1、课题21 等腰三角形,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 等腰三角形 1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形.,基础知识梳理,2.性质: (1)等腰三角形的两 底 角相等.(简称“等边对等角”) (2)等腰三角形顶角的角平分线, 底边上的中线 和 底边上的高 互 相重合.(简称“三线合一”) (3)等腰三角形是轴对称图形, 顶角的角平分线或底边上的中线、底边上 的高 所在的直线是等腰三角形的对称轴.,3.判定:(1)定义判定. (2)有两个角相等的三角形是 等腰 三角形.(简称“等角对等边”),考点二 等边三角形 1.定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
2、2.性质:因为等边三角形是特殊的等腰三角形,所以等边三角形具有等腰三角 形的所有性质,其特殊性质如下: (1)等边三角形的三条边相等. (2)三个角相等,且都是 60 度. (3)内、外心重合. (4)等边三角形是轴对称图形,有 三 条对称轴.,3.判定:(1)三边都相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是 60 度的 等腰 三角形是等边三角形.,考点三 线段的垂直平分线 1.定义:垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线 2.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离 相等 . 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理
3、:到线段两端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上.,2.角平分线的性质定理的逆定理:在角的内部到角两边的 距离 相等的 点在这个角的 平分线 上.,考点四 角平分线 1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角 两边 的距离相等.,题型一 考查等腰三角形的性质 该题型主要考查等腰三角形(包括等边三角形)的性质,主要内容包括:利用等 腰三角形的性质进行线段或角的计算,利用等腰三角形的性质进行推理等.,中考题型突破,典例1 (2018石家庄模拟)在ABC中,AB=AC. (1)如图,如果BAD=30,AD是BC边上的高,AD=AE,则EDC= 15 ; (2)如图,如果BAD=40,AD是BC边
4、上的高,AD=AE,则EDC= 20 ; (3)思考:通过以上两题,你发现BAD与EDC之间有什么关系?请用式子表 示: BAD=2EDC . (4)如图,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,上述式子是否仍成立?如果是,请 你说明理由.,答案 (1)在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高, CAD =BAD=30, ADC=90. AD=AE, ADE=AED= (180-CAD)= (180-30)=75, EDC=ADC-ADE =90-75=15. 故答案为15. (2)在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高, CAD =BAD=40, ADC=90.,AD=AE, ADE=A
5、ED= (180-CAD)= (180-40)=70, EDC=ADC-ADE =90-70=20. 故答案为20. (3)BAD=2EDC(4)是,理由如下: AD=AE,ADE=AED, BAD+B=ADC=ADE+EDC=AED+EDC=(EDC+C)+ EDC=2EDC+C. 又AB=AC, B=C, BAD=2EDC.,名师点拨 等腰三角形有两个重要的性质,这两个性质有着不同的适用范围, 一般情况下,如果等腰三角形中出现了相等的边,那么可以利用等腰三角形的 性质得到相等的边所对的角相等,如果等腰三角形中出现了底边的中线、高 或顶角的平分线,那么可以利用“三线合一”的性质.,变式训练1
6、 (2017邯郸丛台模拟)如图,已知BD平分ABC,AB=AD,DEAB, 垂足为E. (1)求证:ADBC; (2)若DE=6 cm,求点D到BC的距离; 当ABD=35,DAC=2ABD时,求BAC的度数.,答案 (1)证明:BD平分ABC, ABD=DBC. 又AB=AD,ADB=ABD. ADB=DBC, ADBC.,(2)过点D作DFBC交BC的延长线于点F,如图所示.BD平分ABC,DEAB,DFBC, DF=DE=6 cm. BD平分ABC, ABC=2ABD=70.,DAC=2ABD, DAC=70, ADBC, ACB=DAC=70, BAC=180-ABC-ACB=180-
7、70-70=40.,题型二 考查等腰三角形的判定 该题型主要考查利用等腰三角形(包括等边三角形)的定义与判定定理判定 等腰三角形.,典例2 (2018保定模拟)如图,AB=AC,BD,CD分别平分ABC和ACB.问: (1)图中有几个等腰三角形? (2)在图的基础上,过点D作EFBC,交AB于点E,交AC于点F,如图,图中现 在增加了几个等腰三角形? (3)如图,若将题中的ABC改为不等边三角形,其他条件不变,则图中有几 个等腰三角形?线段EF与BE,CF之间有什么关系,请加以证明.,答案 (1)AB=AC, ABC=ACB,且ABC是等腰三角形. BD,CD分别平分ABC和ACB, DBC=
8、 ABC= ACB=DCB, BD=CD, BDC是等腰三角形. 在图中共有2个等腰三角形.,(2)由(1)得,ABC,BDC是等腰三角形. EFBC,EDB=DBC. BD平分ABC,DBE=DBC. DBE=EDB, BE=DE, BDE为等腰三角形. 同理可得CDF为等腰三角形. ABC是等腰三角形, ABC=ACB.,EFBC, AEF=ABC,AFE=ACB, AEF=AFE. AEF是等腰三角形, 图中共有5个等腰三角形,比图增加了3个等腰三角形. (3)同(2)可得BDE,CDF是等腰三角形. ABC不是等腰三角形, BDC,AEF都不是等腰三角形,即图中有2个等腰三角形.,BD
9、E为等腰三角形,BE=DE. CDF为等腰三角形,CF=DF. EF=DE+DF=BE+CF.,名师点拨 本题的求解过程实际上验证了一个重要的结论:平行线遇上角平 分线,等腰三角形就出现,根据这个结论,就能非常轻松地得到BDE,CDF 是等腰三角形,为解题提供了极大的便利.,变式训练2 (2016河北中考)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点 M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有 ( D )A.1个 B.2个,C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,易 知PCD为等边三角形.在O
