1、2017-2018 学年江苏省淮安市洪泽县八年级（上）期末数学试卷一、选择题每小题 3 分，共 30 分）1下列图形中：线段；有一个角是 30的直角三角形；角；等腰三角形，其中一定是轴对称图形有（ ）个A1 个 B2 个 C3 个 D4 个2下列运算正确的是（ ）A =2 B|3|=3 C =2 D =33下列说法正确的是（ ）A面积相等的两个三角形全等B全等三角形的面积一定相等C形状相同的两个三角形全等D两个等边三角形一定全等4一次函数 y=5x+3 的图象经过的象限是（ ）A一，二，三 B二，三，四 C一，二，四 D一，三，四5在下列实数： 、 ， 、 、 中无理数的个数是（ ）A2 B3
2、 C4 D56如图所示，在ABC 中， A=B=30，CD 平分ACB ，M、N 分别是 BC、AC 的中点图中等于 60的角有（ ）个A3 B4 C5 D67如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC 的条件是（ ）AD= C ，BAD=ABC BBAD=ABC ，ABD=BACC BD=AC，BAD=ABC DAD=BC，BD=AC8某人一天饮水 1890 毫升，将 1890 精确到 1000 后可以表示为（ ）A0.189 104 B210 3 C1.8910 3 D1.9 1039一天李师傅骑车上班途中因车发生故除，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的
3、情景，下列说法中错误的是（ ）A李师傅上班处距他家 200 米B李师傅路上耗时 20 分钟C修车后李师傅骑车速度是修车前的 2 倍D李师傅修车用了 5 分钟10在平面直角坐标系中，等腰ABC 的顶点 A、B 的坐标分别为（0，0） 、 （2，2） ，若顶点 C 落在坐标轴上，则符合条件的点 C 有（ ）个A5 B6 C7 D8二、填空题（每小题 3 分，共 30 分11已知一次函数 y=mx4，当 时，y 随 x 的增大而减小12若一个数的立方根是3，则这个数是 13等腰三角形的一个外角是 80，则其底角是 度14将 y=2x3 的图象向上平移 2 个单位长度得到的直线表达式为 15若 +（3
4、y） 2=0，那么 xy= 16汽车油箱内存油 45L，每行驶 100km 耗油 10L，行驶过程中油箱内剩余油量 yL 与行驶路程 skm 的函数关系式是 17如图，已知：AB=AC，D 是 BC 边的中点，则1+C= 度18如图，AB=AC=AD，若 ADBC，C=78 ，D= 19如图，已知函数 y=2x+b 和 y=ax3 的图象交于点 P（2， 5） ，则根据图象可得不等式 2x+bax3 的解集是 20如图，在ABC 中， C=90，AC=6，AB=10 ，现分别以 A、B 为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AB、BC 于点 D、E，则CE
5、 的长为 三、解答题（共 60 分）21 （8 分）计算：（1）计算： （2）求式中的 x 的值：（ x+3） 2=1622 （8 分）ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，其中 A（ 3，5） ，B（5，2） ，C（1，3） ，直线 l 经过点（ 0，1） ，并且与 x 轴平行，ABC与ABC 关于线 1 对称（1）画出ABC ，并写出ABC 三个顶点的坐标： ；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点 P（a，b ）关于直线 l 的对称点 P的坐标： ；（3）若直线 l经过点（0，m） ，并且与 x 轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线 1的对称点 Q的坐标： 23 （
6、8 分）如图，线段 AC 交 BD 于 O，点 E，F 在线段 AC 上，DFOBEO，且AF=CE，连接 AB、CD，求证：AB=CD24 （8 分）一次函数的图象经过点 A（2，4）和 B（1， 5）两点（1）求出该一次函数的表达式；（2）判断（5，4）是否在这个函数的图象上？（3）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积25 （8 分）已知，如图，ABC= ADC=90 ，点 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AC=10，BD=6 （1）求证：EFBD ；（2）求 EF 的长26 （8 分）某蔬菜种植户，拟投入 a 元种植蔬菜，现有两种设想： 一年种植甲种、乙种两季蔬菜，先种植甲种蔬菜，
