1、 第 1 页 共 20 页【易错题解析】苏科版九年级数学上册 第二章 对称图形-圆 单元测试题一、单选题（共 10 题；共 30 分）1.如图，已知圆心角BOC 100 ，则圆周角BAC 的大小是（ ）A. 50 B. 100 C. 130 D. 200【答案】A 【考点】圆周角定理 【解析】【 分析 】 根据圆周角定理可直接求出答案【解答】根据圆周角定理，可得：A= BOC=5012故选 A【 点评 】 本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半2.如图所示，从O 外一点 A 引圆的切线 AB，切点为 B，连接 AO 并延长交圆于点 C
2、，连接 BC，已知A26，则ACB 的度数为（ ）A. 32 B. 30 C. 26 D. 13【答案】A 【考点】圆周角定理，切线的性质 【解析】【解答】连接 OB，AB 切O 于点 B，OBA=90，A=26，AOB=90-26=64，第 2 页 共 20 页ACB= AOB= =3212 12640故答案为：A.【分析】连接 OB，根据切线的性质得出OBA=90，由三角形的内角和得出AOB=90-26=64，根据圆周角定理即可得出答案。3.如图，AOB=100 ，则 A+B 等于( )A. 100 B. 80 C. 50 D. 40【答案】C 【考点】圆周角定理 【解析】【分析】连接 C
3、O 并延长交圆于点 D，根据圆周角定理即可得到结果。【解答】连接 CO 并延长交圆于点 D由图 OA=OC，OB=OC所以A=ACO；B= BCO可得A+B= AOD+ BOD= AOB=50.12 12 12故选 C.【点评】辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注。4.已知圆锥的底面半径为 6，母线长为 8，圆锥的侧面积为（ ） A. 60 B. 48 C. 60 D. 48【答案】D 【考点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：圆锥的侧面积= 268
4、=48故答案为：D 【分析】可利用圆锥侧面积公式 S12侧 = （r 为底面半径，a 为母线长） ra5.在半径为 6 的O 中，120圆心角所对的弧长是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 第 3 页 共 20 页【考点】弧长的计算 【解析】【解答】解：根据弧长的公式 l= ， n R180得到：l= =4，120 6180故选：C【分析】根据弧长的公式 l= 求解即可n R1806.如图， 已知 O 的直径 AB弦 CD 于点 E下 列结论一定正确的是（ ）A. AE OE B. CEDE C. OECE D. AOC 60【答案】B 【考点】垂径定理 【解析】【分析】根
5、据垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦即可判断【解答】 O 的直径 AB弦 CD，CE=DE故选 B7.如图，O 的弦 AB8，M 是 AB 的中点，且 OM3 ，则O 的半径等于（ ）A. 8 B. 4 C. 10 D. 5【答案】D 【考点】垂径定理 【解析】 【 分析 】 连接 OA，即可证得OAM 是直角三角形，根据垂径定理即可求得 AM，根据勾股定理即可求得 OA 的长【 解答 】 【解答】连接 OA，M 是 AB 的中点，OMAB，且 AM=4第 4 页 共 20 页在直角OAM 中，OA= AN2+OM2=5故选 D【 点评 】 本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，根据垂径定理求得
6、 AM 的长，证明OAM 是直角三角形是解题的关键8.如图，两个同心圆，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P，大圆的弦 CD 经过点 P，且 CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A. 16 B. 36 C. 52 D. 81【答案】B 【考点】勾股定理，垂径定理，切线的性质，相交弦定理 【解析】【解答】解：连接 OP、OB 大圆的弦 AB 与小圆相切于点 P，OPAB，PA=PBCD=13，PD=4，PC=9根据相交弦定理，得 PA=PB=6，则两圆组成的圆环的面积是 OB2OP2=PB2= AB2=36 4故选 B【分析】连接 OP，先根据切线的性质定理和垂径定理证出 PA=
7、PB，再根据相交弦定理求得 AB 的长，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解9.已知O 的半径为 2，点 P 是 O 内一点，且 OP= ，过 P 作互相垂直的两条弦 AC、BD，则四边形3ABCD 面积的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B 【考点】垂径定理 第 5 页 共 20 页【解析】【解答】解：如图：连接 OA、OD，作 OEAC 于 E，OF BD 于 F，ACBD，四边形 OEPF 为矩形，OA=OD=2，OP= ，3设 OE 为 x（x0），根据勾股定理得，OF=EP= = ，OP2-OE2 3-x2在 RtAOE 中，AE= = OA2-OE2
