1、课题15 二次函数与一元二次方程的关系,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 二次函数与一元二次方程的关系 当二次函数y=ax2+bx+c(a0)的值等于0时,得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0),与其对应的自变量的值即为方程的实数根;反之,亦然.由此得到二次函 数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根 的个数之间的关系,如下表所示:,基础知识梳理,温馨提示 b2-4ac的符号、抛物线与x轴的位置关系、一元二次方程的实 数根的个数,分别从“数”与“形”的角度描述了二次函数与一元二次方程 之间的关系,并且在抛物线与
2、x轴的位置关系、一元二次方程的实数根的个 数、b2-4ac的符号三者之间,只要知道其中一种情况,即可得到另外两种情况.,考点二 利用二次函数求一元二次方程的近似根 求一元二次方程的根的近似值的一般方法: (1)整理:把一元二次方程整理为一般形式:ax2+bx+c=0(a0); (2)估根:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,如果图象与x轴有交点,那么根据图 象估计交点的横坐标的大致范围,即为ax2+bx+c=0的根的大致范围; (3)试值:根据对根的近似值的精确度要求,借助计算器进行“试值”,一直试 到函数值的符号发生变化为止. (4)定根:对函数值刚好发生变化时的两个函数值进行比较,看哪
3、个函数值更 接近于0,则比较接近于0的函数值所对应的自变量的值,即为一元二次方程 的一个根的近似值.然后按照同样的方法确定另一个根的近似值.,题型一 考查二次函数与一元二次方程的关系 该题型主要考查二次函数与一元二次方程的关系,包括抛物线与x轴的位置 关系与一元二次方程的实数根的个数之间的关系,利用抛物线与x轴的相交 情况求字母的值或取值范围等,题目的综合性较强,难度较大.,中考题型突破,典例1 (2017湖北荆州中考)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中 k为常数. (1)求证:无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的
4、图象不经过第三象限,求k的取值范围; (3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.,答案 (1)证明:=(k-5)2-4(1-k)=k2-6k+21=(k-3)2+120, 无论k为何值,方程总有两个不相等的实数根. (2)y=x2+(k-5)x+1-k的二次项系数a=1, 抛物线开口方向向上. =(k-3)2+120, 抛物线与x轴有两个交点. 设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2. 二次函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限, x1+x2=5-k0,x1x2=1-k0.,解不等式组 得k1. k的取值范围是k1. (3)设方程的两个根分别是x1,
5、x2. 根据题意,得(x1-3)(x2-3)0,即x1x2-3(x1+x2)+90, 又x1+x2=5-k,x1x2=1-k, 代入式,得1-k-3(5-k)+90, 解得k . k的最大整数值为2.,名师点拨 在解决与函数图象有关的问题时,一定要养成画图的习惯,因为根 据题意画出图形,结合图形能加深对题意的理解.如本题(2),求k的取值范围的 关键是得到关于k的不等式(组),通过画图可知,抛物线有三个特征,一是开口 向上;二是与x轴有两个交点;三是不经过第三象限,由此可知抛物线与x轴的 两个交点一定不在x轴的负半轴上,进而得到关于k的一元一次不等式, k的取 值范围随之得到.,变式训练1 (
6、2018邯郸一模)如图,在平面直角坐标系中,过点A与x轴平行的 直线交抛物线y= (x+1)2于点B,C,线段BC的长度为6,抛物线y=-2x2+b与y轴交 于点A,则b的值为 ( C ),A.1 B.4.5 C.3 D.6,答案 C 根据题意,知点A的坐标为(0,b),设C(x1,b),B(x2,b). 当y=b时,有 (x+1)2=b,即x2+2x+1-3b=0, x1+x2=-2,x1x2=1-3b. BC=6,x1-x2=6, (x1-x2)2=36,即(x1+x2)2-4x1x2=36,则4-4(1-3b)=36,解得b=3.,题型二 利用二次函数求一元二次方程的近似根 这类问题主要
7、考查利用二次函数的图象和性质求一元二次方程的近似根,由 于这类问题的计算量较大,因此需要借助于计算器,并在估根时尽量减小误 差.,典例2 (2018沧州模拟)求一元二次方程2x2=x+2的近似根,结果精确到0.1.,答案 解法一:把一元二次方程2x2=x+2变形为2x2-x-2=0. 画出函数y=2x2-x-2的图象,如图1所示.观察图象可知,方程2x2-x-2=0的一个根在-1和0之间,另一个根在1和2之间.,列表如下:,观察可知:方程2x2=x+2在-1和0之间的根的近似值为-0.8,在1和2之间的根的 近似值为1.3. 一元二次方程2x2=x+2的根的近似值为x1-0. 8,x21.3.
