1、课题20 全等三角形,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 全等图形,基础知识梳理,1.全等图形 (1)概念:两个能够完全重合的图形称为全等图形. (2)全等图形的形状和大小相同,即全等图形的面积和周长 相等 .全等 图形的对应角,对应边都分别 相等 .,2.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边 相等 ,对应角 相等 . (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高)相等.全等三角形的周长相 等,面积 相等 .,考点二 全等三角形的判定 (1) 三边 对应相等的两个三角形全等(SSS). (2) 两边及两边的夹角 对应相等的两个三角形全等(SAS). (3)
2、两角及两角所夹的边 对应相等的两个三角形全等(ASA). (4) 两角及其中一个角所对的边 对应相等的两个三角形全等(AAS). (5) 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(HL).,3.三角形全等的证明思路,题型一 识别全等图形 这类题目的主要特点是根据全等图形的定义识别全等图形,识别方法主要依 靠观察,而观察的重点一是图形的大小,二是图形的形状,考查题型多是选择 题、填空题以及简单的解答题.,中考题型突破,典例1 (2018衡水模拟)下列各组图形中,属于全等图形的是 ( B ),答案 B A.两个图形的形状不同,不是全等图形;B.两个图形的形状相同,大 小相等,是全等图形;C.
3、两个图形的形状不同,不是全等图形;D.两个图形的大 小不等,不是全等图形.故选B.,名师点拨 本题的解题过程体现了两点解题技巧:在形状相同与大小相等 的两个条件中,不具备其中任何一个,一定不是全等图形;根据不同的题目 特点,在形状相同与大小相等的两个条件中,哪个容易判断,则先判断哪个,在 满足该条件的前提下,再判断另一个条件.,变式训练1 (2017保定模拟)如图所示,上下两行的图形中,哪些是全等图形? 请把全等图形用线连起来.,答案 图中的全等图形如图所示.,题型二 考查三角形全等的判定和性质 该题型主要考查的内容是:先根据全等三角形的判定条件证明三角形全等,然 后利用全等三角形对应边相等、
4、对应角相等的性质进行计算或推理.,典例2 (2018石家庄模拟)如图,已知D是ABC的边BC上的点,AE是ABD 的中线,延长AE至点F,使EF=AE,如果CD=AB,BAE=C,AD平分CAE,求 证: (1)ABEFDE; (2)AC=2AE.,答案 (1)AE是ABD的中线,BE=DE.在ABE和FDE中, ABEFDE(SAS). (2)ABEFDE, AB=DF,BAE=F. 又CD=AB,BAE=C, CD=DF,C=F.,AD平分CAE, DAF=DAC. 在ADC和ADF中, ADCADF(AAS). AC =AF=2AE.,名师点拨 本题的图形比较复杂且已知条件较多,求解的关
5、键是从图形中分 离出全等三角形:ABEFDE与ADCADF,在(2)中想证明AC=2AE, 只需证明AC=AF,为此需证明ADC与ADF全等.,变式训练2 如图所示,在ABC中, D,E分别为AC,AB边上的点,且AD=BD, AE=DC,ACBC,求证:DEAB.,答案 ACBC,C=90. 在AED和BCD中, AEDBCD(SSS), AED =C=90(全等三角形的对应角相等), 即DEAB.,题型三 考查直角三角形全等的判定和性质 该题型主要考查的内容是:先根据直角三角形全等的判定条件证明直角三角 形全等,然后利用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质进行计算或推 理.,典例3 (2
6、018唐山模拟)如图,在ABC中,AB=AC,DE是过点A的直线,BD DE于点D,CEDE于点E; (1)若点B,C在DE的同侧且AD=CE,如图所示,求证:ABAC;(2)若点B,C在DE的两侧且AD=CE,如图所示,其他条件不变,AB与AC仍垂直,吗?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.,答案 (1)证明:BDDE,CEDE, ADB=AEC=90. 在RtABD和RtCAE中, RtABDRtCAE(HL),DAB=ECA,DBA=EAC. DAB+DBA=90,EAC+ACE=90,BAD+CAE=90, BAC=180-(BAD+CAE)=180-90=90. ABAC.,(2)