8、4-x2AC=2AE=2 ，4-x2同理得，BD=2DF=2 =2 ，OD2-OF2 x2+1又 任意对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的 ，12S 四边形 ABCD= ACBD= 2 2 =2 =2 12 12 4-x2 x2+1 (4-x2)(x2+1) -(x2-32)2+254当 x2= 即：x= 时，四边形 ABCD 的面积最大，等于 2 =532 62 254答案为：B【分析】作出弦心距，根据 S 四边形 ABCD=对角线乘积的一半，列出函数关系式，配成顶点式，求出最值.10.如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5 ，以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点
9、E，连接 CE，作 BFCE，垂足为 F，则 tanFBC 的值为（ ）A. B. C. D. 12 25 310 13【答案】D 【考点】勾股定理，垂径定理的应用，确定圆的条件，锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，BE=BC=5，AE= ，BE2-AB2= 52-32=4第 6 页 共 20 页DE=ADAE=54=1，CE= ，CD2+DE2= 32+12= 10BC=BE，BF CE，点 F 是 CE 的中点，CF= ，12CE= 102BF= ，BC2-CF2= 52-(102)2=3102tanFBC= ，CFBF= 10231
10、02=13即 tanFBC 的值为 13故答案为：D【分析】首先根据以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，判断出 BE=BC=5，然后根据勾股定理计算AE、DE、CE，根据垂径定理 BC=BE，BFCE，判断出 F 是 CE 的中点，求出 CF、BF 的值各是多少，最后根据正切值是对边比邻边求出 tanFBC。二、填空题（共 10 题；共 30 分）11.如图，点 A、B、C 都在O 上，OCOB，点 A 在劣弧 上，且 OA=AB，则 ABC=_BC【答案】15 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】解：OA=OB，OA=AB ，OA=OB=AB，即OAB 是等边三角形，AOB=
11、60，OCOB，COB=90，COA=90-60=30，ABC=15，故答案为：15【分析】首先判断出OAB 是等边三角形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出 COA 的度数，根据圆周角定理即可得出ABC 的度数。第 7 页 共 20 页12.如图，点 A，B，C，D 分别在 O 上， ，若 AOB=40，则ADC 的大小是_ 度AB=AC【答案】20 【考点】圆周角定理 【解析】【解答】详解： = ， ADC= AOB= 40=20故答案为：20ABAC12 12【分析】根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可直接得出答案。13.如图， 是半圆 的直径， ，则 的大小是_度AB
12、O BAC=35 D【答案】125 【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质 【解析】【解答】AB 是半圆 O 的直径ACB=90ABC=90-35=55D=180-55=125【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得ACB=90，则ABC 的度数可求，再根据圆内接四边形的对角互补可求 D 的大小。14.如图，圆锥的母线长是 3，底面半径是 1，A 是底面圆周上一点，从 A 点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线长是_【答案】 33【考点】平面展开最短路径问题，圆锥的计算，特殊角的三角函数值 【解析】【解答】解：图中扇形的弧长是 2，根据弧长公式得到 2= 3 n180n=120即扇形的圆心