8、,解法二:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x2与y=x+2的图象,如图2 所示.观察图象可知,两函数图象的交点的横坐标一个在-1和0之间,另一个在1和2,之间. 列表如下:,观察可知:两函数图象在-1和0之间的交点横坐标的近似值为-0.8,在1和2之间 的交点横坐标的近似值为1.3. 一元二次方程2x2=x+2的根的近似值为x1-0.8,x21.3.,名师点拨 求一元二次方程的近似根的关键是“试值”, 为此应注意两点: 一是“试值”的计算量较大应借助于计算器;二是试值时一定要试到函数值 的符号发生变化.,变式训练2 (2017兰州中考)下表是一组二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函
9、 数值y的对应值:,那么方程x2+3x-5=0的一个近似根是 ( C ) A.1 B.1.1 C.1.2 D.1.3,答案 C 观察表格得:方程x2+3x-5=0的一个根在1.1与1.2之间,由于0.04比- 0.49更接近于0,方程x2+3x-5=0的一个近似根是1.2.,题型三 利用二次函数与一元二次方程的关系推理或计算 利用二次函数与一元二次方程的关系推理或计算是中考的热点内容,由于这 类题目的综合性较强,所以在解题时要认真审题,尽量把问题考虑全面,并注 意对解题过程进行认真的反思与总结.,典例3 如图,抛物线y=x2+mx+(m-1)与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),x1x2
10、,与y轴交 于点C(0,c),且满足 + +x1x2=7. (1)求抛物线的函数表达式; (2)在抛物线上能不能找到一点P,使POC=PCO?若能,请求出点P的坐标; 若不能,请说明理由.,答案 (1)根据题意,得x1+x2=-m,x1x2=m-1. + +x1x2=7, (x1+x2)2-x1x2=7, 即(-m)2-(m-1)=7, 解得m1=-2,m2=3. 观察图中的抛物线可知,点C在x轴下方, c=m-10,即m1,m=3不合题意. 把m=-2代入y=x2+mx+(m-1),得抛物线的表达式为y=x2-2x-3.,(2)能. 设P是抛物线上的一点,连接PO,PC,过点P作y轴的垂线,
11、垂足为D,如答图所示.POC=PCO,PD是线段OC的垂直平分线. 点C(0,-3). D ,点P的纵坐标是- .,令x2-2x-3=- , 解得x1= ,x2= . 点P的坐标为 或 .,名师点拨 本题的求解过程中,要注意数形结合思想的应用,如根据 + +x1x 2=7得到关于m的方程,根据点C的位置对m的值进行取舍,根据POC=PCO 以及点C的坐标得到线段OC中点的纵坐标,都利用了数形结合的思想.,变式训练3 已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点; (2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后,得到的函数的图象
12、与x 轴只有一个公共点?,答案 (1)证明:=(-2m)2-41(m2+3)=4m2-4m2-12=-12 C.k D.k,易错警示 本题的易错之处是对函数图象与x轴最多有一个交点的含义理解不透,错误理解为函数图象与x轴只有一个交点或函数图象与x轴没有交点,由此导致丢解的错误. 解析 函数图象与x轴最多有一个交点,包括两种情况,即没有交点或只有一 个交点,由此可得b2-4ac0,即(-2)2-4k30,解得k .,答案 C,易错二 忽略二次函数y=ax2+bx+c中a0的限制条件,典例2 已知抛物线y=kx2-7x-7和x轴相交于两点,则k的取值范围是 ( D ) A.k- B.k- C.k-
13、 且k0 D.k- 且k0,易错警示 本题的易错之处是只考虑到抛物线与x轴的交点情况,而忽略了 抛物线y=ax2+bx+c中a0的限制条件.实际上,在本题之类的问题中,k的取值 范围受两个条件的制约,其中显性条件是抛物线y=ax2+bx+c和x轴相交于两 点,由此得到b2-4ac0;隐性条件是抛物线中的a0,由于这个隐性条件极易被 忽略,所以这类错误非常容易出现.,解析 因为抛物线y=kx2-7x-7与x轴有两个交点,所以 解 得k- 且k0.,答案 D,1.二次函数y=x2-2x-5的图象如图所示,设方程x2-2x-5=0的两个解分别为a,b,且 ab,根据图象可知,a,b的取值范围分别为
14、( A ),随堂巩固检测,A.-2a-1,3b4 B.-2a-1,3b4 C.-2a-1,3b4 D.-2a-1,3b4,2.在二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,如果a与c异号,那么它的图象与x轴 ( C ) A.没有交点 B.有一个交点 C.有两个交点 D.交点个数无法确定,3.(2017永州中考)若抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点,则m的取值 范围是 ( A ) A.m2 C.0m2 D.m-2,4.(2018承德模拟)根据下列表格中的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a0,a,b,c 为常数)的一个解的取值范围是( C ),A.3x3.23 B.3.23x3.
15、24 C.3.24x3.25 D.3.25x3.26,5.二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列关于a,b,c间的关系判断 正确的是 ( D )A.ab0 D.a-b+c0,6.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象,如果 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个近似根为1.3,则另一个近似根为 -3.3 .,7.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c+3=0的根 的情况是 有两个相等的实数根 .,8.如图,抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A,经过点A的直线交该抛物 线
16、于点B,交y轴于点C,且点C是线段AB的中点. (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)求直线AB对应的函数表达式.,答案 (1)抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A, =4a2-4a=0, 解得a1=0(舍去),a2=1. 抛物线的函数表达式为y=x2+2x+1. (2)y=(x+1)2, 顶点A的坐标为(-1,0). 点C是线段AB的中点,且点A与点B关于点C对称, 点B的横坐标为1, 当x=1时,y=x2+2x+1=1+2+1=4,则B(1,4).,设直线AB的函数表达式为y=kx+b, 把A(-1,0),B(1,4)的坐标代入,得 解得 直线AB对应的函数表达式为y=2x+2.,