10、C,DB上分别取点M,N,使CM=DN,则PCM PDN(SAS),CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边三角形, 满足CM=DN的M,N有无数个,满足题意的三角形有无数个.,题型三 考查线段的垂直平分线 该题型主要考查线段垂直平分线的知识,主要内容包括:根据线段垂直平分线 的性质定理及其逆定理进行线段或角的计算,根据线段垂直平分线的性质定 理及其逆定理进行推理等.,典例3 (2017唐山乐亭模拟)如图,在ABC中,C=90,AB的垂直平分线 DE交AC于点D,垂足为E,若A=30,CD=3. (1)求BDC的度数; (2)求AC的长度.,答案 (1)AB的垂直平分线DE交A
11、C于点D,垂足为E, AD=BD, ABD=A=30, BDC=ABD+A=2A=60. (2)C=90,BDC=60, CBD=90-BDC=90-60=30, BD=2CD=23=6, AD=BD=6, AC=AD+CD=6+3=9.,名师点拨 利用线段的垂直平分线的性质可以得到两条相等的线段,进而利 用等腰三角形的性质可以推出它们所对的角也相等.,变式训练3 (2016河北中考)如图,已知钝角三角形ABC,依下列步骤尺规作 图,并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心,CA的长为半径画弧;,步骤2:以点B为圆心,BA的长为半径画弧,交弧于点D; 步骤3:连接AD,交BC的延长线于点H. 下列
12、叙述正确的是 ( A ) A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BAD C.SABC=BCAH D.AB=AD,答案 A 由作图可知点B,C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B,C 都在线段AD的垂直平分线上,即BC所在的直线垂直平分线段AD.故选A.,典例4 (2018衡水模拟)如图,在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角的 平分线相交于点P,连接AP. (1)求证:AP平分BAC的外角CAM; (2)过点C作CEAP,E是垂足,并延长CE交BM于点D.求证:CE=ED.,答案 (1)过点P作PTBC于点T,PSAC于点S,PQBA于点Q,如图,在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角
13、的平分线相交于点P, PQ=PT,PS=PT,PQ=PS, AP平分DAC,即AP平分BAC的外角CAM.,(2)AP平分BAC的外角CAM, DAE=CAE. CEAP,AED=AEC=90. 在AED和AEC中, AEDAEC,CE=ED.,名师点拨 本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定的应用, 解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步证明出PQ=PS和AED AEC,注意:角平分线上的点到角两边的距离相等.,变式训练4 (2018沧州模拟)如图,在RtABC中,C=90,AC=3,BC=4,ABC 的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且BD=2DE,连接AE. (1)求线段
14、CD的长; (2)求ADE的面积.,答案 (1)过点D作DHAB,垂足为H,如图.BD平分ABC,C=90, 设DH=CD=x,则AD=3-x. C=90,AC=3,BC=4,根据勾股定理,得AB=5. sinBAC= = , = ,解得x= ,即CD= . (2)SABD= ABDH= 5 = . BD=2DE, = =2, SADE= SABD= .,易错 在等腰三角形中求角时未进行分类讨论导致丢解 典例 已知等腰三角形的一个角是70,则这个等腰三角形另外两个角的度 数分别是 .,易混易错突破,易错警示 已知等腰三角形的一个角为,求其他两个角的度数时,首先应分 析是否需要分类讨论,一般分为
15、三种情况:(1)如果题目中已经指明角是等腰 三角形的顶角或底角,则不需分类讨论;(2)当角是直角或钝角时,角一定是 等腰三角形的顶角,则不需分类讨论;(3)当角是锐角且未指明其是等腰三角 形的顶角还是底角时,则必须分类讨论,否则将会出现丢解的错误.,解析 当这个70的角是底角时,该等腰三角形的顶角为180-702=40,故另 外两个角的度数分别是70,40; 当这个70的角是顶角时,该等腰三角形的底角为 (180-70)=55,故另外两 个角的度数分别是55,55. 综上所述,这个等腰三角形另外两个角的度数分别是70,40或55,55.,答案 70,40或55,55,1.已知某等腰三角形的一个
16、外角等于100,则这个等腰三角形底角的度数为 ( C ) A.45 B.50 C.80或50 D.45或50,随堂巩固检测,2.如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD=35,则C的度数为 ( C )A.35 B.45 C.55 D.60,3.如图,ABC是等边三角形,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,则图中等边三角 形共有 ( C )A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,4.如图,在ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,且AC=8,BC=6,则BDC的周 长为 ( D )A.20 B.22 C.10 D.14,5.如图,在ABC中,A=36,B=72,AC的垂直平分
17、线分别交AC,AB于 点D,E,则图中等腰三角形的个数为( B )A.2 B.3 C.4 D.5,6.如图,点O在ABC内,且到三边的距离相等,若A=60,则BOC= 120 .,7.在ABC中,A=100,当B= 40 时,ABC是等腰三角形.,8.如图,ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D,若ADB的周长是10 cm, AB=4 cm,则AC= 6 cm.,9.如图,在ABC中,BC=AC,ACB=90,D是AC上一点,AEBD交BD的延长 线于点E,且AE= BD,求证:BD平分ABC.,答案 延长AE,BC交于点F,如图所示.AEBE,BEF=90. 又ACF=ACB=90,ADE=BDC, DBC=FAC.,在ACF和BCD中, ACFBCD, AF=BD. 又AE= BD, AE= AF, AE=EF,即E是AF的中点.,又AEBD, 直线BE是线段AF的垂直平分线, BD平分ABC.,