13、角是 120弧所对的弦长是 23sin60= 33第 8 页 共 20 页【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从 A 点出发绕侧面一周，再回到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题15.已知 RtABC 中， C=90，AC=6 ，BC=8，点 O 和 M 分别为 RtABC 的外心和内心，线段 OM 的长为_ 【答案】 5【考点】三角形的内切圆与内心 【解析】【解答】解：如图，作ABC 的内切圆M ，过点 M 作 MDBC 于 D，MEAC 于 E，MNAB 于N在 RtABC 中， ACB=90，AC=6，BC=8，AB= =10AC2+BC2点 O 为ABC 的
14、外心，AO 为外接圆半径，AO= AB=512设 M 的半径为 r，则 MD=ME=r，又MDC=MEC= C=90，四边形 IECD 是正方形，CE=CD=r，AE=AN=6r，BD=BN=8 r，AB=10，8r+6r=10，解得 r=2，MN=r=2，AN=6r=4在 RtOIN 中，MNO=90，ON=AOAN=5 4=1，OM= = MN2+ON2 5故答案是： 5【分析】作ABC 的内切圆M ，过点 M 作 MDBC 于 D，MEAC 于 E，MNAB 于 N先根据勾股定理第 9 页 共 20 页求出 AB=10，得到ABC 的外接圆 半径 AO=5，再证明四边形 MECD 是正方
15、形，根据内心的性质和切线长定理，求出M 的半径 r=2，则 ON=1，然后在 RtOMN 中，运用勾股定理即可 求解16.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为： “如图，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长”（1 尺=10 寸）则 CD=_ 【答案】26 寸 【考点】勾股定理，垂径定理的应用 【解析】【解答】解：连接 OA，如图所示， 设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC=x，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于 E，AB=10 寸
16、，AE=BE= AB= 10=5 寸，12 12连接 OA，则 OA=x 寸，根据勾股定理得 x2=52+（x1 ） 2 ， 解得 x=13，CD=2x=213=26（寸）故答案为：26 寸【分析】根据垂径定理和勾股定理求解17.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 内接于O，过点 D 作 O 的切线交 BA 延长线于点 E，连接 EO，交AD 于点 F，则 EF 长为_【答案】 2310【考点】勾股定理，正方形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质 第 10 页 共 20 页【解析】【解答】解：连接 OD，作 OHAD 于 H，正方形 ABCD 内接于 O，OD 平分ADC，即ADO=4
17、5，OHD 为等腰直角三角形，OH=DH，OHAD，AH=DH=OH=1，DE 为切线，ODDE，EDA=45，EAD 为等腰直角三角形，AE=AD=2，AEOH，AEFHOF， = = ，AFHFAEOH21AF= AH= ，23 23在 RtAEF 中，EF= = 22+(23)2 2103故答案为 2310【分析】连接 OD，作 OHAD 于 H，利用正方形的性质得OHD 为等腰直角三角形，由垂径定理得AH=DH=OH=1，由切线的性质及等腰三角形的性质得 AE=AD=2，由相似三角形的判定得AEFHOF，再由相似三角形的性质得 = 找到 AF 及 AH 的长度，最后利用勾股定理求出 E
18、F.AFHFAEOH第 11 页 共 20 页18.矩形 ABCD 中，AB=5，AD=12，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 1 上进行两次旋转，使点 B 旋转到 B”点，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长是 _ (结果保留 )【答案】 252【考点】弧长的计算，旋转的性质 【解析】【解答】解：矩形 ABCDBAD=90在 RtBAD 中，AB=5，AD=12，BD= AB2+AD2= 52+122=13将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 1 上进行两次旋转，使点 B 旋转到 B”点，BD=DB =13,EB =EB =AD=12，BDB =B EB =90 弧 BB 的
19、长为：90 13180=132弧 B B 的长为：90 12180=6点 B 在两次旋转过程中经过的路径的长：132 +6 =252故答案为：252【分析】先根据勾股定理求出 BD 的长，再根据旋转的性质得出 BD=DB =13,EB =EB =AD=12，BDB =B EB =90，然后利用弧长公式分别计算出弧 BB 、B B 的长，再求出它们的和即可。 19.如图，AB 是O 的弦，AB=4，点 C 是 O 上的一个动点，且 ACB=45若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 _【答案】2 2【考点】勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理 【解析】【解答】点 M，
