1、2018 年黑龙江省大庆市中考数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3.00 分） 2cos60=（ ）A1 B C D2 （3.00 分）一种花粉颗粒直径约为 0.0000065 米，数字 0.0000065 用科学记数法表示为（ ）A0.65 105 B6510 7 C6.5 106 D6.510 53 （3.00 分）已知两个有理数 a，b ，如果 ab0 且 a+b0，那么（ ）Aa 0 ，b0Ba 0 ，b0C a、b 同号Da、b 异号，且正数的绝对值较大4 （3.00 分）一个正 n 边形的每一个外角都是
2、 36，则 n=（ ）A7 B8 C9 D105 （3.00 分）某商品打七折后价格为 a 元，则原价为（ ）Aa 元 B a 元 C30%a 元 D a 元6 （3.00 分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“ 创” 字所在的面相对的面上标的字是（ ）A庆 B力 C大 D魅7 （3.00 分）在同一直角坐标系中，函数 y= 和 y=kx3 的图象大致是（ ）A B C D8 （3.00 分）已知一组数据：92，94，98，91，95 的中位数为 a，方差为 b，则 a+b=（ ）A98 B99 C
3、100 D1029 （3.00 分）如图， B= C=90 ，M 是 BC 的中点， DM 平分ADC ，且ADC=110，则MAB=（ ）A30 B35 C45 D6010 （3.00 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点B（3 ，0） 、点 C（4，y 1） ，若点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为4a；若1x 24，则 0y 25a；若 y2y 1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为 1 和其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二
4、、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）11 （3.00 分）已知圆柱的底面积为 60cm2，高为 4cm，则这个圆柱体积为 cm312 （3.00 分）函数 y= 的自变量 x 取值范围是 13 （3.00 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ a，3） ，点 B 的坐标是（4，b） ，若点 A 与点 B 关于原点 O 对称，则 ab= 14 （3.00 分）在 ABC 中，C=90，AB=10 ，且 AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 15 （3.00
5、 分）若 2x=5，2 y=3，则 22x+y= 16 （3.00 分）已知 = + ，则实数 A= 17 （3.00 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2 ，将 RtABC 绕点A 逆时针旋转 30后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积为 18 （3.00 分）已知直线 y=kx（k0）经过点（12，5） ，将直线向上平移m（m0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） ，则 m 的取值范围为
6、三、解答题（本大题共 10 小题，共 66 分）19 （4.00 分）求值：（ 1） 2018+|1 |20 （4.00 分）解方程： =121 （5.00 分）已知： x2y2=12，x+y=3，求 2x22xy 的值22 （6.00 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离 （参考数据：2.449 ，结果保留整数）23 （7.00 分）九年级一班开展了“ 读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷
7、设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数分布表和扇形统计图类别 频数（人数） 频率小说 16 戏剧 4散文 a 其他 b合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出 a，b，m 的值；（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的 2 人恰好乙和丙的概率24 （7.00 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接
8、 CD，过 E 作 EFDC 交 BC 的延长线于 F（1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形；（2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度25 （7.00 分）某学校计 划购买排球、篮球，已知购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用 为 180 元；3 个排球与 2 个篮球的总费用为 420 元（1）求购买 1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共 60 个，并且篮球的数量不超过排球数量的 2倍求至 少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？26 （8.00 分）如图， A（4，3）是反比例函
9、数 y= 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A 作 ABx 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比例函数y= 的图象于点 P（1）求反比例函数 y= 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积27 （9.00 分）如图， AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合） ，作 EC OB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC 2=CECP；（3）当 AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度28 （9.00 分）如图，抛
10、物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 y=x+m 与直线 BC 交于点 E，与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值；（3）点 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，直接写出点 D 的坐标；若BCD 是锐角三角形，直接写出点 D 的纵坐标 n 的取值范围2018 年黑龙江省大庆市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1 （3.00 分） 2cos
11、60=（ ）A1 B C D【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案【解答】解：2cos60=2 =1故选：A2 （3.00 分）一种花粉颗粒直径约为 0.0000065 米，数字 0.0000065 用科学记数法表示为（ ）A0.65 105 B6510 7 C6.5 106 D6.510 5【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：数字 0.0000065 用科学记数法表示为 6.5106故选：C3 （3
