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2017-2018学年北京市通州区九年级上期末数学试卷(含答案解析)

1、2017-2018 学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷一、选择题(每题 3 分,共 24 分)1若反比例函数的图象经过点(3,2) ,则该反比例函数的表达式为( )Ay= By= Cy= Dy= 2已知一个扇形的半径是 1,圆心角是 120,则这个扇形的弧长是( )A B C D3如图,为了测量某棵树的高度,小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距 6m,与树距 15m,那么这颗树的高度为( )A5m B7m C7.5m D21m4如图,AB 是O 的直径,点 C,D 在O 上若ABD=55,则BCD 的度数为( )

2、A25 B30 C35 D405二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为=b 24ac,则下列四个选项正确的是( )Ab 0,c 0,0 Bb0,c0,0C b0,c0,0 Db0, c0,06如图,O 的半径为 4,将O 的一部分沿着 AB 翻折,劣弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为( )A3 B2 C6 D47如图,在由边长为 1 的小正方形组成的网格中,点 A,B,C 都在小正方形的顶点上,则 cosA 的值为( )A B2 C D8如图,在 RtABC 中,A=90 ,AB=AC=4 点 E 为 RtABC 边

3、上一点,点 E 以每秒1 个单位的速度从点 C 出发,沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE,以点C 为圆心,CE 长为半径作 C,C 与线段 BC 交于点 D,设扇形 DCE 面积为 S,点E 的运动时间为 t,则在以下四个函数图象中,最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是( )A BC D二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)9请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式: 10已知点(x 1,y 1) , (x 2,y 2)在反比例函数 y= 上,当 y1y 20 时,x 1,x 2 的大小关系是 11如图,角 的一边在 x 轴上,另一边为射线

4、OP,点 P(2,2 ) ,则 tan= 12如图,点 D 为ABC 的 AB 边上一点,AD=2 ,DB=3若B=ACD,则 AC= 13如图,AC ,AD 是正六边形的两条对角线,在不添加任何其他线段的情况下,请写出两个关于图中角度的正确结论:(1) ;(2) 14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示,由图象可知,不等式x 2+bx+c0 的解集为 15已知O 的半径为 1,其内接ABC 的边 AB= ,则C 的度数为 16阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作已知角的角平分线已知:如图,BAC求作:BAC 的角平分线 AP小霞的作法如下:(1)如图,在平面内

5、任取一点 O;(2)以点 O 为圆心,AO 为半径作圆,交射线 AB 于点 D,交射线 AC 于点 E;(3)连接 DE,过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE,交O 于点 P;(4)过点 P 作射线 AP所以射线 AP 为所求老师说:“小霞的作法正确 ”请回答:小霞的作图依据是 三、解答题(共 9 小题,满分 52 分)17 (5 分)计算:cos30tan60 4sin30+tan4518 (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b(k0)与反比例函数y= (m0)交于点 A( , 2) ,B (1,a) (1)分被求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)根据函

6、数图象,直接写出不等式 kx+b 的解集19 (5 分)如图,ABC 内接于O ,若O 的半径为 6,B=60,求 AC 的长20 (5 分)如图,建筑物的高 CD 为 17.32 米,在其楼顶 C,测得旗杆底部 B 的俯角 为 60,旗杆顶部 A 的仰角 为 20,请你计算旗杆的高度 (sin200.342,tan200.364,cos20 0.940, 1.732,结果精确到 0.1 米)21 (5 分)如图,李师傅想用长为 80 米的棚栏,再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD已知教学楼外墙长 50 米,设矩形 ABCD 的边长 AB 为 x(米) ,面积为 S(平方米) (1

7、)请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式,并指出 x 的取值范围;(2)当 AB 为多少米时,活动区的面积最大?最大面积是多少?22 (5 分)如图,ABC 是等腰三角形, AB=AC,以 AC 为直径的O 与 BC 交于D,DEAB,垂足为点 E,ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若O 的半径为 2, BE=1,求 cosA 的值23 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax22ax+1(a 0)的对称轴为x=b,点 A( 2,m)在直线 y=x+3 上(1)求 m,b 的值;(2)若点 D(3,2)在二次函数 y=ax22