20、N 分别是 AB，BC 的中点，MN= AC，12当 MN 长最大时，即 AC 长最大，当 AC 为圆的直径时，如图，第 12 页 共 20 页ABD=90，AB=4， ACB=45，ADB=BAD=45，AB=DB=4，AD=4 ， 2MN= AC=2 .12 2故答案为：2 .2【分析】根据中位线性质得 MN= AC，从而知道当 MN 长最大时，即 AC 长最大，根据直径所对的圆周角12为 90得ABD=90，在 RtABD 中，根据勾股定理即可得 AD 的长，再得出 MN 长.20.（ 2017岳阳）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术 ”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接
21、近圆周长，由此求得了圆周率 的近似值，设半径为 r 的圆内接正 n 边形的周长为 L，圆的直径为 d，如图所示，当 n=6 时， = =3，那么当 n=12 时， =_（结果精确到 0.01，参考数Ld 6r2r Ld据：sin15=cos750.259） 【答案】3.10 【考点】正多边形和圆，解直角三角形 【解析】【解答】解：如图，圆的内接正十二边形被半径分成如图所示的十二个等腰三角形，其顶角为30，即O=30， ABO=A=75， 作 BCAO 于点 C，则ABC=15 ，AO=BO=r，第 13 页 共 20 页BC= r，OC= r，12 123AC=（1 ）r，123RtABC 中
22、，cosA= ，ACAB即 0.259= ，(1-123)rABAB0.517r，L=120.517r=6.207r，又 d=2r， = 3.10，Ld 6.207r2r故答案为：3.10【分析】圆的内接正十二边形被半径分成顶角为 30的十二个等腰三角形，作辅助线构造直角三角形，根据中心角的度数以及半径的大小，求得 L=6.207r，d=2r ，进而得到 = 3.10Ld 6.207r2r三、解答题（共 8 题；共 60 分）21.如图O 是ABC 的外接圆，圆心 O 在这个三角形的高 AD 上，AB=10，BC=12 ，求O 的半径【答案】解：如图，连接 OBAD 是ABC 的高BD= BC
23、=612在 RtABD 中，AD= = =8AB2-BD2 100-36设圆的半径是 R则 OD=8R第 14 页 共 20 页在 RtOBD 中，根据勾股定理可以得到：R 2=36+（8 R） 2解得：R= 254【考点】勾股定理，垂径定理 【解析】【分析】连接 OB，根据垂经定理求出 BD 的长，在 RtABD 中由勾股定理求得 AD=8，设圆的半径是 R，则 OD=8-R，在 RtOBD 中由勾股定理可求得 R 的值.解答此题的关键是作出辅助线 OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.22.已知：如图，MN 、PQ 是O 的两条弦，且 QN=MP, 求证： MN= PQ【答案】证
24、明：QNMP， 弧 QN=弧 MP，弧 MN=弧 PQ，MN PQ 【考点】圆心角、弧、弦的关系 【解析】【分析】根据等弧所对的弦相等可得结论。23.如图，PA，PB 分别与O 相切于点 A，B，连接 AB，APB=60，AB=5，求 PA 的长 【答案】解：PA，PB 分别与O 相切于点 A，B， PA=PB，APB=60，PAB 是等边三角形，AB=PA=5 【考点】切线的性质 【解析】【分析】由切线长定理可得 PA=PB，由APB=60可得PAB 是等边三角形，从而得出答案24.点 I 为 ABC 的内心，AI 的延长线交ABC 的外接圆于 D，以 D 为圆心，DI 为半径画弧，是否经过
25、点 B与点 C？说明理由第 15 页 共 20 页【答案】证明：连接 BI，I 是ABC 的内心，BAD=DAC， ABI=CBI，BD= CDBD=DC，BID=ABI+BAD， IBD=CBI+DBC，CAD=BAD=DBC，DBI=BID，BD=DI，BD=CD=ID，以 D 为圆心， DI 为半径画弧，必经过点 B 与点 C【考点】三角形的内切圆与内心 【解析】【分析】连接 BI，根据三角形的内切圆的意义和圆周角定理得到 BD=DC，根据三角形外角性质求出IBD=BID，根据等腰三角形的判定求出 BD=ID 即可25.AB 为 O 直径， BC 为O 切线，切点为 B，CO 平行于弦
