y3)2+b(y3)+c=0的代换求方程的方法叫换根法解答：（1 ）已知方程 x2+x2=0，求一个新方程使它的根分别是已知方程的相反数，所求方程为（2 ）已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0），求一个一元二次
23、方程，使它的根分别是原方程根的倒数 【答案】解：（1）设所求方程的根为 y，则 y=x，则 x=y把 x=y 代入已知方程 x2+x2=0，得 （y） 2+（y）2=0化简得：y 2y2=0故答案是：y 2y2=0第 10 页 共 12 页（2 ）设所求方程的根为 y，则 y= ，所以 x= ，1x 1y把 x= 代入已知方程 ax2+bx+c=0（a0）得1ya（ ） 2+b +c=0，1y 1y去分母，得 a+by+cy2=0若 c=0，则 ax2+bx=0，于是方程 ax2+bx+c=0（a0）有一根为 0，不符合题意c0，故所求的方程为：cy 2+by+c=0（c0） 【考点】一元二次
24、方程的解 【解析】【分析】（1）设所求方程的根为 y，则 y=x，则 x=y将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可；（2 ）设所求方程的根为 y，则 y= ， 将其代入已知方程，然后将其转化为一般形式即可1x27.已知：如图，ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时， P、Q 两点停止运动设点 P 的运动时间为t（s），解答问题：当 t 为何值时， PBQ 是直角三角形？【答案】解：根据题意得 AP=tcm，BQ=tcm，ABC 中，AB=BC=3cm， B=60，
25、BP=（ 3t）cm，PBQ 中，BP=3t ，BQ=t ，若 PBQ 是直角三角形，则BQP=90或BPQ=90，当BQP=90时，BQ= BP，12即 t= （3t），t=1（秒），12当BPQ=90时，BP= BQ，123t= t，t=2（秒）12答：当 t=1 秒或 t=2 秒时， PBQ 是直角三角形 【考点】一元二次方程的应用，等边三角形的性质，勾股定理 第 11 页 共 12 页【解析】【分析】根据题意得 AP=tcm，BQ=tcm，本题涉及的是一道有关等边三角形的性质和勾股定理来解答的数形结合试题，根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形B=60 ，所以就可以表示出 BQ与
26、PB 的关系，要分情况进行讨论： BPQ=90；BQP=90然后在直角三角形 BQP 中根据 BP，BQ的表达式和B 的度数进行求解即可28.如图，四边形 ABCD 中，ADBC， A=90，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点 P 从点 B 出发以 1cm/s的速度沿 BC 的方向运动，动点 Q 从点 C 出发以 2cm/s 的速度沿 CD 方向运动，P、Q 两点同时出发，当Q 到达点 D 时停止运动，点 P 也随之停止，设运动的时间为 ts（t0）（1 ）求线段 CD 的长； （2 ） t 为何值时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分？ 【答案】（1）解：
27、如图 1，作 DEBC 于 E，则四边形 ADEB 是矩形BE=AD=1，DE=AB=3 ，EC=BCBE=4，在 RtDEC 中，DE 2+EC2=DC2 ， DC= =5 厘米；DE2+CE2（2 ）解：点 P 的速度为 1 厘米/秒，点 Q 的速度为 2 厘米/ 秒，运动时间为 t 秒，BP=t 厘米，PC=（5 t）厘米，CQ=2t 厘米，QD=（5 2t）厘米，且 0t2.5，作 QHBC 于点 H，DEQH，第 12 页 共 12 页DEC=QHC，C=C，DECQHC， = ，即 = ，DEQHDCQC 3QH52tQH= t，65SPQC= PCQH= （5t） t= t2+3
28、t，12 12 65 35S 四边形 ABCD= （AD+BC ）AB= （1+5）3=9，12 12分两种情况讨论：当 SPQC：S 四边形 ABCD=1：3 时， t2+3t= 9，即 t25t+5=0，35 13解得 t1= ，t 2= （舍去）；5-52 5+52SPQC：S 四边形 ABCD=2：3 时， t2+3t= 9，即 t25t+10=0，35 230 ，方程无解，当 t 为 秒时，线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分 5-52【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用 【解析】【分析】（1）作 DEBC 于 E，根据勾股定理即可求解；（ 2）线段 PQ 将四边形 ABCD 的面积分为 1：2 两部分，分两种情况进行求解