8、ax+1(a0)上,求 a 的值;(3)当二次函数 y=ax22ax+1(a0)与直线 y=x+3 相交于两点时,设左侧的交点为P(x 1,y 1) ,若 3x 11 ,求 a 的取值范围24 (7 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 边中点,点 F 为 BC 边中点;点 G,H为 AB 边三等分点,I, J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点,如图 2,图 3 所示,那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗?(1)小瑞的探究过程如下:在图 2 中,小瑞发现,S 四边形 GKLH= S 四边形 ABCD;在图 3

9、 中,小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下,请你将小瑞的思路填写完整;设 SDEP =a,S AKG =bECAFDEPDAK,且相似比为 1:2,得到 SDAK =4aGDBI , AGK ABM,且相似比为 1:3,得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD,S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b,S 四边形 ABCD= b ,S 四边形 KPOL= b S 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD,则 S 四边形 KPOL S 四边形 GKLH(填写“”“”或“ ”)(2)小瑞又按照图 4 的方式

10、连接矩形 ABCD 对边上的点,则 S 四边形 ANML= S 四边形ABCD25 (8 分)点 P 的“d 值”定义如下:若点 Q 为圆上任意一点,线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值” ,记为 dP特别的,当点 P,Q 重合时,线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时:(1)若点 C( ,0) ,D(3,4) ,则 dc= ,d p= ;(2)若在直线 y=2x+2 上存在点 P,使得 dP=2,求出点 P 的横坐标;(3)直线 y= x+b(b0)与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B 若线段 AB 上存在点 P,使得 2d P 3,请你直接写出 b 的取值范围

11、2017-2018 学年北京市通州区九年级(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每题 3 分,共 24 分)1若反比例函数的图象经过点(3,2) ,则该反比例函数的表达式为( )Ay= By= Cy= Dy= 【分析】函数经过一定点,将此点坐标代入函数解析式 y= (k0)即可求得 k 的值【解答】解:设反比例函数的解析式为 y= (k0) ,函数的图象经过点(3,2) ,2= ,得 k=6,反比例函数解析式为 y= 故选:B【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式:设出含有待定系数的反比例函数解析式 y= (k 为常数, k0) ;把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式

12、,得到待定系数的方程;解方程,求出待定系数;写出解析式2已知一个扇形的半径是 1,圆心角是 120,则这个扇形的弧长是( )A B C D【分析】根据弧长公式 l= 进行解答即可【解答】解:根据弧长的公式 l= ,得到: = 故选:D【点评】本题考查了弧长的计算,熟记弧长公式即可解答该题3如图,为了测量某棵树的高度,小刚用长为 2m 的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距 6m,与树距 15m,那么这颗树的高度为( )A5m B7m C7.5m D21m【分析】先判定OAB 和OCD 相似,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【解答】

13、解:如图,ABOD, CDOD ,ABCD,OABOCD, = ,AB=2m,OB=6m,OD=6+15=21m , = ,解得 CD=7m这颗树的高度为 7m,故选:B【点评】本题考查了相似三角形的应用,读懂题目信息,确定出相似三角形是解题的关键4如图,AB 是O 的直径,点 C,D 在O 上若ABD=55,则BCD 的度数为( )A25 B30 C35 D40【分析】先根据圆周角定理求出ADB 的度数,再由直角三角形的性质求出A 的度数,进而可得出结论【解答】解:连接 AD,AB 是O 的直径,ADB=90 ABD=55 ,DAB=90 55=35,BCD=DAB=35故选:C【点评】本题

14、考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键5二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为=b 24ac,则下列四个选项正确的是( )Ab 0,c 0,0 Bb0,c0,0C b0,c0,0 Db0, c0,0【分析】根据抛物线的性质即可求出答案【解答】解:由图象与 y 轴的交点位置可知:c 0,由图象与 x 轴的交点个数可知: 0,由图象的开口方向与对称轴可知:a0, 0,从而可知:b0,故选:A【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于基础题型6如图,O 的半径为 4

