1、课题34 与圆有关的计算,基础知识梳理,中考题型突破,易混易错突破,河北考情探究,考点一 弧长的计算 由圆的周长公式C= 2R 可以推出n的圆心角所对的弧长的计算公式 为l= .其中,l为弧的长度,R为弧所在圆的半径. 根据弧长公式,在l、R、n这三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第三个 量.,基础知识梳理,考点二 扇形面积的计算 由圆的面积公式S=R2可以推出n的圆心角所在的扇形的面积计算公式为 (1)S= ;(2)S= lR .其中,S为扇形面积,R为扇形所在圆的半 径,l是扇形的弧长. 根据扇形面积公式,在S、R、n这三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第 三个量;或在S、l、R这
2、三个量中,已知其中任意两个量,即可求得第三个量.,考点三 有关圆内接正多边形的计算 1.正多边形:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.,2.圆内接正多边形:把一个圆n(n3)等分,顺次连接各等分点,则得到一个正n 边形.这个n边形叫做圆的内接正n边形;这个圆叫做正n边形的外接圆;外接圆 的圆心叫做正多边形的中心;外接圆的半径叫做正多边形的半径,每一条边所 对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到边的距离叫做正多边形的边心距.,3.因为多边形可以分割为三角形,所以有关圆内接正多边形的计算可以转化 为三角形的计算.,题型一 考查弧长的计算 该题型主要考查弧长的计算,主要内容包括:根据扇形的圆心
3、角与半径计算弧 长或已知扇形的圆心角、半径、弧长中的任意两个量,求第三个量.该内容比 较简单,考查的题型主要为选择题与填空题.,中考题型突破,典例1 (2018邢台宁晋模拟)如图,半圆O的直径AB=4,P,Q是半圆O上的点,弦 PQ的长为2,则 与 的长度之和为 ( B )A. B. C. D.,答案 B 连接OP、OQ,如图所示,则OP=OQ= AB=2.OP=OQ=PQ=2,OPQ为等边三角形. POQ=60. AOP+BOQ=120. 与 的长度之和为 = .,名师点拨 在利用弧长公式进行计算时,一是要在理解的基础上牢记计算公 式;二是理解圆心角、半径、弧长之间的对应关系,否则机械地记忆
4、公式可能 会在计算中出现错误.,变式训练1 (2017石家庄模拟)如图,圆锥底面半径为r cm,母线长为10 cm,其 侧面展开图是圆心角为216的扇形,则r的值为 ( B ) A.3 B.6 C.3 D.6,答案 B 圆锥底面半径为r cm,母线长为10 cm,其侧面展开图是圆心角为 216的扇形, 2r= ,解得r=6.,题型二 考查扇形面积的计算 该题型主要考查扇形面积的计算,主要内容包括:利用扇形面积的两个计算公 式计算,或已知圆心角、扇形半径、扇形面积中的任意两个量求第三个量;或 已知扇形弧长、扇形半径、扇形面积中的任意两个量求第三个量.,典例2 (2017重庆中考)如图,矩形ABC
5、D的边AB=1,BE平分ABC,交AD于 点E.若点E是AD的中点,以点B为圆心,BE长为半径画弧,交BC于点F,则图中 阴影部分的面积是 ( B )A.2- B. -,C.2- D. -,答案 B BE平分ABC, ABE=EBF= ABC=45. A=90,ABE=AEB=45. AB=AE=1,BE= = . E是AD的中点,AD=2AE=2. S阴影=S矩形ABCD-SABE-S扇形BEF =12- 11- = - .故选B.,名师点拨 求阴影面积的基本方法是把一个不规则图形的面积经过添补或 分割,转化为几个规则图形面积的和或差,如本题,把所求的阴影面积转化为 矩形ABCD的面积-AB
6、E的面积-扇形EBF的面积,矩形ABCD、ABE、扇 形EBF的面积都可根据相应的公式计算,阴影面积随之求出.,变式训练2 (2018四川成都)如图,在ABCD中,B=60,C的半径为3,则 图中阴影部分的面积是 ( C ) A. B.2 C.3 D.6,答案 C 在ABCD中,B=60, C=120. C的半径为3, S阴影= =3.故选C.,题型三 考查与圆有关的阴影面积的计算 该题型主要考查与圆有关的阴影面积的计算,该部分内容常与圆的切线、圆 周角定理、勾股定理、图形的旋转等知识相结合,考查的题型既有选择题、 填空题,也有解答题,题目的难度较大.,典例3 (2017唐山乐亭模拟)如图,已
7、知边长为6的等边ABC内接于O. (1)求O的半径; (2)求劣弧 的长和弓形BC(阴影部分)的面积.,答案 (1)连接OB,OC,作OMBC于M,如图所示.ABC是等边三角形, A=60. BOC=120. 又OB=OC,OBC=OCB=30. 又OMBC,BC=6, BM=CM= BC=3. OB= = =2 . O的半径为2 . (2)由(1)知,BOC=120,OB=2 , 劣弧 的长= = ,弓形BC的面积=S扇形BOC-SBOC= - 62 sin 30=4-3 .,名师点拨 在计算与圆有关的图形面积时,基本方法是利用“割补法”,即把 一个不规则的图形面积转化为几个规则图形面积的和
