1、2017-2018 学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的19 的算术平方根是（ ）A3 B3 C3 D92下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（ ）A B C D3下列事件中，属于必然事件的是（ ）A随时打开电视机，正在播新闻B优秀射击运动员射击一次，命中靶心C抛掷一枚质地均匀的骰子，出现 4 点朝上D长度分别是 3cm，5cm，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形4二次根式 有意义的条件是（ ）Ax Bx Cx Dx 35估计 的值在（ ）A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3
2、和 4 之间 D4 和 5 之间6如果 ab= ，那么代数式（a ） 的值是（ ）A 2 B2 C D7等腰三角形的一个外角是 100，则它的顶角的度数为（ ）A80 B80或 20 C20 D80或 508当分式 的值为正整数时，整数 x 的取值可能有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9在实数范围内因式分解：x 22= 10转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的可能性是 11写出两个无理数，使得它们的和为有理数，则这两个无理数可以为 ； 12分式变形 = 中的整式
3、A= ，变形的依据是 13计算 = 14如图，线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AC，BDAC 于点 D若 CD=1，则线段 BD 的长为 15如图，66 正方形网格（每个小正方形的边长为 1）中，网格线的交点称为格点，ABC 的顶点都在格点上， D 是 BC 的中点则 AC= ； AD= 16如图，将长方形纸片 ABCD 对折后再展开，得到折痕 EF，M 是 BC 上一点，沿着AM 再次折叠纸片，使得点 B 恰好落在折痕 EF 上的点 B处，连接 AB，BB判断ABB 的形状为 ；若 P 为线段 EF 上一动点，当 PB+PM 最小时，请描述点P 的位置为 三、解答题（本题共
4、68 分，第 17-23 每小题 5 分；第 24-26 题，每小题 5 分；27 题 7分；28 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算： + 18计算： （2 ） + 19解方程： = 20如图，E 是 AC 上一点， AB=CE，ABCD，ACB=D求证：BC=ED 21当 x= 1 时，求代数式 的值22为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计划新建一所学校，如图 AB，AC 表示两条公路，点 M，N 表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：到两条公路的距离相等；到两个村庄的距离相等；在BAC的内部请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保
5、留作图痕迹并写明结论23某社区准备开展消防安全知识宣传活动，需确定两名宣传员现有四张完全相同的卡片，上面分别标有两名女工作人员的代码 A1，A 2 和两名男工作人员的代码B1，B 2把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求卡片上的代码恰代表一男一女的概率242017 年 9 月 21 日，我国自主研发的中国标准动车组“复兴号”正式上线运营，运营速度世界第一的桂冠，中国失而复得现有甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海已知北京到上海的距离约 1320 千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的 倍，全程运行时间比列车乙少 1.5 小时，求列车甲从北京到
6、上海运行的时间25周末，老师带同学去北京植物园中的一二九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图 1，点 A，B，C ，D 在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EFAD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证） ，并进行证明已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上， 求证： 证明： 26阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 x 的分式方程 =1 的解为正数，求 a 的取值
7、范围经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于 x 的分式方程，得 x=a+4由题意可得 a+40，所以 a4，问题解决小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 x4，即 a+44 才行（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于 x 的方程 的解为非负数，求 m 的取值范围27如图，Rt ABC 中，B=90 ，AB=6，BC=9 ，将ABC 折叠，使点 C 与 AB 的中点D 重合，折痕交 AC 于点 M，交 BC 于点 N（1）求线段 BN 的长；（2）连接 CD，与 MN 交于点 E，写出与点 E 相关
8、的两个正确结论： ； 28在ABC 中，C=90，AC=BC作射线 AP，过点 B 作 BDAP 于点 D，连接 CD（1）当射线 AP 位于图 1 所示的位置时根据题意补全图形；求证：AD+ BD= CD（2）当射线 AP 绕点 A 由图 1 的位置顺时针旋转至BAC 的内部，如图 2，直接写出此时 AD，BD，CD 三条线段之间的数量关系为 2017-2018 学年北京市石景山区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的19 的算术平方根是（ ）A3 B3 C3 D9【分析】根据开方运算，可得一个正