15、,将O 的一部分沿着 AB 翻折,劣弧恰好经过圆心 O,则折痕 AB 的长为( )A3 B2 C6 D4【分析】过 O 作垂直于 AB 的半径 OC,设交点为 D,根据折叠的性质可求出 OD 的长;连接 OA,根据勾股定理可求出 AD 的长,由垂径定理知 AB=2AD,即可求出 AB 的长度【解答】解:过 O 作 OCAB 于 D,交O 于 C,连接 OA,RtOAD 中,OD=CD= OC=2,OA=4,根据勾股定理,得:AD= =2 ,由垂径定理得,AB=2AD=4 ,故选:D【点评】本题考查的是翻转变换的性质、矩形的性质,掌握翻转变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化

16、,对应边和对应角相等是解题的关键7如图,在由边长为 1 的小正方形组成的网格中,点 A,B,C 都在小正方形的顶点上,则 cosA 的值为( )A B2 C D【分析】过 B 作 BDAC 于 D,根据勾股定理得到 AB 的长,然后由锐角三角函数定义解答即可【解答】解:如图,过 B 作 BDAC 于 D,则点 D 为格点,AD= ,由勾股定理知:AB 2=32+12=10,AB= ,RtADB 中,cosA= = = ,故选:C【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,锐角 A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做A 的余弦,记作 cosA8如图,在 RtABC 中,A=90 ,AB=AC=4 点 E

17、 为 RtABC 边上一点,点 E 以每秒1 个单位的速度从点 C 出发,沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止连接 CE,以点C 为圆心,CE 长为半径作 C,C 与线段 BC 交于点 D,设扇形 DCE 面积为 S,点E 的运动时间为 t,则在以下四个函数图象中,最符合扇形面积 S 关于运动时间 t 的变化趋势的是( )A BC D【分析】根据 RtABC 中, A=90,AB=AC=4 ,点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C 出发,沿着 CAB 的路径运动到点 B 为止,可得函数图象先上升再下降,根据当0t 4 时,扇形面积 S= ,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故

18、B 选项错误;根据当 4t8 时,随着 t 的增大,扇形的半径增大,而扇形的圆心角减小,可得后半段函数图象不是抛物线,故 C 选项错误;再根据当 t=8 时,点 E、D 重合,扇形的面积为 0,故 D 选项错误;运用排除法即可得到结论【解答】解:RtABC 中,A=90,AB=AC=4 ,点 E 以每秒 1 个单位的速度从点 C出发,当 0t4 时,扇形面积 S= ,前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分,故 B 选项错误;当 4t8 时,随着 t 的增大,扇形的半径增大,而扇形的圆心角减小,后半段函数图象不是抛物线,故 C 选项错误;当 t=8 时,点 E、D 重合,扇形的面积为 0,故

19、D 选项错误;故选:A【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力二、填空题(共 8 小题,每小题 3 分,满分 24 分)9请写出一个顶点在 x 轴上的二次函数解析式: y=2 (x+1) 2(答案不唯一) 【分析】顶点在 x 轴上的函数是 y=a(xh ) 2 的形式,举一例即可【解答】解:顶点在 x 轴上时,顶点纵坐标为 0,即 k=0,例如 y=2(x +1) 2 (答案不唯一)【点评】顶点式 y=a(xh) 2+k,顶点

20、坐标是(h,k) ,此题考查了其中一种函数,要充分理解各函数的关系10已知点(x 1,y 1) , (x 2,y 2)在反比例函数 y= 上,当 y1y 20 时,x 1,x 2 的大小关系是 x 1x 2 【分析】先根据反比例函数 y= 中 k=2 可知此函数的图象在一、三象限,再根据y1 y2 0,可知 A、B 两点均在第三象限,故可判断出 x1,x 2 的大小关系【解答】解:反比例函数 y= 中 k=20,此函数的图象在一、三象限,y 1y 20,A、B 两点均在第三象限,在第三象限内 y 随 x 的增大而减小,x 1x 2故答案为 x1x 2【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标

