1、题型6 二次函数综合题,类型二次函数中的最值问题,例12015德州，T24，12分已知抛物线ymx24x2m与x轴交于点A(，0)，B(，0)，且 2. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标,规范解答：(1)由题意，可得，是方程mx24x2m0的两根， 由根与系数的关系，可得 ，2. 2
2、，(1分) 2，即 2， 解得m1. .(2分) 故抛物线的解析式为yx24x2(3分),(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小,理由：yx24x2(x2)26， 抛物线的对称轴l为x2，顶点D的坐标为(2，6)(4分) 又抛物线与y轴交点C的坐标为(0，2)，点E与点C关于l对称， 点E的坐标为(4，2) 作点D关于y轴的对称点D，点E关于x轴的对称点E，(5分) 则点D的坐标为(2，6)，点E的坐标为(4，2)，连接DE，交x轴于点M，交y轴于点N， 此时，四边形DNME的周长最小为DEDE，如图1所示 (6分),延长EE，DD交于一点F， 在RtDEF中，DF
3、6，EF8， 则DE 10.(7分) 连接CE，交对称轴l于点G. 在RtDGE中，DG4，EG2， DE 2. 四边形DNME的周长最小值为10 .(8分),(3)如图2，P为抛物线上的点，过点P作PHx轴，垂足为H.,若以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 则PHQDGE， PHDG4.(9分) |y|4. 当y4时，x24x24， 解得x12 ，x22 ；(10分) 当y4时，x24x24， 解得x32 ，x42 . 无法得出以DE为对角线的平行四边形， 故点P的坐标为(2 ，4)或(2 ，4)或 (2 ，4)或(2 ，4)(12分),满分技法以二次函数图象为背景探究动点形式的
4、最值问题，要注意以下几点：1.要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐标；2.(1)求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高的代数式或函数表达式；(2)求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段，然后用含t的代数式表示出图形面积；3.用二次函数的性质来求最大值或最小值,【满分必练】,12018淄博如图，抛物线 yax2bx 经过OAB的三个顶点，其中A(1， )，B(3， )，O为坐标原点 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式；,解：把点A(1， )，点B(3， )分别代入yax2b
5、x，得解得 这条抛物线所对应的函数表达式为 y .,(2)若点P(4，m)，Q(t，n)为该抛物线上的两点，且nm，求t的取值范围；,(3)若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求BOC的大小及点C的坐标,解：由(1)得，抛物线开口向下，对称轴为直线x ， 当x 时，y随x的增大而减小， 当t4时，nm. 由抛物线的对称性可知，当t 时，nm. 综上所述，t的取值范围为t4或t .,解：如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A， B作ADOC于点D，BEOC于点E. ACAD，BCBE ADBEACBCAB. 当OCAB时，点A，点B到直线OC的距离之 和最大,点A
6、(1， )，点B(3， )， AOF60，BOF30，易求直线AB的函数表达式为y x2 . 设直线AB与x轴交于点G，则点G(2，0) OG2. OA2，AOG是等边三角形 OAB60，ABO30. 当OCAB时，BOC60. FOC30. 设C(c， c2 )， 则tanFOC ， 解得c . 点C的坐标为( ， ),22018常德如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x3. (1)求该二次函数的解析式；,(2)若M是OB上的一点，作MNAB交OA于点N，当ANM面积最大时，求点M的坐标；,解：抛物线过原点，对称轴是直线x3， B点坐标为(
7、6，0) 设二次函数解析式为yax(x6)， 把A(8，4)代入，得a824， 解得a ， 二次函数的解析式为y x(x6)， 即y x2 x.,解：设点M的坐标为(t，0)， 易得直线OA的解析式为y x， 设直线AB的解析式为ykxb，,把B(6，0)，A(8，4)代入，得 解得 直线AB的解析式为y2x12. MNAB，设直线MN的解析式为y2xn， 把M(t，0)代入，得2tn0，解得n2t， 直线MN的解析式为y2x2t. 解方程组 得 点N的坐标为( ， ). SAMNSAOMSNOM 当t3时，SAMN有最大值3，此时点M的坐标为(3，0),(3)P是x轴上的点，过点P作PQx轴
8、与抛物线交于点Q.过点A作ACx轴于点C，当以点O，P，Q为顶点的三角形与以点O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标,解：设点Q的坐标为(m， m2 m) OPQACO， 当PQOCOA时， ，即 . PQ2PO，即| m2 m|2|m|. 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m214，此时点P的坐标为(14，0) 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m22，此时点P的坐标为(2，0) 当PQOCAO时， ，即 . PQ PO，即| m2 m| |m|. 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m28(舍去)， 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m24， 此时点P的坐标为(
9、4，0) 综上所述，点P的坐标为(14，0)或(2，0)或(4，0),32018定西如图，已知二次函数yax22xc的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点 (1)求二次函数yax22xc的解析式；,(2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC.若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标；,(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形ACPB的最大面积,类型二次函数中的存在性问题,例22014德州，T24，T12分如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OAOC4O
10、B，动点P在过A，B，C三点的抛物线上,(1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标,满分技法(1)解答二次函数中存在性问题的一般思路：先对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的计算、推理，若推出矛盾，则否定先前假设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论；(2)对于点的存在性问题，首先要根据条件，运用画图判断存在的可能性，
11、作出合理的猜想然后再通过方法的选择，在演绎的过程或结论中，作出存在与否的判断；(3)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在，然后根据图形的特殊性来求出存在的条件(即要求的点的坐标)当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等,【满分必练】,42018临沂 如图，在平面直角坐标系中，ACB90，OC2OB，tanABC2，点B的 坐标为(1，0)，抛物线yx2bxc经过A，B两点 (1)求抛物线的解析式；,自主解答：在RtABC中，由点B的坐标可知OB1. OC2OB， OC2，则BC3. 又tanABC2， AC2BC6，则点A的坐标为
12、(2，6),(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE DE. 求点P的坐标；,在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在请说明理由,52018岳阳已知抛物线F：yx2bxc经过坐标原点O，且与x轴另一交点为( ，0) (1)求抛物线F的解析式；,(2)如图1，直线l：y xm(m0)与抛物线F相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式子表示)；,(3)在(2)中，若m ，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2. 判断AAB的形状，并说明理由；,平面内是否存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,检测学习成果，体验成功快乐！请用高分提升训练第225227页。祝你取得好成绩！,