26、AD，作直线 DC求证：DC 为 O 切线；若 ADOC=8，求 O 半径 r【答案】证明：连接 ODOA=OD，A=ADOADOC，A=BOC，ADO= COD，BOC=COD在 OBC 与ODC 中，第 16 页 共 20 页， OB=OD BOC= DOCOC=OCOBCODC（SAS），OBC=ODC，又 BC 是 O 的切线，OBC=90，ODC=90，DC 是O 的切线；解：连接 BD在 ADB 与 ODC 中， ， A= COD ADB= ODC=90ADBODC，AD：OD=AB ： OC，ADOC=ODAB=r2r=2r2 ， 即 2r2=8，故 r=2【考点】切线的判定与性
27、质 【解析】【分析】连接 OD，要证明 DC 是O 的切线，只要证明 ODC=90即可根据题意，可证OCDOCB，即可得CDO=CBO=90，由此可证 DC 是O 的切线；连接 BD，OD 先根据两角对应相等的两三角形相似证明ADBODC ，再根据相似三角形对应边成比例即可得到 r 的值26.如图 1， O 的半径 r= ， 弦 AB、CD 交于点 E，C 为弧 AB 的中点，过 D 点的直线交 AB 延长线于点253F，且 DF=EF（1 ）试判断 DF 与O 的位置关系，并说明理由；（2 ）如图 2，连接 AC，若 ACDF，BE= AE，求 CE 的长35第 17 页 共 20 页【答案
28、】证明：（1）如图 1，连接 OC、OD ；C 为弧 AB 的中点，OCAB，OCE+ AEC=90；DF=EF，FDE=FED=AEC；OA=OC，OCE=ODC，ODC+CDF=90，即 ODDF，DF 与O 相切（2 ）如图 2，连接 OA、OC；由（1）知 OCAB，AH=BH；ACDF，ACD=CDF；而 EF=DF，DEF=CDF=ACD，AC=AE；设 AE=5，则 BE=3，AH=4，HE=，AC=AE=5；由勾股定理得：CH=3；CE2=CH2+HE2=92+2 ， CE= ；10在直角AOH 中，由勾股定理得：AO2=AH2+OH2 ， 即 r2=（r3） 2+（4） 2
29、， 第 18 页 共 20 页解得：= r= x =2，625625253CE=2 10【考点】切线的判定 【解析】【分析】（1）如图，作辅助线；证明 ODC+CDF=90，即可解决问题（2 ）如图，作辅助线；证明 OHAB，AH=4 ，此为解题的关键性结论；证明 CE= ；列出方程10r2=（r 3） 2+（4） 2 ， 求出 = r= x =2，即可解决问题62562525327.如图，AB 是O 的直径，点 C 在 BA 的延长线上，直线 CD 与O 相切于点 D，弦 DFAB 于点 E，线段CD=10，连接 BD；（1 ）求证：CDE= DOC=2B；（2 ）若 BD：AB= ：2 ，
30、求O 的半径及 DF 的长3【答案】（1）证明： 直线 CD 与O 相切于点 D，ODCD，CDO=90，CDE+ODE=90又 DFAB，DEO=DEC=90COD+ODE=90，CDE=COD又EOD=2B，CDE=DOC=2B（2 ）解：连接 ADAB 是O 的直径，ADB=90BD：AB= ： 2，3在 RtADB 中 cosB= = ，BDAB32B=30AOD=2B=60又CDO=90，C=30在 RtCDO 中， CD=10，OD=10tan30= ，1033第 19 页 共 20 页即 O 的半径为 1033在 RtCDE 中，CD=10，C=30，DE=CDsin30=5DF
31、AB 于点 E，DE=EF= DF12DF=2DE=10【考点】切线的性质 【解析】【分析】（1）根据弦切角定理得 CDE=COD，再由同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，可得CDE=COD=2B；（2 ）连接 AD，根据三角函数求得 B=30，则 EOD=60，推得C=30，根据C 的正切值，求出圆的半径，再在 RtCDE 中，利用C 的正弦值，求得 DE，从而得出 DF 的长28.如图，AB 是O 的直径，AC 是弦，半径 ODAC 于点 E，过点 D 的切线与 BA 延长线交于点 F（1 ）求证：CDB= BFD；（2 ）若 AB=10，AC=8，求 DF 的长【答案】解：（1） DF
32、与O 相切，DFOD，ODAC，DFAC，CAB=BFD，CAB=BFD，CDB=BFD；（2 ） 半径 OD 垂直于弦 AC 于点 E，AC=8，AE= AC= 12 128=4AB 是O 的直径，OA=OD= AB= ，12 1210=5第 20 页 共 20 页在 RtAEO 中，OE= = =3，OA2-AE2 52-42ACDF，OAEOFD ，OEOD=AEDF = ，354DFDF= 203【考点】切线的性质 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到 DFOD，由于 ODAC，推出 DFAC，根据平行线的性质得到CAB=BFD，于是得到结论；（2 ）利用垂径定理得出 AE 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出 FD 的长