21、特点,先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键11如图,角 的一边在 x 轴上,另一边为射线 OP,点 P(2,2 ) ,则 tan= 【分析】如图作 PEx 轴于 E根据 tan= 计算即可【解答】解:如图作 PE x 轴于 EP(2,2 ) ,OE=2,PE=2 ,tan= = = 故答案为 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识,解题的关键是熟练掌握三角函数的定义,属于中考常考题型12如图,点 D 为ABC 的 AB 边上一点,AD=2 ,DB=3若B=ACD,则 AC= 【分析】由B=ACD、A=A,可证出ACD ABC,根据相似三角形的性质可得出 = ,代入

22、数据即可求出 AC 的值【解答】解:B=ACD,A=A,ACDABC , = ,即 = ,AC= 或 AC= (不合题意,舍去) 故答案为: 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质找出关于 AC 的方程是解题的关键13如图,AC ,AD 是正六边形的两条对角线,在不添加任何其他线段的情况下,请写出两个关于图中角度的正确结论:(1) BAC=BCA ;(2) DAF=ADE 【分析】根据正六边形的特点可得到:因为图形是正六边形,所以 AB=BC,所以三角形 ABC 是等腰三角形,根据等腰三角形的性质可得BAC=BCA 因为EFAD ,AF=ED ,所以四边形 ADEF 是

23、等腰梯形,根据等腰梯形的性质可得DAF=ADE 【解答】解:由分析可知,两个关于图中角度的正确结论:(1)BAC=BCA ;(2)DAF= ADE 故答案为:BAC=BCA;DAF= ADE 【点评】考查了多边形内角与外角,要结合题目中所提供的已知条件,特别是该图形为正六边形,得出结论14二次函数 y=x2+bx+c 的部分图象如图所示,由图象可知,不等式x 2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5 【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为( 1,0) ,然后写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可【解答】解:抛物线的对称轴为直线 x=2,而抛物线与 x 轴的

24、一个交点坐标为( 5,0 ) ,所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为( 1,0) ,所以不等式x 2+bx+c0 的解集为 x1 或 x5故答案为 x1 或 x5【点评】本题考查了二次函数与不等式(组):利用两个函数图在直角标中的上下位置系自变量的取范,可作图利用点直观解也可把个函数解析式列成不式求解15已知O 的半径为 1,其内接ABC 的边 AB= ,则C 的度数为 45 或 135 【分析】过圆心作 AB 的垂线,在构建的直角三角形中,易求得圆心角AOB 的度数,由此可求出C 的度数 (注意C 所对的弧可能是优弧,也可能是劣弧)【解答】解:如图,连接 OA、OB,过 O 作 ODAB

25、于 D在 RtOAD 中,AD= , OA=1,sin AOD= ,AOD=45 ,AOB=135 点 C 的位置有两种情况:当点 C 在如图位置时,C= AOB=45 ;当点 C 在 E 点位置时,C=E=180 45=135故答案为:45 或 135【点评】本题主要考查了垂径定理以及解直角三角形的应用注意点 C 的位置有两种情况,不要漏解16阅读下面材料:在数学课上,老师提出如下问题:尺规作图:作已知角的角平分线已知:如图,BAC求作:BAC 的角平分线 AP小霞的作法如下:(1)如图,在平面内任取一点 O;(2)以点 O 为圆心,AO 为半径作圆,交射线 AB 于点 D,交射线 AC 于

26、点 E;(3)连接 DE,过点 O 作射线 OP 垂直于线段 DE,交O 于点 P;(4)过点 P 作射线 AP所以射线 AP 为所求老师说:“小霞的作法正确 ”请回答:小霞的作图依据是 (1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)同弧或等弧所对的圆周角相等;(3)角平分线的定义 【分析】根据作图的依据解答即可【解答】解:小霞的作图依据是(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)同弧或等弧所对的圆周角相等;(3)角平分线的定义;故答案为:(1)垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)同弧或等弧所对的圆周角相等;(3)角平分线的定义【点评】此题考查作图复

