1、2017-2018 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1若反比例函数的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数的表达式为（ ）Ay= By= Cy= Dy= 2已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是（ ）A B C D3如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那么这颗树的高度为（ ）A5m B7m C7.5m D21m4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若ABD=55，则BCD 的度数为（ ）
2、A25 B30 C35 D405二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b 24ac，则下列四个选项正确的是（ ）Ab 0，c 0，0 Bb0，c0，0C b0，c0，0 Db0， c0，06如图，O 的半径为 4，将O 的一部分沿着 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ）A3 B2 C6 D47如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 cosA 的值为（ ）A B2 C D8如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC=4 点 E 为 RtABC 边
3、上一点，点 E 以每秒1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE，以点C 为圆心，CE 长为半径作 C，C 与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是（ ）A BC D二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式： 10已知点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）在反比例函数 y= 上，当 y1y 20 时，x 1，x 2 的大小关系是 11如图，角 的一边在 x 轴上，另一边为射线
4、OP，点 P（2，2 ） ，则 tan= 12如图，点 D 为ABC 的 AB 边上一点，AD=2 ，DB=3若B=ACD，则 AC= 13如图，AC ，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1） ；（2） 14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式x 2+bx+c0 的解集为 15已知O 的半径为 1，其内接ABC 的边 AB= ，则C 的度数为 16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线已知：如图，BAC求作：BAC 的角平分线 AP小霞的作法如下：（1）如图，在平面内
5、任取一点 O；（2）以点 O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC 于点 E；（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交O 于点 P；（4）过点 P 作射线 AP所以射线 AP 为所求老师说：“小霞的作法正确 ”请回答：小霞的作图依据是 三、解答题（共 9 小题，满分 52 分）17 （5 分）计算：cos30tan60 4sin30+tan4518 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b（k0）与反比例函数y= （m0）交于点 A（ ， 2） ，B （1，a） （1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函
6、数图象，直接写出不等式 kx+b 的解集19 （5 分）如图，ABC 内接于O ，若O 的半径为 6，B=60，求 AC 的长20 （5 分）如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 为 60，旗杆顶部 A 的仰角 为 20，请你计算旗杆的高度 （sin200.342，tan200.364，cos20 0.940， 1.732，结果精确到 0.1 米）21 （5 分）如图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD已知教学楼外墙长 50 米，设矩形 ABCD 的边长 AB 为 x（米） ，面积为 S（平方米） （1
7、）请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？22 （5 分）如图，ABC 是等腰三角形， AB=AC，以 AC 为直径的O 与 BC 交于D，DEAB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2， BE=1，求 cosA 的值23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax22ax+1（a 0）的对称轴为x=b，点 A（ 2，m）在直线 y=x+3 上（1）求 m，b 的值；（2）若点 D（3，2）在二次函数 y=ax22
8、ax+1（a0）上，求 a 的值；（3）当二次函数 y=ax22ax+1（a0）与直线 y=x+3 相交于两点时，设左侧的交点为P（x 1，y 1） ，若 3x 11 ，求 a 的取值范围24 （7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC 边中点；点 G，H为 AB 边三等分点，I， J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S 四边形 GKLH= S 四边形 ABCD；在图 3
9、 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP =a，S AKG =bECAFDEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK =4aGDBI ， AGK ABM，且相似比为 1：3，得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD，S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b，S 四边形 ABCD= b ，S 四边形 KPOL= b S 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD，则 S 四边形 KPOL S 四边形 GKLH（填写“”“”或“ ”）（2）小瑞又按照图 4 的方式