7、出售后可获利 10%，再用本金和利润投入乙种蔬菜的种植，最后又可获得 15%的利润；如果种植丙种蔬菜，一年只能收获一次，利润为 30%，但蔬菜生长期间要付出 7000 元的管理费（1）分别写出两种设想的利润 y1 和 y2 元与投入金额间的函数表达式；（2）请你根据该种植户投入资金情况，定出可以多获利的方案27 （12 分）将纸片ABC 沿 AD 折叠，使点 C 刚好落在 AB 边上的 E 处，展开如图 1操作观察（1）如图 2，作 DFAC，垂足为 F，且 DF=3，AC=6，S ABC =21，则 AB= ；理解应用（2）如图 3，设 G 为 AC 上一点（与 A、C ）不重合，P 是 A
8、D 上一个动点，连接 PG、PC试说明： PG+PC 与 EG 大小关系；连接 EC，若 BAC=60，G 为 AC 中点，且 AC=6，求 EC 长拓展延伸（3）请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图 4，在平面直角坐标系中有 A（1，4） ，B （3，2） ，点 P 是 x 轴上的动点，连接AP、BP，当 APBP 的值最大时，请在图中标出 P 点的位置，并直接写出此时 P 点的坐标为 ，APBP 的最大值为 2017-2018 学年江苏省淮安市洪泽县八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题每小题 3 分，共 30 分）1下列图形中：线段；有一个角是 30的直角三角形；角；等
9、腰三角形，其中一定是轴对称图形有（ ）个A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据轴对称图形的概念对每个图形分析判断即可得解【解答】解：线段；有一个角是 30的直角三角形； 角；等腰三角形，其中一定是轴对称图形是：线段；角；等腰三角形共 3 个故选：C【点评】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合2下列运算正确的是（ ）A =2 B|3|=3 C =2 D =3【分析】根据算术平方根和立方根的定义、绝对值的性质逐一计算可得【解答】解：A、 =2，此选项计算正确；B、|3|=3，此选项计算错误；C、 =2，此选项计算错误；D、 不能进一步计算，此选
10、项错误；故选：A【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义、绝对值性质3下列说法正确的是（ ）A面积相等的两个三角形全等B全等三角形的面积一定相等C形状相同的两个三角形全等D两个等边三角形一定全等【分析】根据全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可【解答】解：A、面积相等的两个三角形全等，说法错误；B、全等三角形的面积一定相等，说法正确；C、形状相同的两个三角形全等，说法错误；D、两个等边三角形一定全等，说法错误；故选：B【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的定义4一次函数 y=5x+3 的图象经过的象限是（ ）A一，二，三
11、 B二，三，四 C一，二，四 D一，三，四【分析】根据直线解析式知：k0，b0由一次函数的性质可得出答案【解答】解：y=5x+3k=50，b=30直线经过第一、二、四象限故选：C【点评】能够根据 k，b 的符号正确判断直线所经过的象限5在下列实数： 、 ， 、 、 中无理数的个数是（ ）A2 B3 C4 D5【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数是无理数进行选择即可【解答】解：无理数有： ， ，共 2 个，故选：A【点评】本题考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键6如图所示，在ABC 中， A=B=30，CD 平分ACB ，M、N 分别是 BC、AC 的中点图中等于 60的角有（ ）个A
12、3 B4 C5 D6【分析】由题意可得ABC 是等腰三角形，且 M、N 分别是 BC、AC 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求 BM=MD=MC，CN=AN=DN，可证CMD，CND 是等边三角形，即可求等于 60的角的个数【解答】解：B=A=30BC=AC又CD 平分BCACDABCDAB，M、N 分别是 BC、AC 的中点BM=MC=MD，DN=CN=NAB= MDB=30，DN=NA=30CMD= B+MDB=60，CND=A +NDA=60MC=MD，CMD=60，MCD= MDC=60，CN=DN，CND=60NCD= CDN=60等于 60的角有 6 个故选：D【