9、数的算术平方根【解答】解：9 的算术平方根是 3故选：A【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根2下列古代的吉祥图案中，不是轴对称图形的是（ ）A B C D【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不合题意；故选：C【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠后重合3下列事件中，属于必然事件的是（ ）A随时打开电视机，正在播新闻B优秀射击运动员射击一次，命中靶心C抛掷一枚质地均匀的骰子，出现
10、4 点朝上D长度分别是 3cm，5cm，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可【解答】解：A、是随机事件，故 A 不符合题意；B、是随机事件，故 B 不符合题意；C、是随机事件，故 C 不符合题意；D、是必然事件，故 D 符合题意；故选：D【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4二次根式 有意义的条件是（ ）Ax Bx Cx Dx 3【分析】根据
11、二次根式有意义的条件可得 3x10，再解不等式即可【解答】解：由题意得：3x10，解得：x ，故选：B【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数5估计 的值在（ ）A1 和 2 之间 B2 和 3 之间 C3 和 4 之间 D4 和 5 之间【分析】估算得出 的范围即可【解答】解：91316，3 4，则 的值在 3 和 4 之间，故选：C【点评】此题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键6如果 ab= ，那么代数式（a ） 的值是（ ）A 2 B2 C D【分析】直接利用分式的混合运算法则将原式变形进而得出答案【解答】解：（a ）=
12、= =ab，a b= ，原式= 故选：D【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键7等腰三角形的一个外角是 100，则它的顶角的度数为（ ）A80 B80或 20 C20 D80或 50【分析】分别从：若 100是等腰三角形顶角的外角，若 100是等腰三角形底角的外角，去分析，即可求得答案【解答】解：若 100是等腰三角形顶角的外角，则它的顶角的度数为：180 100=80；若 100是等腰三角形底角的外角，则它的底角的度数为：180 100=80；它的顶角为：1808080=20；它的顶角的度数为：80或 20故选：B【点评】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角此题难度不
13、大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解8当分式 的值为正整数时，整数 x 的取值可能有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据题意可知 2x3 必是 6 的因数，从而可求出答案【解答】解：由题意可知：2x3=1 或 2 或 3 或 6所以 x=2 或 或 3 或由于 x 是整数，x=2 或 3所以 x 的有两个故选：C【点评】本题考查分式的值，解题的关键正确得出 2x3 是 6 的正因数，本题属于基础题型二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9在实数范围内因式分解：x 22= （x ） （x+ ） 【分析】利用平方差公式即可分解【解答】解：x 22=（x ）
14、 （x+ ） 故答案是：（x ） （x+ ） 【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止10转盘上有六个面积相等的扇形区域，颜色分布如图所示，若指针固定不动，转动转盘，当转盘停止后，则指针对准红色区域的可能性是 【分析】首先确定红色区域在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率【解答】解：由于一个圆平均分成 6 个相等的扇形，在这 6 种等可能结果中，指针指向写有红色的扇形有 2 种可能结果，所以指针指到红色的概率是 = ；故答案为： 【点评】本题考查学生对简单几何概型的掌握情况
15、，体现了数学学科的基础性概率=所求情况数与总情况数之比11写出两个无理数，使得它们的和为有理数，则这两个无理数可以为 +3 ； +3 【分析】根据无理数的意义，可得答案【解答】解：（+3 ）+（ +3）=6，故答案为：+3 ，+3【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数如 ， ，0.8080080008（每两个 8 之间依次多 1 个 0）等形式12分式变形 = 中的整式 A= x 22x ，变形的依据是 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变 【分析】依据 x24=（x +2） （x 2） ，即可得到分式变形 =
16、 中的整式 A=x（x 2）=x22x【解答】解：x 24=（x +2） （x 2） ，分式变形 = 中的整式 A=x（x 2）=x 22x，依据是分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变故答案为：x 22x，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变【点评】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变13计算 = 【分析】利用分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母进行计算即可【解答】解：原式=（ ）= ，故答案为： 【点评】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分
17、式的乘法法则，注意结果要化简14如图，线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AC，BDAC 于点 D若 CD=1，则线段 BD 的长为 【分析】设 AD=x，则 AC=AD+CD=x+1，由旋转的性质知 AB=AC=x+1，A=60 ，根据cosA= 可求得 x 的值，进一步可得答案【解答】解：设 AD=x，则 AC=AD+CD=x+1，由旋转的性质知 AB=AC=x+1，A=60 ，在 RtABD 中，cosA= ，即 = ，解得：x=1，AD=1 、AB=2，则 BD= = = ，故答案为： 【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性和三角函数的定义、勾股定理