10、连接矩形 ABCD 对边上的点，则 S 四边形 ANML= S 四边形ABCD25 （8 分）点 P 的“d 值”定义如下：若点 Q 为圆上任意一点，线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值” ，记为 dP特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时：（1）若点 C（ ，0） ，D（3，4） ，则 dc= ，d p= ；（2）若在直线 y=2x+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；（3）直线 y= x+b（b0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B 若线段 AB 上存在点 P，使得 2d P 3，请你直接写出 b 的取值范围
11、2017-2018 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 3 分，共 24 分）1若反比例函数的图象经过点（3，2） ，则该反比例函数的表达式为（ ）Ay= By= Cy= Dy= 【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式 y= （k0）即可求得 k 的值【解答】解：设反比例函数的解析式为 y= （k0） ，函数的图象经过点（3，2） ，2= ，得 k=6，反比例函数解析式为 y= 故选：B【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式 y= （k 为常数， k0） ；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式
12、，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式2已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120，则这个扇形的弧长是（ ）A B C D【分析】根据弧长公式 l= 进行解答即可【解答】解：根据弧长的公式 l= ，得到： = 故选：D【点评】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式即可解答该题3如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距 6m，与树距 15m，那么这颗树的高度为（ ）A5m B7m C7.5m D21m【分析】先判定OAB 和OCD 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】
13、解：如图，ABOD， CDOD ，ABCD，OABOCD， = ，AB=2m，OB=6m，OD=6+15=21m ， = ，解得 CD=7m这颗树的高度为 7m，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，确定出相似三角形是解题的关键4如图，AB 是O 的直径，点 C，D 在O 上若ABD=55，则BCD 的度数为（ ）A25 B30 C35 D40【分析】先根据圆周角定理求出ADB 的度数，再由直角三角形的性质求出A 的度数，进而可得出结论【解答】解：连接 AD，AB 是O 的直径，ADB=90 ABD=55 ，DAB=90 55=35，BCD=DAB=35故选：C【点评】本题
14、考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键5二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式为=b 24ac，则下列四个选项正确的是（ ）Ab 0，c 0，0 Bb0，c0，0C b0，c0，0 Db0， c0，0【分析】根据抛物线的性质即可求出答案【解答】解：由图象与 y 轴的交点位置可知：c 0，由图象与 x 轴的交点个数可知： 0，由图象的开口方向与对称轴可知：a0， 0，从而可知：b0，故选：A【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型6如图，O 的半径为 4
15、，将O 的一部分沿着 AB 翻折，劣弧恰好经过圆心 O，则折痕 AB 的长为（ ）A3 B2 C6 D4【分析】过 O 作垂直于 AB 的半径 OC，设交点为 D，根据折叠的性质可求出 OD 的长；连接 OA，根据勾股定理可求出 AD 的长，由垂径定理知 AB=2AD，即可求出 AB 的长度【解答】解：过 O 作 OCAB 于 D，交O 于 C，连接 OA，RtOAD 中，OD=CD= OC=2，OA=4，根据勾股定理，得：AD= =2 ，由垂径定理得，AB=2AD=4 ，故选：D【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化
16、，对应边和对应角相等是解题的关键7如图，在由边长为 1 的小正方形组成的网格中，点 A，B，C 都在小正方形的顶点上，则 cosA 的值为（ ）A B2 C D【分析】过 B 作 BDAC 于 D，根据勾股定理得到 AB 的长，然后由锐角三角函数定义解答即可【解答】解：如图，过 B 作 BDAC 于 D，则点 D 为格点，AD= ，由勾股定理知：AB 2=32+12=10，AB= ，RtADB 中，cosA= = = ，故选：C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦，记作 cosA8如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=AC=4 点 E
17、 为 RtABC 边上一点，点 E 以每秒1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE，以点C 为圆心，CE 长为半径作 C，C 与线段 BC 交于点 D，设扇形 DCE 面积为 S，点E 的运动时间为 t，则在以下四个函数图象中，最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是（ ）A BC D【分析】根据 RtABC 中， A=90，AB=AC=4 ，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发，沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止，可得函数图象先上升再下降，根据当0t 4 时，扇形面积 S= ，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故