13、点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练这些性质解决问题是本题的关键7如图所示，在下列条件中，不能判断ABDBAC 的条件是（ ）AD= C ，BAD=ABC BBAD=ABC ，ABD=BACC BD=AC，BAD=ABC DAD=BC，BD=AC【分析】本题已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，必须是这边和公共边的夹角对应相等，只有符合以上条件，才能根据三角形全等判定定理得出结论【解答】解：A、符合 AAS，能判断ABDBAC；B、符合 ASA，能判断ABDBAC ；C、符合 SSA，不能判断A
14、BDBAC ；D、符合 SSS，能判断 ABDBAC故选：C【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等判定定理中，最易出错的是“边角边” 定理，这里强调的是夹角，不是任意一对角8某人一天饮水 1890 毫升，将 1890 精确到 1000 后可以表示为（ ）A0.189 104 B210 3 C1.8910 3 D1.9 103【分析】先用科学记数法表示，然后根据近似数的精确度求解【解答】解：1890210 3（精确到 1000） 故选：B【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为 0 的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数
15、字9一天李师傅骑车上班途中因车发生故除，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（ ）A李师傅上班处距他家 200 米B李师傅路上耗时 20 分钟C修车后李师傅骑车速度是修车前的 2 倍D李师傅修车用了 5 分钟【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断【解答】解：A、李师傅上班处距他家 2000 米，此选项错误；B、李师傅路上耗时 20 分钟，此选项正确；C、修车后李师傅骑车速度是 =200 米/分钟，修车前速度为 =100 米/分钟，修车后李师傅骑车速度是修车前的 2 倍，此选项正确；D、李师傅修车用了 5 分钟，此选项正
16、确；故选：A【点评】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势10在平面直角坐标系中，等腰ABC 的顶点 A、B 的坐标分别为（0，0） 、 （2，2） ，若顶点 C 落在坐标轴上，则符合条件的点 C 有（ ）个A5 B6 C7 D8【分析】要使ABC 是等腰三角形，可分三种情况（ 若 AC=AB，若 BC=BA，若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题【解答】解：若 AC=AB，则以点 A 为圆心，AB 为半径画圆，与坐标轴有 4 个交点；若 BC=BA，则以点 B 为圆心，BA 为半径画圆，与坐标轴有 2 个交点（A 点除外
17、） ；若 CA=CB，则点 C 在 AB 的垂直平分线上，A（0，0 ） ， B（2，2 ） ，AB 的垂直平分线与坐标轴有 2 个交点综上所述：符合条件的点 C 的个数有 8 个故选：D【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定、圆的定义、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键二、填空题（每小题 3 分，共 30 分11已知一次函数 y=mx4，当 m0 时，y 随 x 的增大而减小【分析】根据 y 随 x 的增大而减小判断出 m 的符号，进而可得出结论【解答】解：y 随 x 的增大而减小，m0，故答案为：m0【点评】本题考查的是一次函数的性质
18、，熟知一次函数 y=kx+b（k 0）中，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小是解答此题的关键12若一个数的立方根是3，则这个数是 27 【分析】根据立方根的定义解答即可【解答】解：（3） 3=27，27 的立方根是3这个数是27故答案为：27【点评】本题主要考查的是立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键13等腰三角形的一个外角是 80，则其底角是 40 度【分析】首先判断出与 80角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算【解答】解：与 80角相邻的内角度数为 100；当 100角是底角时，100+100 1
19、80，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；当 100角是顶角时，底角的度数=802=40；故此等腰三角形的底角为 40故填 40【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键14将 y=2x3 的图象向上平移 2 个单位长度得到的直线表达式为 y=2x1 【分析】根据“ 上加下减，左加右减” 的原则进行解答即可【解答】解：由“ 上加下减” 的原则可知，将函数 y=2x3 的图象向上平移 2 个单位所得函数的解析式为 y=2x3+2，即 y=2x1故答案为：y=2x 1【点评】本题考查的是
