1、课题24 多边形与平行四边形,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 多边形 1.多边形的概念:平面上,由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图 形,叫做多边形.多边形的边、顶点、内角、外角的意义和三角形相同.,基础知识梳理,2.多边形的内角和定理与外角和定理 (1)多边形内角和定理:n边形的内角和为 (n-2)180 . (2)多边形外角和定理:多边形的外角和为 360 .,3.正多边形 (1)概念: 各边 相等, 各角 相等的多边形叫正多边形. (2)性质:正多边形的各边 相等 ,各内角 相等 ,各外角 相等 .,考点二 平行四边形 1.平行四边形的定义:两组对
2、边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形是 中心 对称图形,对称中心是两条对角线的交点. (2)平行四边形对边平行且 相等 ,对角 相等 . (3)平行四边形的两条对角线 互相平分 .,3.平行四边形的判定 (1)两组对边 分别平行 的四边形是平行四边形. (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (3)一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形. (4)两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形.,题型一 考查平行四边形的性质 该题型主要考查平行四边形的性质、判定及其应用,如完成相关命题的证明, 根据平行四边形的性质推导线段之间的位置和数量关系、角与角之
3、间的数 量关系,计算有关线段的长度和角度.,中考题型突破,典例1 (2018福建中考)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O 且与AD,BC分别相交于点E,F.求证:OE=OF.,答案 四边形ABCD是平行四边形, OA=OC,ADBC,OAE=OCF. 在OAE和OCF中, OAEOCF(ASA), OE=OF.,名师点拨 本题仍属于“利用全等三角形证明两条线段相等”,因此,解题的 基本思路仍是先把OE,OF看成两个三角形的对应边,然后证明两个三角形全 等,进而利用全等三角形的对应边相等完成证明.但在证明两个三角形全等 时,需要利用平行四边形对边平行与对角线互相平分的性质.,
4、变式训练1 (2017沧州东光一模)在平面直角坐标系中,已知平行四边形 ABCD的三个顶点坐标分别是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),下列关于点D的说法: 甲:点D在第一象限;乙:点D与点A关于原点对称;丙:点D的坐标是(-2,1);丁:点 D与原点的距离是 .其中,正确的说法是( B ) A.甲、乙 B.丙、丁 C.甲、丁 D.乙、丙,答案 B A(m,n),C(-m,-n), 点A和点C关于原点对称. 四边形ABCD是平行四边形, 点D和点B关于原点对称. B(2,-1),点D的坐标是(-2,1),在第二象限,且点D到原点的距离= =.对照各选项,选B.,题型二 考查平行四边
5、形的判定 该题型主要考查平行四边形的判定,常用的方法是先根据已知条件得到平行 四边形,然后根据平行四边形的性质完成相关命题的证明、计算有关线段的 长度和角度等.,典例2 (2017河北模拟)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=CF. (1)求证:BOEDOF; (2)若BD=EF,连接DE,BF,判断四边形EBFD的形状,并证明你的结论.,答案 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, OB=OD,OA=OC. AE=CF,OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 在BOE和DOF中,BOEDOF(SAS).,名师点拨 本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和矩 形的判
6、定,能灵活运用平行四边形的性质定理与判定定理进行推理是解此题 的关键.,(2)四边形EBFD的形状是矩形.证明如下: 由(1)知OB=OD,OE=OF, 四边形EBFD是平行四边形. 又BD=EF, 平行四边形EBFD是矩形.,变式训练2 (2018河北二模)如图,已知A=D,AB=DC,AC,BD相交于点O. (1)求证:AOBDOC; (2)若AB=BC,A=32,求AOB的度数; (3)作BDC关于直线BC的对称图形BEC,求证:四边形ABEC是平行四边形.,答案 (1)证明:AC,BD相交于点O, AOB=DOC. 在AOB和DOC中,AOBDOC. (2)AB=BC,A=32, AC
7、B=A=32.,AOBDOC, OB=OC, OBC=OCB=32, AOB=OCB+OBC=64. (3)证明:AOBDOC, ABO=DCO, OCB=OBC,ABC=DCB. 又A=D,AB=DC, ABCDCB,AC=DB. BDC,BEC关于直线BC对称, DC=EC,BD=BE, AB=EC,AC=BE, 四边形ABEC是平行四边形.,题型三 考查多边形的内角和与外角和定理 该题型主要考查多边形的内角和定理与外角和定理的应用,如已知多边形的 边数求内角和、已知多边形的内角和求边数.,典例3 (2017山东临沂中考)一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多 边形是 ( C ) A.