27、杂作图问题,关键是根据作图的依据解答三、解答题(共 9 小题,满分 52 分)17 (5 分)计算:cos30tan60 4sin30+tan45【分析】根据特殊角的三角函数值,即可解答【解答】解:原式= 4 +1= 2+1= 【点评】考查了特殊角的三角函数值,属于识记性题目,基础题18 (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b(k0)与反比例函数y= (m0)交于点 A( , 2) ,B (1,a) (1)分被求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)根据函数图象,直接写出不等式 kx+b 的解集【分析】 (1)首先由 A( , 2)在反比例函数 y= 的图象上,求

28、得反比例函数的解析式,即可求得点 B 的坐标,再利用待定系数法即可解决问题;(2)观察图形,一次函数的值大于反比例函数的值,一次函数在反比例函数上面的部分【解答】解:(1)点 A( , 2)在函数 y= 上,m= (2)=3,y= ,点 B(1,a)在 y= 上,a=3,直线 y=kx+b 经过 A( , 2) ,B(1,3) , ,解得 ,直线解析式为 y=2x+1(2)观察图象可知,不等式 kx+b 的解集为: x0 或 x1【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,由函数图象比较函数大小,能够数形结合是解题的关键19 (5 分)如图,ABC 内接于O ,若O 的半径为 6,B=6

29、0,求 AC 的长【分析】如图,作直径 AD,连接 CD利用圆周角定理得到ACD 是含 30 度角的直角三角形,由该三角形的性质和勾股定理求得 AC 的长度即可【解答】解:如图,作直径 AD,连接 CDACD=90B=60,D=B=60O 的半径为 6,AD=12在 RtACD 中, CAD=30,CD=6AC=6 【点评】本题考查了圆周角定理注意题中辅助线的作法20 (5 分)如图,建筑物的高 CD 为 17.32 米,在其楼顶 C,测得旗杆底部 B 的俯角 为 60,旗杆顶部 A 的仰角 为 20,请你计算旗杆的高度 (sin200.342,tan200.364,cos20 0.940,

30、1.732,结果精确到 0.1 米)【分析】首先根据题意分析图形;本题涉及到两个直角三角形,借助公共边 CE 等价转换,解这两个三角形可得 AE、BE 的值,再利用 AB=AE+BE,进而可求出答案【解答】解:根据题意,再 RtBCE 中,BEC=90,tan= ,CE= =10 米,再 RtACE 中,AEC=90,tan= ,AE=CEtan20100.364=3.64 米,AB=AE+BE=17.32+3.64=20.9621.0 米,答:旗杆的高约为 21.0 米【点评】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形21 (5 分)如

31、图,李师傅想用长为 80 米的棚栏,再借助教学楼的外墙围成一个矩形的活动区 ABCD已知教学楼外墙长 50 米,设矩形 ABCD 的边长 AB 为 x(米) ,面积为 S(平方米) (1)请写出活动区面积 S 与 x 之间的关系式,并指出 x 的取值范围;(2)当 AB 为多少米时,活动区的面积最大?最大面积是多少?【分析】 (1)设矩形的边 AB 为 x 米,则边 BC 为 802x 米,根据矩形面积公式“面积= 长宽” 列出函数的关系式(2)将所得函数解析式配方成顶点式即可得【解答】解:(1)根据题意知 AB=x,BC=80 2x,S=x(80 2x)= 2x2+80x,又x0,0802x

