1、课题 26 正方形A 组 基础题组一、选择题1.(2018 保定莲池模拟)菱形、矩形、正方形都具有的性质是( ) A.四条边相等,四个角相等B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分2.(2018 石家庄模拟)若正方形的对角线长为 2 cm,则这个正方形的面积为( )A.4 cm2 B.2 cm2 C. cm2 D.2 cm22 23.(2018 邢台模拟)如图,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 2 ,若直线 l 满足下列条件:点2D 到直线 l 的距离为 ;A,C 两点到直线 l 的距离相等. 那么符合题意的直线 l 的条数为( )3A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题4.
2、(2017 秦皇岛模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 是对角线 AC 上的一点,若CED=70,则ABE 的度数是 . 5.(2018 唐山路南模拟)如图,四边形 ABCD 是正方形,AEBE 于点 E,且 AE=3,BE=4,则阴影部分的面积是 . 6.(2016 张家口一模)如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,若ABE 的面积为 18,CE=4,则线段 BE 的长为 . 7.(2018 秦皇岛海港模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作直线 l,过点 B,D 作 l 的垂线,垂足分别为点 F,E,若 DE=1,BF=2,则 AB 的长度为 . 三、解答题8.(2018 吉
3、林中考)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且 BE=CF,求证:ABEBCF.9.(2017 吉林长春模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 为直线 AB 上的动点(不与 A,B 重合),作射线 DE,并绕点 D 逆时针方向旋转 45,交直线 BC 于点 F,连接 EF.探究:当点 E 在边 AB 上时,求证:EF=AE+CF.应用:(1)当点 E 在边 AB 上,且 AD=2 时,则BEF 的周长是 . (2)当点 E 不在边 AB 上时,EF,AE,CF 三者的数量关系是 . B 组 提升题组一、选择题1.(2018 唐山丰南二模)如图,在正方形 ABCD
4、外侧作等边三角形 ADE,AC,BE 相交于点 F,则BFC 为( )A.75 B.60 C.55 D.452.(2018 天津中考)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P 为对角线 BD 上的一个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是( )A.AB B.DE C.BD D.AF二、填空题3.如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE的中点,连接 PG,则 PG 的长为 . 4.(2018 湖北咸宁中考)如图,将正方形 OEFG 放在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 E 的
5、坐标为(2,3),则点 F 的坐标为 . 三、解答题5.(2018 廊坊安次二模)(1)【阅读发现】如图,在正方形 ABCD 的外侧,作两个等边三角形 ABE 和 ADF,连接 ED、FC,且ED、FC 交于点 M,则图中ADEDFC,可知 ED=FC,求DMC 的度数;(2)【拓展应用】如图,在矩形 ABCD(ABBC)的外侧,作两个等边三角形 ABE 和 ADF,连接ED、FC 且 ED、FC 交于点 M.(i)求证:ED=FC;(ii)若ADE=20,求DMC 的度数.答案精解精析A 组 基础题组一、选择题1.D 2.B 3.B 如图,连接 AC,与 BD 相交于 O,正方形 ABCD
6、的对角线 BD 长为 2 ,OD= .直线2 2lAC 并且到 D 的距离为 .3同理,在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件,故共有 2 条直线 l.故选 B.二、填空题4.25 5.196. 答案 2 13解析 设正方形的边长为 a(a0),S ABE =18,S 正方形 ABCD=2SABE=36,a 2=36,a0,a=6,在 RtBCE 中,BC=6,CE=4,BE= = =22+2 62+42.137. 答案 5解析 四边形 ABCD 是正方形,BAE+DAF=90,ABF+BAE=90,ABF=DAE.可得ABFDAE(AAS),AF=DE=1.在 RtABF 中,根据勾股定理得