18、等知识点15如图，66 正方形网格（每个小正方形的边长为 1）中，网格线的交点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，D 是 BC 的中点则 AC= 2 ； AD= 【分析】根据勾股定理计算即可【解答】解：由题意得，BD=CD= ，由勾股定理得，AC= =2 ，AD= = ，故答案为：2 ； 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b ，斜边长为 c，那么 a2+b2=c216如图，将长方形纸片 ABCD 对折后再展开，得到折痕 EF，M 是 BC 上一点，沿着AM 再次折叠纸片，使得点 B 恰好落在折痕 EF 上的点 B处，连接 AB，BB判断ABB 的形状为 等边
19、三角形 ；若 P 为线段 EF 上一动点，当 PB+PM 最小时，请描述点 P 的位置为 AM 与 EF 的交点 【分析】依据折叠的性质，即可得到 AB=AB=BB，进而得出ABB是等边三角形，依据当 A，P，M 在同一直线上时，PB+PM 最小值为 AM 的长，即可得到点 P 的位置为 AM 与 EF 的交点【解答】解：由第一次折叠，可得 EF 垂直平分 AB，AB=BB，由第二次折叠，可得 AB=AB，AB=AB=BB，ABB是等边三角形；点 B 与点 A 关于 EF 对称，AP=BP，PB +PM=AP+PM，当 A，P ，M 在同一直线上时， PB+PM 最小值为 AM 的长，点 P
20、的位置为 AM 与 EF 的交点，故答案为：等边三角形，AM 与 EF 的交点【点评】本题主要考查了折叠的性质以及等边三角形的判定，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等三、解答题（本题共 68 分，第 17-23 每小题 5 分；第 24-26 题，每小题 5 分；27 题 7分；28 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算： + 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的性质分别化简得出答案【解答】解：原式=2+3 2=3 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键18计算： （2 ） + 【分析】先化简各二
21、次根式，再根据混合运算顺序依次计算可得【解答】解：原式=3 （2 ） +=6 +=5 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的混合运算的顺序和法则是解题的关键19解方程： = 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：9x32=13，解得：x=2，经检验 x=2 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验20如图，E 是 AC 上一点， AB=CE，ABCD，ACB=D求证：BC=ED 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得A= ECD，然后利用
22、“角角边”证明ABC和ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证【解答】证明：ABCD，A=ECD，在ABC 和ECD 中，ABCECD（AAS） ，BC=DE【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线的性质，比较简单，求出A= ECD 是证明三角形全等的关键21当 x= 1 时，求代数式 的值【分析】直接利用分式的混合运算法则将原式化简，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式= = = ，当 x= 1 时，原式= = 【点评】本题主要考查分式的化简求值，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算22为了解决某贫困地区两村村民子女就近入学问题，某爱心企业捐资助学，计
23、划新建一所学校，如图 AB，AC 表示两条公路，点 M，N 表示两个村庄，学校的位置需满足三个条件：到两条公路的距离相等；到两个村庄的距离相等；在BAC的内部请运用尺规作图确定学校的位置，不写作法，保留作图痕迹并写明结论【分析】先连接 MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段 MN 的垂直平分线 DE，再作出BAC 的平分线 AF， DE 与 AF 相交于 P 点，则点 P 即为所求【解答】解：点 P 为线段 MN 的垂直平分线与BAC 的平分线的交点，则点 P 到点M、N 的距离相等，到 AB、AC 的距离也相等，作图如下：【点评】此题考查作图应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂
24、直平分线作法是解决问题的关键23某社区准备开展消防安全知识宣传活动，需确定两名宣传员现有四张完全相同的卡片，上面分别标有两名女工作人员的代码 A1，A 2 和两名男工作人员的代码B1，B 2把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法求卡片上的代码恰代表一男一女的概率【分析】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再中出代表一男一女的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，代表一男一女的结果数为 8，所以代表一男一女的概率= = 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出符合事件 A
25、 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率242017 年 9 月 21 日，我国自主研发的中国标准动车组“复兴号”正式上线运营，运营速度世界第一的桂冠，中国失而复得现有甲、乙两列高铁列车在不同的时刻分别从北京出发开往上海已知北京到上海的距离约 1320 千米，列车甲行驶的平均速度为列车乙行驶平均速度的 倍，全程运行时间比列车乙少 1.5 小时，求列车甲从北京到上海运行的时间【分析】设列车乙行驶平均速度为 x 千米/小时根据时间差=1.5 构建方程即可解决问题【解答】解：设列车乙行驶平均速度为 x 千米/小时由题意： =1.5，解得：x=220，经检验：x=22