32、50,解得 15x40,S=2x 2+80x (15x40) ;(2)S=2x 2+80x =2(x20) 2+800,当 x=20 时,S 最大值为 800,答:当 AB 为 20 米时,活动区的面积最大,最大面积是 800 平方米【点评】本题考查二次函数的应用,解题的关键是学会构建二次函数,学会利用二次函数的性质解决问题22 (5 分)如图,ABC 是等腰三角形, AB=AC,以 AC 为直径的O 与 BC 交于D,DE AB,垂足为点 E,ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F(1)求证:DE 是O 的切线;(2)若O 的半径为 2, BE=1,求 cosA 的值【分析】 (1)连接

33、 OD,AD ,由 AC 为圆的直径,利用直径所对的圆周角为直角及垂直的定义得到 AD 垂直于 BC,利用三线合一得到 D 为 BC 中点,再由 O 为 AC 的中点,得到 OD 为三角形 ABC 的中位线,利用中位线性质得到 OD 与 AB 平行,进而得到OD 垂直于 DE,即可得证;(2)由半径的长求出 AB 与 AC 的长,根据 BE 的长,由 ABBE 求出 AE 的长,由平行得相似,相似得比例,设 CF=x,根据题意列出关于 x 的方程,求出方程的解得到 x 的值,即可确定出所求【解答】 (1)证明:连接 OD,AD ,AC 为圆的直径,ADC=90,AD BC ,AB=AC,点 D

34、 为 BC 的中点,点 O 为 AC 的中点,ODAB,DEAB,AED=90,ODE=90 ,ODDE,则 DE 为圆 O 的切线;(2)解:r=2 ,AB=AC=2r=4,BE=1,AE=ABBE=3,ODAB,FOD FAE, = = ,设 CF=x,则有 OF=x+2,AF=x+4, = ,解得:x=2,AF=6,在 RtAEF 中,AEF=90,则 cosA= = 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,以及解直角三角形,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键23 (7 分)在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y=ax22ax+1(a 0)的

35、对称轴为x=b,点 A( 2,m)在直线 y=x+3 上(1)求 m,b 的值;(2)若点 D(3,2)在二次函数 y=ax22ax+1(a0)上,求 a 的值;(3)当二次函数 y=ax22ax+1(a0)与直线 y=x+3 相交于两点时,设左侧的交点为P(x 1,y 1) ,若 3x 11 ,求 a 的取值范围【分析】 (1)根据二次函数的性质,可得 b= =1将 A(2,m)代入 y=x+3,即可求出 m=2+3=5;(2)将 D(3,2)代入 y=ax22ax+1,即可求出 a 的值;(3)把 x=3 代入 y=x+3,求出 y=6,把(3,6)代入 y=ax22ax+1,求出 a=

36、再把x=1 代入 y=x+3,求出 y=4,把( 1,4)代入 y=ax22ax+1,求出 a=1进而得出 a 的取值范围【解答】解:(1)二次函数 y=ax22ax+1(a0)的对称轴为 x=b,b= =1点 A(2 ,m)在直线 y=x+3 上,m=2+3=5 ;(2)点 D(3,2)在二次函数 y=ax22ax+1(a0)上,2=a3 22a3+1,a= ;(3)当 x=3 时,y= x+3=6,当(3,6)在 y=ax22ax+1(a0)上时,6=a (3) 22a( 3)+1,a= 又当 x=1 时, y=x+3=4,当(1,4)在 y=ax22ax+1(a0)上时,4=a (1)

37、22a( 1)+1,a=1 a1 【点评】本题考查了二次函数、一次函数的性质,函数图象上点的坐标特征,掌握点在直线上,则点的坐标满足函数的解析式是解题的关键24 (7 分)如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 为 AD 边中点,点 F 为 BC 边中点;点 G,H为 AB 边三等分点,I, J 为 CD 边三等分点小瑞分别用不同的方式连接矩形对边上的点,如图 2,图 3 所示,那么图 2 中四边形 GKLH 的面积与图 3 中四边形 KPOL 的面积相等吗?(1)小瑞的探究过程如下:在图 2 中,小瑞发现,S 四边形 GKLH= S 四边形 ABCD;在图 3 中,小瑞对四边形 KPOL 面

