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人教版八年级数学上册《第12章 全等三角形证明》经典题(含答案)

1、1. 已知:AB=4 ,AC=2 ,D 是 BC 中点,111749AD 是整数,求 ADADB C解:延长 AD 到 E,使 AD=DE D 是 BC 中点 BD=DC 在ACD 和BDE 中AD=DE BDE=ADC BD=DC ACD BDE AC=BE=2 在ABE 中 AB-BEAEAB+BE AB=4 即 4-22AD4+2 1AD 3 AD=22. 已知:D 是 AB 中点,ACB=90 ,求证: 2CABDABC延长 CD 与 P,使 D 为 CP 中点。连接 AP,BPDP=DC,DA=DB ACBP 为平行四边形 又ACB=90 平行四边形 ACBP 为矩形AB=CP=1/

2、2AB3. 已知:BC=DE,B= E ,C= D,F 是 CD 中点,求证:1=2ABC DEF21证明:连接 BF 和 EF BC=ED,CF=DF,BCF= EDF 三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边) BF=EF,CBF=DEF 连接 BE 在三角形 BEF 中,BF=EF EBF=BEF。 ABC=AED 。 ABE=AEB。 AB=AE 。在三角形 ABF 和三角形 AEF 中AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+ BEF=AEF 三角形 ABF 和三角形AEF 全等。 BAF=EAF ( 1=2)。4. 已知:1=2,CD=DE,EF/AB ,求证:E

3、F=ACBACDF21E过 C 作 CGEF 交 AD 的延长线于点 G CGEF,可得,EFD CGDDE DC FDEGDC(对顶角)EFD CGDEF CG CGDEFD 又 EFAB EFD1 1=2CGD2 AGC 为等腰三角形,AC CG 又 EFCG EFAC5. 已知:AD 平分BAC,AC=AB+BD,求证:B=2C证明:延长 AB 取点 E,使 AEAC,连接 DEAD 平分BACEAD CAD AE AC,ADADAED ACD (SAS)ECACAB+BDAEAB+BD AEAB+BEBD BEBDEEABCE+BDEABC2EABC2C6. 已知:AC 平分BAD,C

4、EAB,B+D=180,求证:AE=AD+BE证明: 在 AE 上取 F,使 EFEB ,连接 CF CEABCEB CEF90 EBEF,CECE, CEBCEF BCFE BD 180,CFECFA 180DCFA AC 平分BAD DAC FAC ACAC ADC AFC(SAS )ADAF AEAF FEADBE7. 如图,四边形 ABCD 中,ABDC,BE 、CE 分别平分 ABC、BCD,且点 E 在 AD上。求证:BC=AB+DC。在 BC 上截取 BF=AB,连接 EFBE 平分ABCABE=FBE 又BE=BEABE FBE(SAS)A= BFEAB/CD A+D=180B

5、FE+CFE=180D= CFE 又DCE=FCE CE 平分BCD CE=CEDCEFCE(AAS)CD=CFBC=BF+CF=AB+CD8. 已知:AAB/ED,EAB= BDE,AF=CD,EF=BC ,求证:F=CDCBAFEABED,得:EAB+ AED=BDE+ABD=180 度,EAB=BDE,AED=ABD,四边形 ABDE 是平行四边形。得:AE=BD,AF=CD,EF=BC,三角形 AEF 全等于三角形 DBC,F=C。9. 已知:AB=CD,A= D,求证:B=CAB CD证明:设线段 AB,CD 所在的直线交于 E, (当 ADBC 时,E 点是射线 AB,DC 的交点

6、) 。则: AED 是等腰三角形。 AE=DE 而 AB=CDBE=CE ( 等量加等量,或等量减等量)BEC 是等腰三角形 B=C.10. P 是BAC 平分线 AD 上一点, ACAB,求证:PC-PBAC-ABP DACB在 AC 上取点 E,使 AEAB。AEAB APAP EAP BAE,EAP BAPPEPB 。PCECPE PC(ACAE)PBPCPBACAB 。11. 已知ABC=3C,1=2,BEAE ,求证:AC-AB=2BE证明:在 AC 上取一点 D,使得角 DBC=角 CABC=3C ABD=ABC-DBC=3C-C=2C;ADB=C+ DBC=2C;AB=ADAC

7、AB =AC-AD=CD=BD 在等腰三角形 ABD 中,AE 是角 BAD 的角平分线,AE 垂直 BDBE AE点 E 一定在直线 BD 上,在等腰三角形 ABD 中,AB=AD,AE垂直 BD点 E 也是 BD 的中点BD=2BEBD=CD=AC-ABAC-AB=2BE12. 已知,E 是 AB 中点,AF=BD,BD=5 ,AC=7,求 DCFA EDCB作 AGBD 交 DE 延长线于 GAGE 全等 BDE AG=BD=5AGFCDF AF=AG=5DC=CF=2 13. 如图,在ABC 中,BD=DC,1=2,求证:AD BC解:延长 AD 至 BC 于点 E,BD=DC BDC

8、 是等腰三角形DBC=DCB 又1= 2 DBC+1=DCB+2即ABC= ACB ABC 是等腰三角形 AB=AC 在ABD 和ACD 中 AB=AC 1=2 BD=DCABD 和ACD 是全等三角形(边角边)BAD=CAD AE 是 ABC 的中垂线AEBC ADBC14. 如图,OM 平分POQ , MAOP ,MBOQ,A 、B 为垂足,AB 交 OM 于点 N求证:OAB=OBA证明:OM 平分POQ POMQOMMAOP,MBOQMAOMBO 90OMOM AOMBOM (AAS)OAOB ONONAONBON (SAS)OAB=OBA ,ONA=ONBONA+ONB180 ONA