7、ABAC.证明如下: 同(1)可得RtABDRtCAE. DAB=ECA,DBA=EAC. CAE+ECA=90, CAE+BAD=90, 即BAC=90, ABAC.,名师点拨 本题求解的思路可概括为:(1)由已知条件,证明ABDCAE, 再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90,即可证明ABAC;(2)同 (1),先证ABDCAE,再利用角与角之间的关系求证CAE+BAD=90, 即可证明ABAC.,变式训练3 (2018沧州模拟)如图,点C,E,B,F在一条直线上,ABCF于点B,DE CF于点E,AC=DF,AB=DE,BF=3.5 cm.求线段CE的长度.,答案 ABCF,DE
8、CF, ABC=DEF=90. 在RtABC和RtDEF中, RtABCRtDEF(HL), BC=EF, BC-BE=EF-BE, CE=BF=3.5 cm.,易错一 在判定三角形全等时出现丢解的错误,易混易错突破,典例1 如图所示,AB=DC,AC=DB,AC与BD相交于点O,则图中的全等三角形 有 ( C )A.1对 B.2对 C.3对 D.4对,易错警示 本题容易出现的错误是丢解,即只看到了由SSS直接得到的两对 全等三角形,而丢掉了在此基础上经进一步推理得到的另一对全等三角形.,解析 因为AD是ABD和DCA的公共边,所以根据SSS可判定ABD DCA;同理,BC是ABC和DCB的公
9、共边,所以根据SSS可判定ABC DCB.由ABDDCA,ABCDCB知,ABD=DCA,BAC=CDB, 又因为AB=DC,所以AOBDOC.,答案 C,典例2 如图,已知ABC=BAD.下列条件中,不能作为判定ABCBAD 的条件的是 ( D )A.C=D B.BAC=ABD C.BC=AD D.AC=BD,易错二 在利用全等三角形的判定定理SAS时出现错误,易错警示 在利用全等三角形的判定定理SAS时,一定要注意这个角不是三 角形的任意一个内角,而是两组等边的夹角,否则就会得出错误的结论.,解析 A.添加C=D时,可利用AAS判定ABCBAD,不符合题意;B.添 加BAC=ABD,可利用
10、ASA判定ABCBAD,不符合题意;C.添加BC= AD,可利用SAS判定ABCBAD,不符合题意;D.添加AC=BD时,由于 ABC不是AB,AC的夹角,BAD不是AB,BD的夹角,所以不能利用SAS判定 ABCBAD,符合题意.,答案 D,1.下列各组的两个图形属于全等图形的是 ( D ),随堂巩固检测,2.如图,ABCDEF,则E的度数为 ( D )A.80 B.40 C.62 D.38,3.如图,AEDF,AE=DF,要使EACFDB,则需要添加的条件是 ( A )A.AB=CD B.EC=BF C.A=D D.AB=BC,4.如图,C=D=90,AC=AD,那么ABC与ABD全等的理
11、由是 ( C )A.SSS B.SAS C.HL D.AAS,5.如图,AB=DB,1=2,请问添加下列条件不能判定ABCDBE的是 ( B )A.BC=BE B.AC=DE C.A=D D.ACB=DEB,6.如图,ABCADE,B=20,E=110,EAB=30,则CAE的度数为 80 .,7.如图,四边形ABCD中,1=2,请你补充一个条件: BC=AD(或B=D, 答案不唯一) ,使ABCCDA.,8.如图,已知ABC中,ABC=45,F是高AD和BE的交点,CD=4,则线段DF的 长度为 4 .,9.如图,ABC中,AB=AC,ADBC,CEAB,AE=CE.求证: (1)AEFCEB; (2)AF=2CD.,答案 (1)ADBC,CEAB, BCE+CFD=90,BCE+B=90, CFD=B. CFD=AFE,AFE=B. 在AEF与CEB中, AEFCEB(AAS).,(2)AB=AC,ADBC, BC=2CD. AEFCEB, AF=BC, AF=2CD.,