20、一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键15若 +（3y） 2=0，那么 xy= 8 【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解【解答】解： +（3 y） 2=0，x2=0 且 3y=0，则 x=2、y=3 ，x y=23=8，故答案为：8【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为 016汽车油箱内存油 45L，每行驶 100km 耗油 10L，行驶过程中油箱内剩余油量 yL 与行驶路程 skm 的函数关系式是 y=450.1s 【分析】根据每行驶 100km 耗油 10L，可得单位耗油量，根
21、据单位耗油量乘以路程，可得行驶 s 千米的耗油量，根据总油量减去耗油量，可得剩余油量【解答】解：单位耗油量 10100=0.1L，行驶 s 千米的耗油量 0.1s，y=450.1s，故答案为：y=450.1s【点评】本题考查了函数关系式，先求出单位耗油量，再求出耗油量，最后求出剩余油量17如图，已知：AB=AC，D 是 BC 边的中点，则1+C= 90 度【分析】等腰三角形的两个底角相等，所以B=C，又因为等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线合一，所以 ADBC ， 1+B=90 ，所以1+C=90【解答】解：AB=AC，B= C，D 是 BC 边的中点，ADBC，1+B=90，1
22、+C=90故答案为：90【点评】本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形底边上的中线、高线以及顶角的平分线三线合一的熟练应用是正确解答本题的关键18如图，AB=AC=AD，若 ADBC，C=78 ，D= 39 【分析】首先根据 AB=AC=AD，可得C=ABC，D=ABD，ABC= CBD +D；然后根据 AD BC，可得 CBD=D，据此判断出 ABC=2D，再根据C=ABC ，判断出C=2D ，进而解答即可【解答】解：AB=AC=AD，C=ABC，D= ABD，ABC=CBD+D，ADBC，CBD=D，ABC=D +D=2D，又C=ABC，C=2DC=78，D=39，故答案为：39【点评】此
23、题主要考查了等腰三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合19如图，已知函数 y=2x+b 和 y=ax3 的图象交于点 P（2， 5） ，则根据图象可得不等式 2x+bax3 的解集是 x2 【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案【解答】解：函数 y=2x+b 和 y=ax3 的图象交于点 P（2， 5） ，则根据图象可得不等式 2x+bax 3 的解集是 x2，故答案为：x2【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力，题
24、型较好，难度不大20如图，在ABC 中， C=90，AC=6，AB=10 ，现分别以 A、B 为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，分别交 AB、BC 于点 D、E，则CE 的长为 【分析】连接 AE，如图，利用作法得到 MN 垂直平分 AB，则 EA=EB，再利用勾股定理计算出 BC=8，设 CE=x，则 BE=AE=8x，利用勾股定理得到 x2+62=（8x） 2，然后解方程即可【解答】解：连接 AE，如图，由作法得 MN 垂直平分 AB，则 EA=EB，在 RtABC 中，BC= =8，设 CE=x，则 BE=AE=8x，在 RtACE 中，x 2+62=（
25、8 x） 2，解得 x= ，即 CE 的长为 故答案为 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线） 三、解答题（共 60 分）21 （8 分）计算：（1）计算： （2）求式中的 x 的值：（ x+3） 2=16【分析】 （1）直接利用二次根式以及立方根的性质化简得出答案；（2）直接利用平方根的定义计算得出答案【解答】解：（1） =52= ；（2） （x+3） 2=16则 x+3=4，解得：x 1=7，x 2=1【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根，正确把握相关定义是解题关键2
