1、课题8 一元二次方程及其应用,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 一元二次方程的相关概念及解法 形如 ax2+bx+c=0 (其中a、b、c为常数,a0)的方程为一元二次方程,满 足三个条件:(1)等号两边都是 整式 ;(2)只含有 一个 未知数;(3)未 知数的最高次数是 2 .,基础知识梳理,1.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为b2-4ac,通常把它记 作,即=b2-4ac. (1)b2-4ac0方程有 两个不相等 的实数根. (2)b2-4ac=0方程有 两个相等 的实数根. (3)b2-4ac0, x= = ,x1= ,x2=
2、.,名师点拨 配方法虽然在解题中应用较少,但它是公式法的基础,且配方法适 用于任意一个一元二次方程,因此必须掌握用配方法解一元二次方程.,变式训练1 (2017邢台模拟)用适当的方法解下列方程: (1)x2-3x=18; (2)3y(y-1)=2-2y.,答案 (1)解法一(配方法): 配方,得x2-3x+ =18+ ,即 = , 两边开平方,得x- = , x1=6,x2=-3. 解法二(公式法):将方程化为x2-3x-18=0. 这里a=1,b=-3,c=-18, b2-4ac=(-3)2-41(-18)=810, x= , x1=6,x2=-3.,(2)解法一(因式分解法):原方程可化为
3、3y(y-1)=-2(y-1). 分解因式,得(y-1)(3y+2)=0. 令y-1=0,得y=1; 令3y+2=0,得y=- . y1=1,y2=- .,解法二(公式法):原方程可化为3y2-y-2=0. 这里a=3,b=-1,c=-2, b2-4ac=(-1)2-43(-2)=250, y= , y1=1,y2=- .,题型二 考查一元二次方程的根与系数的关系 该题型主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系,包括根 据方程的根求方程中某个字母参数的值,根据方程的根求与一元二次方程有 关的代数式的值,已知方程的一个根求方程的另一个根等.,典例2 (2018孝感中考)已
4、知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1). (1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根; (2)若原方程的两根x1,x2满足 + -x1x2=3p2+1,求p的值.,答案 (1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0. 则=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2. p为实数,(2p+1)20, 无论p取何值,此方程总有两个实数根. (2)原方程的两根为x1,x2, x1+x2=5,x1x2=6-p2-p. 又 + -x1x2=3p2+1, (x1+x2)2-3x1x2=3p2+1, 52-3(6-p2-p)=3
5、p2+1,解得p=-2.,名师点拨 在利用一元二次方程的根与系数的关系求某个字母参数的值或 取值范围时,需注意两点:因为一元二次方程的根与系数的关系存在的前提 是该方程有两个实数根,所以在利用根与系数的关系时,一定要考虑到根的判 别式为非负数;当有关两根的已知条件不能直接利用时,要先对其进行变 形,使其转化为两根之和或两根之积的形式,为利用根与系数的关系打好基 础.,变式训练2 已知关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果 不存在,请说明理由.,答案 (1)
6、根据题意,得解得k 且k0. (2)假设存在符合条件的k值. 根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=- =0,解得k= . 由(1)可知k B.k C.k 且k1 D.k 且k1,易错警示 本题容易出现的错误是只注意到由方程有实数根得到0,而忽 略了一元二次方程中二次项系数不为0的前提条件,出现选B的错误.,解析 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根, 0且k1. =4-4(k-1)(-2)=8k-40, 解得k 且k1.,答案 D,典例4 (2017唐山滦南模拟)水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水 果若干千克,然后以每千克4元的价格出售,每天可售出100千克
7、.通过调查发 现,这种水果每千克的售价每降低0.1元,每天就可多售出20千克,为保证每天 至少售出260千克,张阿姨决定降价销售. (1)当每千克的售价降低0.7元时,计算每天的销售量和销售利润; (2)若将这种水果的售价每千克降低x元,则每天的销售量是 千克(用 含x的代数式表示); (3)若张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,则她应将每千克的售 价降低多少元?,易错四 忽略实际问题中检验所得解的合理性,易错警示 本题的易错点是不能根据实际问题的意义对解方程所得的解进 行正确的取舍,误认为方程的正数解一定符合题意,负数解一定不符合题意, 因此看到本题两个解都是正数,误认为都符合题意
8、.,解析 (1)当每千克的售价降低0.7元时,每天的销售量为100+ 20=240(千 克),每天的销售利润为(4-0.7-2)240=312(元). (2)100+200x. (3)设张阿姨将每千克的售价降低x元. 根据题意,得(4-x-2)(100+200x)=300, 解这个方程,得x1=0.5,x2=1. 当x=0.5时,销售量为100+2000.5=200(千克)260(千克),符合题意.,答:张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,她应将每千克的售价降 低1元.,1.(2017浙江杭州月考)下列方程是一元二次方程的是 ( B ) A.x2-y=1 B.x2+2x-3=0 C.
9、x2+ =3 D.x-5y=6,随堂巩固检测,2.(2018娄底中考)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 ( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定,3.两个连续整数的乘积是132,则这两个整数分别是 ( C ) A.11,12 B.-11,-12 C.11,12或-11,-12 D.11,-12,4.已知a、b、c是ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,则 ABC为 ( C ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.任意三角形,5.把方程(1-2x)(1+2x)=2x2-
10、1化为一元二次方程的一般形式为 3x2-1=0 .,6.一元二次方程(x-1)2=4的解是 x=3或x=-1 .,7.当a的取值范围为 a 时,关于x的方程(a2-5)x2+ax-7=0是一元二次方 程.,8.(2018郴州中考)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程 的另一个根为 2 .,10.解方程: (1)(y+2)2=(3y-1)2; (2)x2+4x+2=0(配方法); (3)(x-2)(x-3)=x-2; (4)5x2-3x=x+1.,9.在某次宴会中,参加宴会的人两两握手,一共握了45次,那么出席这次宴会的 有 10 人.,答案 (1)开平方,得y+2=
11、(3y-1). 当y+2=3y-1时,解得y= ; 当y+2=-(3y-1)时,解得y=- . 原方程的解为y1= ,y2=- . (2)原方程变形为x2+4x+4=2,得(x+2)2=2, 两边开平方,得x+2= , 原方程的解为x1=-2+ ,x2=-2- .,(3)整理,得x2-6x+8=0, 这里a=1,b=-6,c=8, x= = , 原方程的解为x1=2,x2=4. (4)整理,得 5x2-4x-1=0, 因式分解,得(5x+1)(x-1)=0, 5x+1=0或x-1=0, 原方程的解为x1=- ,x2=1.,11.(2017山东邹城模拟)2014年,邹城市某楼盘以每平方米6 50
12、0元的均价对外 销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经 过连续两年下调后,2016年的均价为每平方米5 265元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,李老师准备购买一套100平方 米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,李老师的愿望能否实 现(房价每平方米按照均价计算)?,答案 (1)设平均每年下调的百分率为x. 根据题意,得6 500(1-x)2=5 265, 解这个方程,得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去). 答:平均每年下调的百分率为10%. (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,则2017年的均价为5 265(1-1 0%)=4 738.5(元/平方米), 购买一套100平方米的住房的总房款为1004 738.5=473 850(元)=47.385 (万元). 20+30=5047.385,李老师的愿望能实现.,