1、课题 15 二次函数与一元二次方程的关系A 组 基础题组一、选择题1.(2018 沧州模拟)下列关于二次函数 y=ax2-2ax+1(a1)的图象与 x 轴交点的判断,正确的是( )A.没有交点B.只有一个交点,且它位于 y 轴右侧C.有两个交点,且它们均位于 y 轴左侧D.有两个交点,且它们均位于 y 轴右侧2.若二次函数 y=x2+mx 的对称轴是 x=3,则关于 x 的方程 x2+mx=7 的解为( )A.x1=0,x2=6 B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7 D.x1=-1,x2=73.(2018 石家庄赞皇模拟)根据下列表格中的二次函数 y=ax2+bx+c(a0,a,b
2、,c 为常数)的自变量 x 与函数 y 的对应值,判断 ax2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为( )x 1.43 1.44 1.45 1.46y=ax2+bx+c -0.095 -0.046 0.003 0.052A.1.404 D.x35.抛物线 y=2x2-2 x+1 与坐标轴的交点个数是( )2A.0 B.1C.2 D.36.(2018 邢台宁晋模拟)若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1,x2=2,那么抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线( )A.x=1 B.x=2C.x= D.x=-32 327.(2017 唐山模拟)如图是二次函数
3、y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,且过点 A(3,0),二次函数图象的对称轴是 x=1,下列结论正确的是( )A.b24acB.ac0C.a-b+c0D.4a+2b+c0)在该二次函数图象上,求证:a0.B 组 提升题组一、选择题1.(2018 陕西中考)对于抛物线 y=ax2+(2a-1)x+a-3,当 x=1 时,y0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.(2017 浙江杭州中考)设直线 x=1 是函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是实数,且 a1,则(m-1)a+b0B.若 m1,则(m-1)a+b0D.若 my2成立的 x
4、 的取值范围是 . 6.(2018 湖州中考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=ax2+bx(a0)的顶点为 C,与 x 轴的正半轴交于点 A,它的对称轴与抛物线 y=ax2(a0)交于点 B.若四边形 ABOC 是正方形,则 b 的值是 . 三、解答题7.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线可以用 y=ax2+bx(a0)表示.已知抛物线上 B,C 两点到地面的距离均为 m,到墙边 OA 的34距离分别为 m, m.12 32(1)求该抛物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;(2)若该墙的长度为 10 m,则最多可以连续
5、绘制几个这样的抛物线形图案?答案精解精析A 组 基础题组一、选择题1.D 当 y=0 时,ax 2-2ax+1=0,a1,=(-2a) 2-4a=4a(a-1)0,则 ax2-2ax+1=0 有两个根. 0,且- =1,方程的两根均为正,即函数图象与有两个交点且交点均位于 y 轴右侧. 1 -222.D 二次函数 y=x2+mx 的对称轴是直线 x=3,- =3,解得 m=-6,关于 x 的方程 x2+mx=72即为 x2-6x-7=0,即(x+1)(x-7)=0,解得 x1=-1,x2=7.3.C 由表可以看出,当 x 取 1.44 与 1.45 之间的某个数时,y=0,即这个数是 ax2+
6、bx+c=0 的一个根.ax 2+bx+c=0 的一个解 x 的取值范围为 1.440,即 b24ac,A 正确;抛物线开口向下,a0,则 ac0,4a+2b+c0,D 错误.二、填空题8. 答案 x 1=-1.4,x2=4.4解析 观察函数图象,可知 x2-x-2 =0 的两个根分别在-2 与-1、4 与 5 之间,解得13利用计算器进一步计算 ,可得 x1在-1.37 与-1.38 之间,x 2在 4.37 与 4.38 之1=32- 332,2=32+332,间,方程 x2-x-2=0 的两个近似根是 4.4 或-1.4.139. 答案 2解析 二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为
7、 x=1,- =1,则- =2,关于 x 的方程2 ax2+bx+c=0 的两个根的和为- =2.10. 答案 12解析 y=ax 2-4ax=a(x2-4x+4)-4a=a(x-2)2-4a,则顶点坐标是(2,-4a),-4a=-2,解得 a= .1211. 答案 x 1=-2,x2=1解析 抛物线 y=ax2与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),方程组的解为 即关于 x 的方程 ax2-bx-c=0 的解为 x1=-2,x2=1,方=2,=+, =-2,=4, =1,=1,程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2,x2=1.三、解答题12. 解析 (1)
8、根据题意,=b 2-4a-(a+b)=b2+4ab+4a2=(2a+b)2,(2a+b) 20 一定成立,二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个.(2)对于二次函数 y=ax2+bx-(a+b),当 x=1 时,y=a+b-(a+b)=0,抛物线 y=ax2+bx-(a+b)不经过点 C,而一定经过点 A,B.把点 A(-1,4),B(0,-1)分别代入,得 4=-(+),-1=-(+),解得 =3,=-2.抛物线解析式为 y=3x2-2x-1.(3)当 x=2 时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b0;a+b0.相加,得:2a0.a0.B 组 提升题组一、选择题1.C 把 x=1,
9、y0 代入解析式,得:a+2a-1+a-30,解得 a1.抛物线的顶点的横坐标为 x=- am 2+bm+c,即 a(m2-1)+b(m-1)0;当 m1 时,(m+1)a+b8解析 由函数图象可知,当 x8 时,一次函数的图象在二次函数的下方,能使y1y2成立的 x 的取值范围是 x8.6. 答案 -2解析 四边形 ABOC 是正方形,点 B 的坐标为 .(-2,-2)抛物线 y=ax2过点 B,- =a ,解得:b 1=0(舍去),b 2=-2.故答案为-2.2 (-2)2三、解答题7. 解析 (1)由题意可知,B ,C ,(12,34) (32,34)代入 y=ax2+bx 得 14+12=34,94+32=34,解得 =-1,=2. y=-x 2+2x.此抛物线顶点的纵坐标为=1.4(-1)0-224(-1)答:该抛物线的函数关系式是 y=-x2+2x,图案最高点到地面的距离是 1 m.(2)当 y=0 时,-x 2+2x=0,x 1=0,x2=2,x2-x1=2,102=5(个).答:最多可以连续绘制 5 个这样的抛物线形图案.