18、B 选项错误；根据当 4t8 时，随着 t 的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，可得后半段函数图象不是抛物线，故 C 选项错误；再根据当 t=8 时，点 E、D 重合，扇形的面积为 0，故 D 选项错误；运用排除法即可得到结论【解答】解：RtABC 中，A=90，AB=AC=4 ，点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C出发，当 0t4 时，扇形面积 S= ，前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故 B 选项错误；当 4t8 时，随着 t 的增大，扇形的半径增大，而扇形的圆心角减小，后半段函数图象不是抛物线，故 C 选项错误；当 t=8 时，点 E、D 重合，扇形的面积为 0，故
19、D 选项错误；故选：A【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）9请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式： y=2 （x+1） 2（答案不唯一） 【分析】顶点在 x 轴上的函数是 y=a（xh ） 2 的形式，举一例即可【解答】解：顶点在 x 轴上时，顶点纵坐标为 0，即 k=0，例如 y=2（x +1） 2 （答案不唯一）【点评】顶点式 y=a（xh） 2+k，顶点
20、坐标是（h，k） ，此题考查了其中一种函数，要充分理解各函数的关系10已知点（x 1，y 1） ， （x 2，y 2）在反比例函数 y= 上，当 y1y 20 时，x 1，x 2 的大小关系是 x 1x 2 【分析】先根据反比例函数 y= 中 k=2 可知此函数的图象在一、三象限，再根据y1 y2 0，可知 A、B 两点均在第三象限，故可判断出 x1，x 2 的大小关系【解答】解：反比例函数 y= 中 k=20，此函数的图象在一、三象限，y 1y 20，A、B 两点均在第三象限，在第三象限内 y 随 x 的增大而减小，x 1x 2故答案为 x1x 2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标
21、特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键11如图，角 的一边在 x 轴上，另一边为射线 OP，点 P（2，2 ） ，则 tan= 【分析】如图作 PEx 轴于 E根据 tan= 计算即可【解答】解：如图作 PE x 轴于 EP（2，2 ） ，OE=2，PE=2 ，tan= = = 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，属于中考常考题型12如图，点 D 为ABC 的 AB 边上一点，AD=2 ，DB=3若B=ACD，则 AC= 【分析】由B=ACD、A=A，可证出ACD ABC，根据相似三角形的性质可得出 = ，代入
22、数据即可求出 AC 的值【解答】解：B=ACD，A=A，ACDABC ， = ，即 = ，AC= 或 AC= （不合题意，舍去） 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出关于 AC 的方程是解题的关键13如图，AC ，AD 是正六边形的两条对角线，在不添加任何其他线段的情况下，请写出两个关于图中角度的正确结论：（1） BAC=BCA ；（2） DAF=ADE 【分析】根据正六边形的特点可得到：因为图形是正六边形，所以 AB=BC，所以三角形 ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BAC=BCA 因为EFAD ，AF=ED ，所以四边形 ADEF 是
23、等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得DAF=ADE 【解答】解：由分析可知，两个关于图中角度的正确结论：（1）BAC=BCA ；（2）DAF= ADE 故答案为：BAC=BCA；DAF= ADE 【点评】考查了多边形内角与外角，要结合题目中所提供的已知条件，特别是该图形为正六边形，得出结论14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式x 2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0） ，然后写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x=2，而抛物线与 x 轴的
24、一个交点坐标为（ 5，0 ） ，所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 1，0） ，所以不等式x 2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5故答案为 x1 或 x5【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范，可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解15已知O 的半径为 1，其内接ABC 的边 AB= ，则C 的度数为 45 或 135 【分析】过圆心作 AB 的垂线，在构建的直角三角形中，易求得圆心角AOB 的度数，由此可求出C 的度数 （注意C 所对的弧可能是优弧，也可能是劣弧）【解答】解：如图，连接 OA、OB，过 O 作 ODAB
25、于 D在 RtOAD 中，AD= ， OA=1，sin AOD= ，AOD=45 ，AOB=135 点 C 的位置有两种情况：当点 C 在如图位置时，C= AOB=45 ；当点 C 在 E 点位置时，C=E=180 45=135故答案为：45 或 135【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用注意点 C 的位置有两种情况，不要漏解16阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作已知角的角平分线已知：如图，BAC求作：BAC 的角平分线 AP小霞的作法如下：（1）如图，在平面内任取一点 O；（2）以点 O 为圆心，AO 为半径作圆，交射线 AB 于点 D，交射线 AC 于
26、点 E；（3）连接 DE，过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE，交O 于点 P；（4）过点 P 作射线 AP所以射线 AP 为所求老师说：“小霞的作法正确 ”请回答：小霞的作图依据是 （1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义 【分析】根据作图的依据解答即可【解答】解：小霞的作图依据是（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义；故答案为：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）同弧或等弧所对的圆周角相等；（3）角平分线的定义【点评】此题考查作图复