7、:AB= .5三、解答题8. 证明 四边形 ABCD 是正方形,AB=BC,ABE=BCF=90.在ABE 和BCF 中, =,=,=, ABEBCF.9. 解析 探究:证明:如图 1,延长 BA 到 G,使 AG=CF,连接 DG,图 1四边形 ABCD 是正方形,DA=DC,DAG=DCF=90,又 AG=CF,DAGDCF,1=3,DG=DF,ADC=90,EDF=45,EDG=1+2=3+2=45=EDF,DE=DE,GDEFDE,EF=EG=AE+AG=AE+CF.应用:(1)BEF 的周长=BE+BF+EF,由探究得:EF=AE+CF,BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+
8、BC=2+2=4,故答案为 4.(2)当点 E 不在边 AB 上时,分两种情况:当点 E 在 BA 的延长线上时,如图 2,图 2EF=CF-AE,理由如下:在 CB 上取 CG=AE,连接 DG,AE=CG,DAE=DCG=90,AD=DC,DAEDCG,DE=DG,EDA=GDC,ADC=90,EDG=90,EDF+FDG=90,EDF=45,FDG=90-45=45,EDF=FDG=45,在EDF 和GDF 中, =,=,=, EDFGDF,EF=FG,EF=FG=CF-CG=CF-AE.当点 E 在 AB 的延长线上时,如图 3,图 3EF=AE-CF,理由如下:把DAE 绕点 D 逆
9、时针方向旋转 90至DCG,可使 AD 与 DC 重合,由旋转得 DE=DG,EDG=90,AE=CG,EDF=45,GDF=90-45=45,EDF=GDF,DF=DF,EDFGDF,EF=GF,EF=GF=CG-CF=AE-CF.综上所述,当点 E 不在边 AB 上时,EF,AE,CF 三者的数量关系为 EF=CF-AE 或 EF=AE-CF.故答案为 EF=CF-AE 或 EF=AE-CF.B 组 提升题组一、选择题1.B 四边形 ABCD 是正方形,BAD=90,AB=AD,BAF=45,ADE 是等边三角形,DAE=60,AD=AE,BAE=90+60=150,AB=AE,ABE=A
10、EB= (180-12150)=15,BFC=BAF+ABE=45+15=60.故选 B.2.D 在正方形 ABCD 中,连接 CE、PC.点 A 与点 C 关于直线 BD 对称,AP=CP,AP+EP 的最小值为 EC.E,F 分别为 AD,BC 的中点,DE=BF= AD.12AB=CD,ABF=ADC=90,ABFCDE.AF=CE.故选 D.二、填空题3. 答案 5解析 延长 GE 交 AB 于点 O,作 PHOE 于点 H,则 PHAB.P 是 AE 的中点,PH 是AOE的中位线,PH= OA= (3-1)=1.在 RtAOE 中,OAE=45,AOE 是等腰直角三角形,12 12
11、即 OA=OE=2,同理,在PHE 中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在 RtPHG 中,PG= .2+2 54. 答案 (-1,5)解析 如图,过点 E 作 x 轴的垂线 EH,垂足为 H.过点 G 作 x 轴的垂线 GM,垂足为 M,连接GE,FO 且 GE、FO 交于点 O.四边形 OEFG 是正方形,OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH,OGMEOH(ASA).GM=OH=2,OM=EH=3,G(-3,2).O .(-12,52)点 F 与点 O 关于点 O对称,点 F 的坐标为 (-1,5).三、解答题5. 解析 (1)如图中,四边形 ABCD 是正方形,AD=
12、AB=CD,ADC=90.ADEDFC,DF=CD=AE=AD.FDC=60+90=150,DFC=DCF=ADE=AED=15.FDE=60+15=75.MFD+FDM=90.FMD=90,DMC=90.(2)(i)ABE 为等边三角形,EAB=60,EA=AB.ADF 为等边三角形,FDA=60,AD=FD.四边形 ABCD 为矩形,BAD=ADC=90,DC=AB.EA=DC.EAD=EAB+BAD=150,CDF=FDA+ADC=150,EAD=CDF.在EAD 和CDF 中, =,=,=, EADCDF.ED=FC.(ii)EADCDF,ADE=DFC=20DMC=FDM+DFC=FDA+ADE+DFC=60+20+20=100.