8、或差,但在计算这些规 则图形的面积时,有关数据需要利用圆的知识得到,如本题中扇形BOC的圆心 角、半径等.,变式训练3 (2018秦皇岛海港模拟)如图,AB是O的直径,弦CDAB,C= 30,CD=6,则图中的阴影面积等于 ( D )A. B. C. D.2,答案 D CDAB,CD=6,CE=DE= CD=3. 在RtACE中,C=30, 则AE=CEtan 30=3 = . 在RtOED中,DOE=2C=60. OD= = =2 . OE=OA-AE=OD-AE= . S阴影=S扇形OAD-SOED+SACE,= - 3+ 3=2.,题型四 考查圆内接正多边形的计算 该题型主要考查圆内接正
9、多边形的计算,主要内容包括:计算正多边形的边 长、面积等,或与三角形、圆等知识相结合,进行综合考查.,典例4 (2018邢台宁晋模拟)如图,正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成 为一个正六边形,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 12 cm.,解析 取正六边形的中心O,作ONBC于N,连接OH,OK,如图所示.六边形DFHKGE是正六边形, AD=DE=DF=BF=4 cm,KOH=60. OH=4 cm.,NOH= KOH=30, NH= OH=2 cm. 由勾股定理得,ON= = =2 cm. S正六边形DFHKGE= 42 6=24 cm2. 设这个正六边形的内部任意一点
10、到各边的距离和为h cm, 则 4h=24 ,解得h=12 cm.,名师点拨 在正多边形中计算时,基本方法是把正多边形转化为三角形,如本 题,通过作辅助线OH,ON,OK,将正六边形DFHKGE转化为6个全等的等边三 角形或12个全等的直角三角形.,变式训练4 (2017唐山滦县模拟)如图,将边长为3的正六边形铁丝框 ABCDEF变形为以点A为圆心,AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细),则所得扇 形AFB(阴影部分)的面积为 ( B ) A.6 B.18 C.18 D.20,答案 B 正六边形ABCDEF的边长为3,AB=BC=CD=DE=EF=FA=3. 的长=36-3-3=12. 扇形AFB
11、(阴影部分)的面积= 123=18.,易错一 在圆中计算弧长时误把圆周角作为圆心角,易混易错突破,典例1 (2018黄石中考)如图,AB是O的直径,点D为O上一点,连接AD, BD,已知ABD=30,BO=4,则 的长为 ( D )A. B. C.2 D. 易,解析 连接OD, ABD=30,AOD=2ABD=60,BOD=120. 的长= = . 答案 D,易错警示 在圆中求弧的长度时,容易出现的错误是把圆周角作为圆心角,如本题,只看到 所对的角是A,而没有分析A是不是 所对的圆心角,因此出现误选B的错误.,易错二 当题目中出现几个半径(或直径)时,混淆了这些半径(或直径)的区别典例2 (2
12、017贵州遵义中考)已知圆锥的底面积为9 cm2,母线长为6 cm,则圆 锥的侧面积是 ( A ) A.18 cm2 B.27 cm2 C.18 cm2 D.27 cm2,解析 设圆锥的底面半径为r,则r2=9,r=3 cm,圆锥的底面周长为2r=6 cm.圆锥的侧面积为 66=18 cm2. 答案 A,1.如果一个扇形的半径是1,弧长是 ,那么此扇形的圆心角的大小为 ( C ) A.30 B.45 C.60 D.90,随堂巩固检测,2.一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚2次(如图),那么B 点从开始至结束所走过的路径长度为 ( B )A. B. C.4,D.2+ ,3.设同
13、一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r1,r2,r3, 则r1r2r3= ( A ) A.1 B. 1 C.123 D.321,4.如图,平行四边形ABCD中,AB=AC=4,ABAC,O是对角线的交点,若O过 A、C两点,则图中阴影部分的面积之和为 4 .,5.如图,在ABC中,ACB=90,B=15,以C为圆心,CA长为半径的圆交AB 于D,若AC=6,则 的长为 .,6.已知某条圆弧所在圆的半径为2 cm,弧长为 cm,则这条弧所对的圆心角 为 60 .,7.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,则该正六边形的外接圆与内切圆所形 成的圆环面积为 .,8.如图,已知菱形ABCD的边长为1.5 cm,B、C两点在扇形EAF的 上,求 的 长度及扇形BAC的面积.,答案 四边形ABCD是菱形且边长为1.5 cm,AB=BC=1.5 cm. 又B、C两点在扇形EAF的 上, AC=AB=1.5 cm. ABC是等边三角形,BAC=60. 的长= = (cm),S扇形BAC= = (cm2).,