27、杂作图问题，关键是根据作图的依据解答三、解答题（共 9 小题，满分 52 分）17 （5 分）计算：cos30tan60 4sin30+tan45【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答【解答】解：原式= 4 +1= 2+1= 【点评】考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题18 （5 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=kx+b（k0）与反比例函数y= （m0）交于点 A（ ， 2） ，B （1，a） （1）分被求出反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据函数图象，直接写出不等式 kx+b 的解集【分析】 （1）首先由 A（ ， 2）在反比例函数 y= 的图象上，求
28、得反比例函数的解析式，即可求得点 B 的坐标，再利用待定系数法即可解决问题；（2）观察图形，一次函数的值大于反比例函数的值，一次函数在反比例函数上面的部分【解答】解：（1）点 A（ ， 2）在函数 y= 上，m= （2）=3，y= ，点 B（1，a）在 y= 上，a=3，直线 y=kx+b 经过 A（ ， 2） ，B（1，3） ， ，解得 ，直线解析式为 y=2x+1（2）观察图象可知，不等式 kx+b 的解集为： x0 或 x1【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由函数图象比较函数大小，能够数形结合是解题的关键19 （5 分）如图，ABC 内接于O ，若O 的半径为 6，B=6
29、0，求 AC 的长【分析】如图，作直径 AD，连接 CD利用圆周角定理得到ACD 是含 30 度角的直角三角形，由该三角形的性质和勾股定理求得 AC 的长度即可【解答】解：如图，作直径 AD，连接 CDACD=90B=60，D=B=60O 的半径为 6，AD=12在 RtACD 中， CAD=30，CD=6AC=6 【点评】本题考查了圆周角定理注意题中辅助线的作法20 （5 分）如图，建筑物的高 CD 为 17.32 米，在其楼顶 C，测得旗杆底部 B 的俯角 为 60，旗杆顶部 A 的仰角 为 20，请你计算旗杆的高度 （sin200.342，tan200.364，cos20 0.940，
30、1.732，结果精确到 0.1 米）【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，借助公共边 CE 等价转换，解这两个三角形可得 AE、BE 的值，再利用 AB=AE+BE，进而可求出答案【解答】解：根据题意，再 RtBCE 中，BEC=90，tan= ，CE= =10 米，再 RtACE 中，AEC=90，tan= ，AE=CEtan20100.364=3.64 米，AB=AE+BE=17.32+3.64=20.9621.0 米，答：旗杆的高约为 21.0 米【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形21 （5 分）如
31、图，李师傅想用长为 80 米的棚栏，再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD已知教学楼外墙长 50 米，设矩形 ABCD 的边长 AB 为 x（米） ，面积为 S（平方米） （1）请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式，并指出 x 的取值范围；（2）当 AB 为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？【分析】 （1）设矩形的边 AB 为 x 米，则边 BC 为 802x 米，根据矩形面积公式“面积= 长宽” 列出函数的关系式（2）将所得函数解析式配方成顶点式即可得【解答】解：（1）根据题意知 AB=x，BC=80 2x，S=x（80 2x）= 2x2+80x，又x0，0802x
32、50，解得 15x40，S=2x 2+80x （15x40） ；（2）S=2x 2+80x =2（x20） 2+800，当 x=20 时，S 最大值为 800，答：当 AB 为 20 米时，活动区的面积最大，最大面积是 800 平方米【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题22 （5 分）如图，ABC 是等腰三角形， AB=AC，以 AC 为直径的O 与 BC 交于D，DE AB，垂足为点 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2， BE=1，求 cosA 的值【分析】 （1）连接
33、 OD，AD ，由 AC 为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到 AD 垂直于 BC，利用三线合一得到 D 为 BC 中点，再由 O 为 AC 的中点，得到 OD 为三角形 ABC 的中位线，利用中位线性质得到 OD 与 AB 平行，进而得到OD 垂直于 DE，即可得证；（2）由半径的长求出 AB 与 AC 的长，根据 BE 的长，由 ABBE 求出 AE 的长，由平行得相似，相似得比例，设 CF=x，根据题意列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即可确定出所求【解答】 （1）证明：连接 OD，AD ，AC 为圆的直径，ADC=90，AD BC ，AB=AC，点 D
34、 为 BC 的中点，点 O 为 AC 的中点，ODAB，DEAB，AED=90，ODE=90 ，ODDE，则 DE 为圆 O 的切线；（2）解：r=2 ，AB=AC=2r=4，BE=1，AE=ABBE=3，ODAB，FOD FAE， = = ，设 CF=x，则有 OF=x+2，AF=x+4， = ，解得：x=2，AF=6，在 RtAEF 中，AEF=90，则 cosA= = 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，以及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键23 （7 分）在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax22ax+1（a 0）的
35、对称轴为x=b，点 A（ 2，m）在直线 y=x+3 上（1）求 m，b 的值；（2）若点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，求 a 的值；（3）当二次函数 y=ax22ax+1（a0）与直线 y=x+3 相交于两点时，设左侧的交点为P（x 1，y 1） ，若 3x 11 ，求 a 的取值范围【分析】 （1）根据二次函数的性质，可得 b= =1将 A（2，m）代入 y=x+3，即可求出 m=2+3=5；（2）将 D（3，2）代入 y=ax22ax+1，即可求出 a 的值；（3）把 x=3 代入 y=x+3，求出 y=6，把（3，6）代入 y=ax22ax+1，求出 a=