8、四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形,答案 C 设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)180=3602.解得n=6,则这个多边形是六边形.故选C.,名师点拨 本题考查多边形的内角和与外角和的计算方法,求解本题的关键 是记住外角和的特征与内角和的公式:任何多边形的外角和都等于360,多边 形的内角和为(n-2)180.,变式训练3 (2018济宁中考)如图,在五边形ABCDE中,A+B+E=300, DP,CP分别平分EDC,BCD,则P= ( C )A.50 B.55 C.60 D.65,答案 C 在五边形ABCDE中,A+B+E+EDC+BCD=(5-2)180= 540. A+B
9、+E=300, EDC+BCD=540-300=240. 又DP,CP分别平分EDC,BCD, PDC+PCD=120, 在CDP中,P=180-(PDC+PCD)=180-120=60.故选C.,易错一 对平行四边形对角线互相平分的性质不理解 典例1 若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm,则下列长度的线段可 作为平行四边形边长的是 ( B ) A.5 cm B.8 cm C.12 cm D.23 cm,易混易错突破,解析 因为平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm,所以平行四边形的 两条对角线长度的一半为3 cm和8 cm,所以平行四边形边长的取值范围是 (8-3)cm边
10、长(8+3)cm,即5 cm边长11 cm.对照各选项,只有选项B在此范 围内,故选B.,易错警示 本题容易出现的错误:虽然能利用平行四边形对角线互相平分的 性质,把求平行四边形边长的取值范围转化为求三角形的边长的取值范围,但 把对角线的长度认为是对角线长度的一半,由此误选C.,易错二 不能正确利用平行四边形的判定定理 典例2 (2017保定模拟)在下列给出的条件中,不能判定四边形ABCD一定是 平行四边形的是 ( B ) A.AB=CD,AD=BC B.ABCD,AD=BC C.ABCD,AB=CD D.ABCD,ADBC,解析 A.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”能判定四边形
11、ABCD为平行四边形,不符合题意;B.一组对边平行而另一组对边相等,不能判 定四边形ABCD为平行四边形,符合题意;C.根据“一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形”能判定四边形ABCD为平行四边形,不符合题意;D.根据 平行四边形的定义能判定四边形ABCD为平行四边形,不符合题意.故选B.,易错警示 本题错解的原因是不能正确利用平行四边形的判定定理,或在没 有图形的题目中对线段的位置关系理解错误,为此需在草稿纸上画出图形帮 助分析.,易错三 对多边形内角和定理理解不透彻 典例3 下列命题中:多边形每增加一条边,其内角和增加180;多边形每 增加一个角,其内角和增加180;多边形的边数增加为
12、原来的2倍,则多边形 的内角和也增加为原来的2倍;任意两个多边形的内角和之差一定是180 的整数倍.其中,正确的是 ( B ) A. B. C. D.,解析 根据多边形内角和定理,可知正确;因为多边形的每一个内角都是 小于平角的角,所以不正确;因为 2,所以不正确.故选B.,易错警示 本题容易出现的错误是把多边形的边数之间的关系与多边形内 角和之间的关系相混淆,实际上,多边形的内角和虽然随着边数的变化而变 化,但它们之间的变化关系并不是正比例关系.,易错四 忽略分类讨论导致漏解 典例4 已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1).若以O,A,B,C 为顶点的
13、四边形是平行四边形,则x= .,易错警示 本题主要考查利用两组对边分别相等判定平行四边形的方法,但 要注意点C的位置有两种可能,既可能在第一象限,也可能在第二象限,因此要 注意分类讨论,否则将会出现丢解的错误.,解析 根据题意画出如图所示的图形.以O,A,B,C为顶点的四边形是平行 四边形,点C的坐标为(4,1)或(-2,1),所以x=4或-2.答案 4或-2,1.一个多边形的内角和是900,这个多边形的边数是 ( D ) A.10 B.9 C.8 D.7,随堂巩固检测,2.(2018贵州铜仁模拟)如果一个多边形的内角和是外角和的3倍,那么这个多 边形的边数是 ( A ) A.8 B.9 C.
14、10 D.11,3.如图,在ABCD中,CEAB,垂足为E,如果A=125,则BCE的度数为 ( C )A.25 B.30 C.35 D.55,4.如图所示,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则图中的全等三角形一 共有 ( B )A.3对 B.4对 C.5对 D.6对,5.如图,在平行四边形ABCD中,AEBC,垂足为E,如果AB=5, BC=8,sin B= ,那么EC= 5 .,6.(2017江西抚州模拟)在ABCD中,ABC的平分线把AD边分为3 cm和 4 cm的两部分,则ABCD的周长是 20或22 cm.,7.(2017保定模拟)如图,四边形CDEF是平行四边形,点A,B在直线DF上,已知 FB=AD,连接AE,BC. (1)求证:ADEBFC; (2)连接AC,BE,判断四边形ACBE的形状并说明理由.,答案 (1)证明:四边形CDEF是平行四边形, DE=CF,DECF, EDF=CFD,ADE=BFC. 在ADE和BFC中, ADEBFC(SAS).,(2)四边形ACBE是平行四边形,理由如下: ADEBFC, AE=BC,EAD=CBF,AEBC. 四边形ACBE是平行四边形.,