26、0 是分式方程的解=4.5 小时，答：列车甲从北京到上海运行的时间是 4.5 小时【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答解题的关键是熟练掌握速度=路程时间的关系，正确寻找等量关系构建方程解决问题25周末，老师带同学去北京植物园中的一二九运动纪念广场，这里有三座侧面为三角形的纪念亭，挺拔的建筑线条象征青年朝气蓬勃、积极向上的精神基于纪念亭的几何特征，同学们编拟了如下的数学问题：如图 1，点 A，B，C ，D 在同一条直线上，在四个论断“EA=ED，EFAD，AB=DC，FB=FC”中选择三个作为已知条件，另一个作为结论，构成真命题（补充已知和求证） ，并
27、进行证明已知：如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上， EA=ED，EFAD ，AB=DC 求证： FB=FC 证明： 延长 EF 交 BC 于 HEA=ED，EFAD，AH=HD，AB=DC，BH=CH， FHBC，FB=FC 【分析】已知：EA=ED ，EFAD，AB=DC，求证 FB=FC想办法证明 EF 是线段 BC 的垂直平分线即可 （答案不唯一）【解答】解：已知：如图，EA=ED，EFAD，AB=DC，求证 FB=FC理由：延长 EF 交 BC 于 HEA=ED，EFAD，AH=HD，AB=DC，BH=CH， FHBC，FB=FC故答案为：EA=ED ，EF AD，AB=DC；F
28、B=FC；延长 EF 交 BC 于 HEA=ED，EFAD，AH=HD，AB=DC，BH=CH， FHBC，FB=FC【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于开放性题目26阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于 x 的分式方程 =1 的解为正数，求 a 的取值范围经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于 x 的分式方程，得 x=a+4由题意可得 a+40，所以 a4，问题解决小哲说：你考虑的不全面，还必须保证 x4，即 a+4
29、4 才行（1）请回答： 小哲 的说法是正确的，并简述正确的理由是 分式的分母不为 0 ；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于 x 的方程 的解为非负数，求 m 的取值范围【分析】 （1）根据分式方程解为正数，且分母不为 0 判断即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出 m 的范围即可【解答】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为 0；故答案为：小哲；分式的分母不为 0；（2）去分母得：m+x=2x6，解得：x=m +6，由分式方程的解为非负数，得到 m+60，且 m+63，解得：m6 且 m3【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化
30、的思想，解分式方程注意要检验27如图，Rt ABC 中，B=90 ，AB=6，BC=9 ，将ABC 折叠，使点 C 与 AB 的中点D 重合，折痕交 AC 于点 M，交 BC 于点 N（1）求线段 BN 的长；（2）连接 CD，与 MN 交于点 E，写出与点 E 相关的两个正确结论： DE=EC ； DEM=90 【分析】先求得 BD 的长，设 BF=x，由翻折的性质可知：DF=9x接下来，在 RtBDF中，由勾股定理可列出关于 x 的方程求解即可【解答】解：（1）D 是 AB 的中点，BD= AB=3设 BF=x，则 CF=9x由翻折的性质可知：DF=CF=9 x在BDF 中，由勾股定理得：
31、DF 2=BD2+FB2，即（9x）2=3 2+x2解得：x=4BF 的长为 4（2）如图：结论：DE=EC；DEM=90，故答案为 DE=EC，DEM=90【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，依据勾股定理列出关于 x的方程是解题的关键28在ABC 中，C=90，AC=BC作射线 AP，过点 B 作 BDAP 于点 D，连接 CD（1）当射线 AP 位于图 1 所示的位置时根据题意补全图形；求证：AD+ BD= CD（2）当射线 AP 绕点 A 由图 1 的位置顺时针旋转至BAC 的内部，如图 2，直接写出此时 AD，BD，CD 三条线段之间的数量关系为 ADBD= CD 【分
32、析】 （1）根据要求补全图形即可；取 AB 是中点 O，连接 OD、OC，作 CEAD 于 E，CFDB 于 F四只要证明边形DECF 是正方形，可得 DE=DF，CD= DE，由 RtCAERtCBF，推出 AE=BF，可得AB+DB=DE+AE+DFBF=2DE，（2）结论：AD BD= CD取 AB 的中点 O，连接 OC，OD作 CMCD 交 AD 于M只要证明MCD 是等腰直角三角形，ACM BCD， 、即可解决问题；【解答】 （1）解：补全图的图形如图所示；证明：取 AB 是中点 O，连接 OD、OC，作 CEAD 于 E，CFDB 于 FACB=ADB=90，OC=OD= AB，
33、A、D、B、C 四点共圆，ADB=ABC=45 ，ADC=CDB，CEAD 于 E，CFDB 于 F，CE=CF，易证四边形 DECF 是正方形，DE=DF，CD= DE，AC=BC，CE=CF，RtCAERt CBF ，AE=BF，AB+DB=DE +AE+DFBF=2DE，又DE= CD，AB+BD= CD（2）结论：AD BD= CD理由：取 AB 的中点 O，连接 OC，OD作 CMCD 交 AD 于 MACB=ADB=90，OA=OB，OC=OD= AB，A、C、D、B 四点共圆， （设 AD 交 BC 于 O，先证明AOCBOD，再证明AOBCOD 即可）ADC=ABC=45，MCD 是等腰直角三角形，CM=CD，MCD= ACB=90，ACM=BCD，CA=CB，ACM BCD，AM=BD，ADBD=AD=AM=DM= CD故答案为：AD BD= CD【点评】本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题