36、再把x=1 代入 y=x+3，求出 y=4，把（ 1，4）代入 y=ax22ax+1，求出 a=1进而得出 a 的取值范围【解答】解：（1）二次函数 y=ax22ax+1（a0）的对称轴为 x=b，b= =1点 A（2 ，m）在直线 y=x+3 上，m=2+3=5 ；（2）点 D（3，2）在二次函数 y=ax22ax+1（a0）上，2=a3 22a3+1，a= ；（3）当 x=3 时，y= x+3=6，当（3，6）在 y=ax22ax+1（a0）上时，6=a （3） 22a（ 3）+1，a= 又当 x=1 时， y=x+3=4，当（1，4）在 y=ax22ax+1（a0）上时，4=a （1）
37、22a（ 1）+1，a=1 a1 【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，掌握点在直线上，则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键24 （7 分）如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 为 AD 边中点，点 F 为 BC 边中点；点 G，H为 AB 边三等分点，I， J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点，如图 2，图 3 所示，那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗？（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S 四边形 GKLH= S 四边形 ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面
38、积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP =a，S AKG =bECAFDEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK =4aGDBI ， AGK ABM，且相似比为 1：3，得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD，S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b， S 四边形 ABCD= 42 b ，S 四边形 KPOL= 6 bS 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD，则 S 四边形 KPOL S 四边形 GKLH（填写“”“”或“”）（2）小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边
39、上的点，则 S 四边形 ANML= S 四边形ABCD【分析】 （1）根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL =a，S AEN =b想办法证明 S 四边形 ANML=4b，S 四边形 ABCD=20b，即可解决问题；【解答】解：（1）小瑞的探究过程如下：在图 2 中，小瑞发现，S 四边形 GKLH= S 四边形ABCD；在图 3 中，小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下，请你将小瑞的思路填写完整；设 SDEP =a，S AKG =bECAFDEPDAK，且相似比为 1：2，得到 SDAK =4aGDB
40、I ， AGK ABM，且相似比为 1：3，得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD，S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b，S 四边形 ABCD=42b， 四边形 KPOL=6bS 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD，则 S 四边形 KPOLS 四边形 GKLH故答案为 ， ，42，6， ，（2）如图 4 中，延长 CE 交 BA 的延长线于 T，连接 DN，设 SAGL =a，S AEN =bGL PH，AGLAHP ，相似比为 1：2，得到 SAHP =4a，ATCD，T=ECD ，AET=
41、CED，AE=ED，AETDEC，AT=CD，ATCJ， = = ， = ，可得 SDNJ = b，S ABF =4a+ b= S 四边形 ABCD，S ADJ = b= S 四边形 ABCD，16a+ b=20b，a= b，S 四边形 ANML= （20b8a b）=4b，S 四边形 ABCD=20b，S 四边形 ANML= S 四边形 ABCD故答案为 【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题25 （8 分）点 P 的“d 值”定义如下：若
42、点 Q 为圆上任意一点，线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值” ，记为 dP特别的，当点 P，Q 重合时，线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时：（1）若点 C（ ，0） ，D（3，4） ，则 dc= 1 ，d p= 4 ；（2）若在直线 y=2x+2 上存在点 P，使得 dP=2，求出点 P 的横坐标；（3）直线 y= x+b（b0）与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B 若线段 AB 上存在点 P，使得 2d P 3，请你直接写出 b 的取值范围【分析】 （1）圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，由此即可解决问题；
43、（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，可以假设 P（a ，2a+2） ，根据 PO=1，构建方程即可解决问题；（3）根据题意，满足 2d P3 的点位于点 O 为圆心外径为 ，内径为 1 的圆环内，分不清楚两圆与线段 AB 相切时 b 的值即可解决问题；【解答】解：（1）根据题意可得圆内的点的 d 值= 这个点到圆心距离的 2 倍，圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径，所以 dc=1，d p=4；故答案为 1，4；（2）根据题意，满足 dp=2 的点位于O 内部，且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上，点 P 在直线 y=2x+2 上，可以假设 P（a，2a+2） ，PO=1，a 2+（2a +2） 2=1，