26、2 （8 分）ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，其中 A（ 3，5） ，B（5，2） ，C（1，3） ，直线 l 经过点（ 0，1） ，并且与 x 轴平行，ABC与ABC 关于线 1 对称（1）画出ABC ，并写出ABC 三个顶点的坐标： A（3， 3） ，B （ 5，0） ，C（ 1， 1） ；（2）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点 P（a，b ）关于直线 l 的对称点 P的坐标： （a，2b） ；（3）若直线 l经过点（0，m） ，并且与 x 轴平行，根据上面研究的经验，写出点Q（c，d）关于直线 1的对称点 Q的坐标： （c ， 2md） 【分析】 （1）分别作出各点关于直线 l
27、 的对称点，再顺次连接即可；（2）根据（1）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论；（3）根据（2）中各对应点坐标之间的关系即可得出结论【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求，A（3 ，3） ，B（5，0） ，C（1，1） ；故答案为：A（3 ，3） ，B（ 5，0） ，C（ 1， 1） ；（2）由题可得，点 P的横坐标为 a，设点 P的纵坐标为 y，则 =1，解得 y=2b，点 P（a ，b）关于直线 l 的对称点 P的坐标为（a，2b） ，故答案为：（a，2b） ；（3）由题可得，点 Q的横坐标为 c，设点 Q的纵坐标为 y，则 =m，解得 y=2md，点 Q（c ， d）关于直线 1的
28、对称点 Q的坐标为（c，2m d） 故答案为：（c，2md） 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键23 （8 分）如图，线段 AC 交 BD 于 O，点 E，F 在线段 AC 上，DFOBEO，且AF=CE，连接 AB、CD，求证：AB=CD【分析】先由BEODFO，即可得出 OF=OE，DO=BO，进而得到 AO=CO，再证明ABOCDO，即可得到 AB=CD【解答】证明：BEODFO，OF=OE，DO=BO，又AF=CE，AO=CO，在ABO 和CDO 中，ABOCDO（SAS） ，AB=CD【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的
29、关键是熟练掌握全等三角形的判定24 （8 分）一次函数的图象经过点 A（2，4）和 B（1， 5）两点（1）求出该一次函数的表达式；（2）判断（5，4）是否在这个函数的图象上？（3）求出该函数图象与坐标轴围成的三角形面积【分析】 （1）利用待定系数法即可得出结论；（2）将 x=5 代入一次函数表达式中求出 y 和 4 对比即可得出结论；（3）先确定出直线与 x， y 轴的交点，最后用三角形的面积公式即可得出结论【解答】解：（1）设一次函数的解析式为 y=kx+b，一次函数的图象经过点 A（2，4）和 B（1， 5）两点 ， ，一次函数的表达式为 y=3x2；（2）由（1）知，一次函数的表达式为
30、 y=3x2，将 x=5 代入此函数表达式中得，y=3 （ 5）2=174，（5，4 ）不在这个函数的图象上；（3）由（1）知，一次函数的表达式为 y=3x2，令 x=0，则 y=2，令 x=0，则 3x2=0，x= ，该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 2 = 【点评】此题主要考查了待定系数法，一次函数图形上点的特点，三角形的面积公式，求出直线表达式是解本题的关键25 （8 分）已知，如图，ABC= ADC=90 ，点 E、F 分别是 AC、BD 的中点，AC=10，BD=6 （1）求证：EFBD ；（2）求 EF 的长【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求 BE=
31、DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得 BE=5，BF=3，根据勾股定理可求 EF 的长【解答】证明：（1）连接 BE，DEABC=ADC=90，点 E 是 AC 的中点，BE= AC，DE= ACBE=DE点 F 是 BD 的中点，BE=DEEF BD（2）BE= ACBE=5点 F 是 BD 的中点BF=DF=3在 RtBEF 中，EF= = =4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键26 （8 分）某蔬菜种植户，拟投入 a 元种植蔬菜，现有两种设想： 一年种植甲种、乙种