9、ONB 90OMAB15. (5 分)如图,已知 AD BC,PAB 的平分线与CBA 的平分线相交于 E,CE 的连线交 AP 于 D求证: AD+BC=AB做 BE 的延长线,与 AP 相交于 F 点,PA/BCPAB+CBA=180,又,AE,BE 均为PAB 和CBA 的角平分线EAB+EBA=90 AEB=90,EAB 为直角三角形在三角形 ABF 中,AE BF,且 AE 为FAB 的角平分线三角形 FAB 为等腰三角形,AB=AF,BE=EF在三角形 DEF 与三角形 BEC 中,EBC=DFE,且 BE=EF, DEF=CEB,三角形 DEF 与三角形 BEC 为全等三角形,D

10、F=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC16.如图:DF=CE,AD=BC,D=C。求证:AEDBFC。PEDCBAFED CBA证明:DF=CE,DF-EF=CE-EF,即 DE=CF,在AED 和BFC 中, AD=BC, D=C ,DE=CF AEDBFC(SAS)17.如图:AE、BC 交于点 M,F 点在 AM 上,BECF,BE=CF。求证:AM 是ABC 的中线。MFE CBA证明:BECFE=CFM,EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM 是ABC 的中线.18.(10 分)如图:在ABC 中,BA=BC,D 是 AC 的中点。求证:BDAC。DCBAABD 和B

11、CD 的三条边都相等ABD=BCDADB=CDADB=CDB=90BDAC19.(10 分)AB=AC,DB=DC,F 是 AD 的延长线上的一点。求证:BF=CFFDCBA在ABD 与ACD 中 AB=AC BD=DC AD=AD ABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF 与FDC 中 BD=DCBDF=FDC DF=DF FBDFCD BF=FC20.(12 分)如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。FEDCBAAB=DC AE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FBABE= CDFDCB=ABF AB=DC BF=CE ABF=CDE AF=DE21. 公

12、园里有一条“Z”字形道路 ABCD,如图所示,其中 ABCD,在 AB,CD,BC 三段路旁各有一只小石凳 E,F,M,且 BECF,M 在 BC 的中点,试说明三只石凳E,F ,M 恰好在一条直线上.证明:连接 EFABCDB=CM 是 BC 中点BM=CM 在BEM 和 CFM 中BE=CFB=C BM=CMBEMCFM(SAS)CF=BE22. 已知:点 A、F 、E、C 在同一条直线上, AFCE ,BEDF,BEDF求证:ABECDFAF=CE,FE=EF.AE=CF.DF/BE,AEB=CFD(两直线平行,内错角相等)BE=DF:ABECDF(SAS) 23. 已知:如图所示,AB

13、AD,BCDC,E、F 分别是 DC、BC 的中点,求证: AEAF 。 DBCcAFE连接 BD;AB=AD BC=D ADB=ABD CDB=ABD;两角相加,ADC= ABC;BC=DC EF 是中点DE=BF;AB=AD DE=BFADC=ABCAE=AF。24. 如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AC 上的一点,1=2,3=4,求证: 5=6 65 4321 EDCBA证明:在ADC,ABC 中AC=AC,BAC=DAC,BCA=DCAADCABC(两角加一边)AB=AD,BC=CD在DEC 与BEC 中BCA=DCA,CE=CE,BC=CDDECBEC(两边夹一角)DEC=BE

14、C25. 已 知 AB DE, BC EF, D, C 在 AF 上 , 且 AD CF, 求 证 : ABC DEFAD=DFAC=DFAB/DEA=EDF 又BC/EFF=BCAABCDEF(ASA) 26. 已知:如图,AB=AC,BDAC,CE AB,垂足分别为 D、E,BD、CE 相交于点 F,求证:BE=CDACBDEF证明:BDACBDC=90CE ABBEC=90 BDC=BEC=90AB=ACDCB=EBC BC=BCRt BDC Rt BEC(AAS)BE=CD27. 如图,在ABC 中,AD 为BAC 的平分线,DE AB 于 E,DF AC 于 F。求证:DE=DFAE

15、B D CF证明:AD 是BAC 的平分线EAD= FAD DE AB,DFACBFD=CFD=90AED 与AFD=90在AED 与AFD 中EAD=FAD AD=AD AED= AFDAED AFD(AAS) AE=AF 在AEO 与AFO 中EAO=FAO AO=AO AE=AFAEOAFO( SAS)AOE=AOF=90 ADEF28. 已知:如图, AC BC 于 C , DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE若 AB = 5 ,求 AD 的长?DCBAEADABBAC=ADE 又ACBC 于 C,DE AC 于 E根据三角形角度之和等于180度ABC= DAE

16、BC=AE,ABCDAE(ASA)AD=AB=529.如图所示,已知 AEAB,AFAC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)ECBF(1)AEAB,AFAC,BAE=CAF=90,AEBMCFBAE+BAC=CAF+BAC,即EAC=BAF,在ABF 和AEC 中,AE=AB,EAC=BAF,AF=AC,ABFAEC(SAS) ,EC=BF;(2)如图,根据(1) ,ABFAEC,AEC=ABF,AEAB,BAE=90,AEC+ADE=90,ADE=BDM(对顶角相等) ,ABF+BDM=90,在BDM 中,BMD=180-ABF-BDM=180-90=90,ECBF 30. 如图:BEAC,CFAB,BM=AC,CN=AB 。求证:(1)AM=AN;(2)AMAN。FB CAMNE1 234证明:(1)BEAC,CFAB ABM+BAC=90,ACN+BAC=90 ABM=ACNBM=AC,CN=AB ABM NACAM=AN(2)ABMNACBAM=NN+ BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN