1、课题 21 等腰三角形A 组 基础题组一、选择题1.(2018 河北中考)已知:如图,点 P 在线段 AB 外,且 PA=PB,求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( )A.作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 CB.过点 P 作 PCAB 于点 C 且 AC=BCC.取 AB 中点 C,连接 PCD.过点 P 作 PCAB,垂足为 C2.(2017 邢台一模)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.(2017 邯郸模拟)下列条件能判定A
2、BC 为等腰三角形的是( )A.A=30,B=60B.AB=5,AC=12,BC=13C.A=50,B=80D.ABC=3454.如图,在等腰ABC 中,AB=AC,BDAC,ABC=72,则ABD=( )A.36 B.54 C.18 D.645.(2018 邯郸模拟)如图,在ABC 中,C=90,AD 是BAC 的角平分线,若 CD=2,AB=8,则ABD 的面积是 ( )A.6 B.8 C.10 D.126.(2018 承德模拟)如图,已知 P 是AOB 的角平分线上的一点,AOB=60,PDOA,M 是 OP的中点,点 C 是 OB 上的一个动点,若 PC 的最小值为 3 cm,则 MD
3、 的长度为( )A.3 cm B.4 cm C.2.5 cm D.2 cm二、填空题7.如图,ABC 中,AC=8,BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,则BCE 的周长为 . 8.(2017 石家庄模拟)如图,已知 OA=a,P 是射线 ON 上一动点,AON=60,当 OP= 时,AOP 为等边三角形. 9.(2018 石家庄高邑期末)如图,已知ABC 的周长是 24,BO,CO 分别平分ABC 和ACB,ODBC 于 D,且 OD=3,则ABC 的面积是 . 10.(2018 承德模拟)三个等边三角形的摆放位置如图所示,若3=60,则1+2= .三
4、、解答题11.(2018 保定一模)如图,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,BAC=DAE=90,点 E 在BC 边上.(1)求证:ACDABE;(2)若CDE=60,求AEB 的度数.12.(2017 秦皇岛模拟)如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别在边 BC,AC 上,且 DEAB,过点 E 作 EFDE,交 BC 的延长线于点 F.(1)求F 的度数;(2)若 CD=2,求 DF 的长.B 组 提升题组一、选择题1.(2018 廊坊安次二模)如图,ABC 是等边三角形,点 P 是三角形内的任意一点,PDAB,PEBC,PFAC,若ABC 的周长为 12,则 PD+PE+P
5、F=( )A.12 B.8 C.4 D.32.(2017 河北中考)如图,码头 A 在码头 B 的正西方向,甲、乙两船分别从 A,B 同时出发,并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏东 35,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向 是( )不能 A.北偏东 55 B.北偏西 55C.北偏东 35 D.北偏西 353.(2018 黑龙江中考)如图,四边形 ABCD 中,AB=AD,AC=5,DAB=DCB=90,则四边形 ABCD的面积为( )A.15 B.12.5 C.14.5 D.17二、填空题4.(2018 德州中考)如图,OC 为AOB 的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点 C 到射线
6、OA 的距离为 . 5.(2017 石家庄模拟)已知等边三角形 ABC 的两个顶点坐标为 A(-3,0),B(3,0),则点 C 的坐标为 . 三、解答题6.(2018 唐山丰南一模)如图,在ABC 中,AB=AC,点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,且BE=CF,AD+EC=AB.(1)求证:DEF 是等腰三角形;(2)当A=40时,求DEF 的度数;(3)当A 为多少度时,DEF 是等边三角形?答案精解精析A 组 基础题组一、选择题1.B 无论作APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C,还是取 AB 中点 C,连接 PC 或过点 P 作 PCAB,垂足为 C,都可以通过等腰三
7、角形三线合一得出结论,选项 A,C,D 的作法正确.故选 B.2.D 3.C 4.B AB=AC,ABC=72,ABC=ACB=72,A=180-ABC-ACB=36.BDAC,ABD=90-36=54.故选 B.5.B 如图,过点 D 作 DEAB 于 E,AB=8,CD=2, AD 是BAC 的角平分线,C=90,DE=CD=2,ABD 的面积= ABDE= 82=8.故选 B.12 126.A 当 PCOB 时 PC 最小,P 是AOB 的平分线上的一点,PDOA,PCOB,PD=PC=3 cm,AOP=30,OP=2PD=6 cm,PDOA,M 是 OP 的中点,DM= OP=3 cm
8、,故选 A.12二、填空题7. 答案 13解析 DE 垂直平分 AB,AE=BE,BCE 的周长为 BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.8.a9. 答案 36解析 如图,连接 OA,BO,CO 分别平分ABC 和ACB,点 O 到 AB,AC,BC 的距离都相等,ABC 的周长是 24,ODBC 于 D,且 OD=3,S ABC = 243=36.1210. 答案 120解析 图中是三个等边三角形,3=60,ABC=180-60-60=60, ACB=180-60-2=120-2, BAC=180-60-1=120-1,ABC+ACB+BAC=180, 60+(120
9、-2)+(120-1)=180, 1+2=120.三、解答题11. 解析 (1)证明:BAC=DAE=90,BAC-CAE=DAE-CAE,即DAC=EAB,在ACD 与ABE 中, =,=,=, ACDABE(SAS).(2)ACDABE,ADC=AEB,AEB=ADE+CDE=45+60=105.12. 解析 (1)ABC 是等边三角形,B=60.DEAB,EDC=B=60.EFDE,DEF=90.F=90-EDC=30.(2)ACB=60,EDC=60,EDC 是等边三角形.ED=DC=2.DEF=90,F=30,DF=2DE=4.B 组 提升题组一、选择题1.C 延长 EP、FP 分别
10、交 AB、BC 于 G、H,则由 PDAB,PEBC,PFAC,可得四边形PGBD,EPHC 是平行四边形,PG=BD,PE=HC,又ABC 是等边三角形,由 PFAC,PDAB 可得PFG,PDH 是等边三角形,PF=PG=BD,PD=DH,又ABC 的周长为 12,PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC= 12=4,故选 C.132.D 3.B 如图,过 A 作 AEAC,交 CB 的延长线于 E,如图.DAB=DCB=90,D+ABC=180=ABE+ABC,D=ABE,又DAB=CAE=90,CAD=EAB.又AD=AB,ACDAEB,AC=AE,即ACE 是等腰直角三角形,四边形
11、ABCD 的面积与ACE 的面积相等,S ACE = 55=12.5,四边形 ABCD 的面积为 12.5,故选 B.12二、填空题4.3 5.(0,3 )或(0,-3 )3 3三、解答题6. 解析 (1)证明:AB=AC,B=C.AD+EC=AB,AD+BD=AB,BD=EC.在DBE 和ECF 中, =,=,=,DBEECF(SAS).DE=EF,即DEF 是等腰三角形.(2)A=40,B=C,B=C=70.BDE+DEB=110.DBEECF,BDE=FEC.FEC+DEB=110.DEF=70.(3)当A 为 60 度时,DEF 是等边三角形.理由:由(2)知,DEF=B.DEF=60,B=60.AB=AC,ABC 是等边三角形.A=60.