32、两季蔬菜，先种植甲种蔬菜，出售后可获利 10%，再用本金和利润投入乙种蔬菜的种植，最后又可获得 15%的利润；如果种植丙种蔬菜，一年只能收获一次，利润为 30%，但蔬菜生长期间要付出 7000 元的管理费（1）分别写出两种设想的利润 y1 和 y2 元与投入金额间的函数表达式；（2）请你根据该种植户投入资金情况，定出可以多获利的方案【分析】 （1）根据利润与投入金额的关系列出解析式即可；（2）分三种情况分析获利的方案即可【解答】解：（1）根据题意可得：y 1=a（1+10% ） （1+15% ）a=0.265a，y 2=a（1+30%）a7000=0.3a7000，（2）当 y1=y2 时，0
33、.265a=0.3a 7000，解得：a=200000 ，当 a=200000 元时，两种设想获利相同；当 a200000 ，第种设想获利大；当 a200000 ，第种设想获利大【点评】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键27 （12 分）将纸片ABC 沿 AD 折叠，使点 C 刚好落在 AB 边上的 E 处，展开如图 1操作观察（1）如图 2，作 DFAC，垂足为 F，且 DF=3，AC=6，S ABC =21，则 AB= 8 ；理解应用（2）如图 3，设 G 为 AC 上一点（与 A、C ）不重合，P 是 AD 上一个动点，连接 PG、PC试说明： PG+PC 与 EG 大小关系；
34、连接 EC，若 BAC=60，G 为 AC 中点，且 AC=6，求 EC 长拓展延伸（3）请根据前面的解题经验，解决下面问题：如图 4，在平面直角坐标系中有 A（1，4） ，B （3，2） ，点 P 是 x 轴上的动点，连接AP、BP，当 APBP 的值最大时，请在图中标出 P 点的位置，并直接写出此时 P 点的坐标为 （5，0） ，APBP 的最大值为 2 【分析】 【操作观察】根据折叠的特性可知折痕 AD 为BAC 的角平分线，由此可得出点 D 到 AB 和点 D 到 AC 的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论；【理解运用】连接 CM、PE、CE ，根据三角形两边之和大于第三边得
35、出当点 P 与点 M重合时，PF +PC 值最小，再根据折叠的性质得出 AE=AC，结合BAC=60即可得出AEC 为等边三角形，由此即可解决问题；【拓展提高】作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB、PB，延长 AB交 x 轴于点 P，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点 P 和 P点重合时，APBP 的值最大，再由点 B 的坐标可得出点 B的坐标，结合点 A、B 的坐标即可求出直线 AB的解析式，令其 y=0 求出 x 即可找出点 P的坐标，由此即可得出结论【解答】解：【操作观察】解：将纸片ABC 沿 AD 折叠，使 C 点刚好落在 AB 边上的 E 处，AD 为BAC 的角平分线
36、，点 D 到 AB 和点 D 到 AC 的距离相等S ABC = ABDF+ ACDF=21， AB3+ 63=21，AB=8故答案为：8【理解运用】结论：PG+PC EG理由：连接 PE，如图 3 所示将纸片ABC 沿 AD 折叠，使 C 点刚好落在 AB 边上的 E 处，AD 为BAC 的角平分线，AE=AC ，PE=PC，在PEG 中，PE +PGEG，PC+PGEG 连接 EC，如图 3 中AE=AC，BAC=60 ，AEC 为等边三角形，又AC=6，EC=AC=6【拓展提高】解：作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB、PB，延长 AB交 x 轴于点P，如图 4 所示点 B 和
37、 B关于 x 轴对称，PB=PB，PB=PB，在APB中，ABAP PB，APBP=APBP=ABAPPB=AP PB，当点 P 与点 P重合时，APBP 最大设直线 AB的解析式为 y=kx+b，点 B（3，2） ，点 B（3， 2） ，AB= =2 将点 A（1，4） 、B （3，2 ）代入 y=kx+b 中，得： ，解得： ，直线 AB的解析式为 y=x+5令 y=x+5 中 y=0，则x+5=0，解得：x=5，点 P（5，0） 故 APBP 的最大值为 2 ，此时 P 点的坐标为（5，0） 故答案为（5，0） ，2 【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的面积公式、等边三角形的判定及性质、三角形的三边关系以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：【操作观察】利用三角形的面积公式直接求值；【理解运用】找出当点 P 和点 M 重合时，PF +PC 值最小；【拓展提高】找出当 APBP 的值最大时点 P 的位置本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据折叠的性质找出相等的角或边是关键