38、积的探究如下,请你将小瑞的思路填写完整;设 SDEP =a,S AKG =bECAFDEPDAK,且相似比为 1:2,得到 SDAK =4aGDBI , AGK ABM,且相似比为 1:3,得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD,S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b, S 四边形 ABCD= 42 b ,S 四边形 KPOL= 6 bS 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD,则 S 四边形 KPOL S 四边形 GKLH(填写“”“”或“”)(2)小瑞又按照图 4 的方式连接矩形 ABCD 对边

39、上的点,则 S 四边形 ANML= S 四边形ABCD【分析】 (1)根据平行线的性质、相似三角形的性质即可解决问题;(2)如图 4 中,延长 CE 交 BA 的延长线于 T,连接 DN,设 SAGL =a,S AEN =b想办法证明 S 四边形 ANML=4b,S 四边形 ABCD=20b,即可解决问题;【解答】解:(1)小瑞的探究过程如下:在图 2 中,小瑞发现,S 四边形 GKLH= S 四边形ABCD;在图 3 中,小瑞对四边形 KPOL 面积的探究如下,请你将小瑞的思路填写完整;设 SDEP =a,S AKG =bECAFDEPDAK,且相似比为 1:2,得到 SDAK =4aGDB

40、I , AGK ABM,且相似比为 1:3,得到 SABM =9b又S DAG =4a+b= S 四边形 ABCD,S ABF=9b+a= S 四边形 ABCDS 四边形 ABCD=24a+6b=36b+4aa= b,S 四边形 ABCD=42b, 四边形 KPOL=6bS 四边形 KPOL= S 四边形 ABCD,则 S 四边形 KPOLS 四边形 GKLH故答案为 , ,42,6, ,(2)如图 4 中,延长 CE 交 BA 的延长线于 T,连接 DN,设 SAGL =a,S AEN =bGL PH,AGLAHP ,相似比为 1:2,得到 SAHP =4a,ATCD,T=ECD ,AET=

41、CED,AE=ED,AETDEC,AT=CD,ATCJ, = = , = ,可得 SDNJ = b,S ABF =4a+ b= S 四边形 ABCD,S ADJ = b= S 四边形 ABCD,16a+ b=20b,a= b,S 四边形 ANML= (20b8a b)=4b,S 四边形 ABCD=20b,S 四边形 ANML= S 四边形 ABCD故答案为 【点评】本题考查相似形综合题、矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题25 (8 分)点 P 的“d 值”定义如下:若

42、点 Q 为圆上任意一点,线段 PQ 长度的最大值与最小值之差即为点 P 的“d 值” ,记为 dP特别的,当点 P,Q 重合时,线段 PQ 的长度为 0当O 的半径为 2 时:(1)若点 C( ,0) ,D(3,4) ,则 dc= 1 ,d p= 4 ;(2)若在直线 y=2x+2 上存在点 P,使得 dP=2,求出点 P 的横坐标;(3)直线 y= x+b(b0)与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B 若线段 AB 上存在点 P,使得 2d P 3,请你直接写出 b 的取值范围【分析】 (1)圆内的点的 d 值=这个点到圆心距离的 2 倍,圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径,由此即可解决问题;

43、(2)根据题意,满足 dp=2 的点位于O 内部,且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上,可以假设 P(a ,2a+2) ,根据 PO=1,构建方程即可解决问题;(3)根据题意,满足 2d P3 的点位于点 O 为圆心外径为 ,内径为 1 的圆环内,分不清楚两圆与线段 AB 相切时 b 的值即可解决问题;【解答】解:(1)根据题意可得圆内的点的 d 值= 这个点到圆心距离的 2 倍,圆上或圆外的点的 d 值=圆的直径,所以 dc=1,d p=4;故答案为 1,4;(2)根据题意,满足 dp=2 的点位于O 内部,且在以 O 为圆心半径为 1 的圆上,点 P 在直线 y=2x+2 上,可以假设 P(a,2a+2) ,PO=1,a 2+(2a +2) 2=1,