12、.00 分）已知两个有理数 a，b ，如果 ab0 且 a+b0，那么（ ）Aa 0 ，b0Ba 0 ，b0C a、b 同号Da、b 异号，且正数的绝对值较大【分析】先由有理数的乘法法则，判断出 a，b 异号，再用有理数加法法则即可得出结论【解答】解：ab0，a ，b 异号，a +b0 ，正数的绝对值较大，故选：D4 （3.00 分）一个正 n 边形的每一个外角都是 36，则 n=（ ）A7 B8 C9 D10【分析】由多边形的外角和为 360结合每个外角的度数，即可求出 n 值，此题得解【解答】解：一个正 n 边形的每一个外角都是 36，n=36036=10故选：D5
13、 （3.00 分）某商品打七折后价格为 a 元，则原价为（ ）Aa 元 B a 元 C30%a 元 D a 元【分析】直接利用打折的意义表示出价格进而得出答案【解答】解：设该商品原价为：x 元，某商品打七折后价格为 a 元，原价为：0.7x=a ，则 x= a（元） 故选：B6 （3.00 分）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“ 创” 字所在的面相对的面上标的字是（ ）A庆 B力 C大 D魅【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“建”
14、与“力”是相对面，“创”与“庆”是相对面，“魅”与“大”是相对面故选：A7 （3.00 分）在同一直角坐标系中，函数 y= 和 y=kx3 的图象大致是（ ）A B C D【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k 0，所以分 k0 和 k0 两种情况讨论当两函数系数 k 取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案【解答】解：分两种情况讨论：当 k0 时，y=kx 3 与 y 轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限；当 k0 时，y=kx 3 与 y 轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限故选：B8 （3.00
15、分）已知一组数据：92，94，98，91，95 的中位数为 a，方差为 b，则 a+b=（ ）A98 B99 C100 D102【分析】首先求出该组数据的中位数和方差，进而求出答案【解答】解：数据：92，94，98，91，95 从小到大排列为91，92，94 ， 95，98，处于中间位置的数是 94，则该组数据的中位数是 94，即 a=94，该组数据的平均数为 92+94+98+91+95=94，其方差为 （9294） 2+（9494） 2+（98 94） 2+（ 9194） 2+（95 94） 2=6，所以 b=6所以 a+b=94+6=100故选：C9 （3.00 分）如图，
16、B= C=90 ，M 是 BC 的中点， DM 平分ADC ，且ADC=110，则MAB=（ ）A30 B35 C45 D60【分析】作 MNAD 于 N，根据平行线的性质求出DAB，根据角平分线的判定定理得到MAB= DAB，计算即可【解答】解：作 MNAD 于 N，B= C=90，ABCD，DAB=180 ADC=70 ，DM 平分 ADC，MN AD，MCCD，MN=MC，M 是 BC 的中点，MC=MB，MN=MB，又 MNAD ， MBAB，MAB= DAB=35 ，故选：B10 （3.00 分）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（1，0） 、点B（
17、3 ，0） 、点 C（4，y 1） ，若点 D（x 2，y 2）是抛物线上任意一点，有下列结论：二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为4a；若1x 24，则 0y 25a；若 y2y 1，则 x24；一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为 1 和其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】利用交点式写出抛物线解析式为 y=ax22ax3a，配成顶点式得y=a（x1） 24a，则可对进行判断；计算 x=4 时，y=a51=5a ，则根据二次函数的性质可对进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对进行判断；由于 b=2a，c=3a ，则方程 cx2+bx+a=0
18、化为3ax 22ax+a=0，然后解方程可对进行判断【解答】解：抛物线解析式为 y=a（x +1） （x3） ，即 y=ax22ax3a，y=a（x 1） 24a，当 x=1 时，二次函数有最小值 4a，所以正确；当 x=4 时，y=a51=5a，当1x 24，则4ay 25a，所以错误；点 C（1，5a）关于直线 x=1 的对称点为（ 2，5a ） ，当 y2y 1，则 x24 或 x2，所以错误；b=2a，c=3a，方程 cx2+bx+a=0 化为3ax 22ax+a=0，整理得 3x2+2x1=0，解得 x1=1，x 2= ，所以正确故选：B二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分
19、，共 24 分）11 （3.00 分）已知圆柱的底面积为 60cm2，高为 4cm，则这个圆柱体积为 240 cm 3【分析】根据圆柱体积=底面积 高，即可求出结论【解答】 解：V=Sh=604=240（cm 3） 故答案为：24012 （3.00 分）函数 y= 的自变量 x 取值范围是 x3 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0 可知：3x0，解得 x 的范围【解答】解：根据题意得：3x0，解得：x3故答案为：x313 （3.00 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ a，3） ，点 B 的坐标是（4，b） ，若点 A 与点 B 关于原点 O 对称，则 ab= 12 【分
20、析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案 来源:学, 科,网【解答】解：点 A 的坐标为（a，3） ，点 B 的坐标是（4，b ） ，点 A 与点 B 关于原点 O 对称，a=4，b= 3，则 ab=12故答案为：1214 （3.00 分）在 ABC 中，C=90，AB=10 ，且 AC=6，则这个三角形的内切圆半径为 2 【分析】先 利用勾股定理计算出 BC=8，然后利用直角三角形内切圆的半径=（a、b 为直角边， c 为斜边）进行计算【解答】解：C=90 ， AB=10，AC=6，BC= =8，这个三角形的内切圆半径= =2故答案为 215 （3.00 分）若 2x
21、=5，2 y=3，则 22x+y= 75 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案【解答】解：2 x=5，2 y=3，2 2x+y=（2 x） 22y=523=75故答案为：7516 （3.00 分）已知 = + ，则实数 A= 1 【分析】先计算出 + = ，再根据已知等式得出 A、B 的方程组，解之可得 【解答】解： += += ， = + ， ，解得： ，故答案为：117 （3.00 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=2 ，将 RtABC 绕点A 逆时针旋转 30后得到 RtADE，点 B 经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分
22、的面积为 【分析】先根据勾股定理得到 AB=2 ，再根据扇形的面积公式计算出 S 扇形ABD，由旋转的性质得到 RtADERtACB ，于是 S 阴影部分 =SADE +S 扇形 ABDSABC=S 扇形 ABD【解答】解：ACB=90，AC=BC=2，AB=2 ，S 扇形 ABD= = 又RtABC 绕 A 点逆时针旋转 30后得到 RtADE，RtADERtACB，S 阴影部分 =SADE +S 扇形 ABDSABC =S 扇形 ABD= 故答案为： 18 （3.00 分）已知直线 y=kx（k0）经过点（12，5） ，将直线向上平移m（m0）个单位，若平移后得到
23、的直线与半径为 6 的O 相交（点 O 为坐标原点） ，则 m 的取值范围为 m 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答【解答】解：把点（12，5）代入直线 y=kx 得，5=12k，k= ；由 y= x 平移平移 m（m0）个单位后得到的直线 l 所对应的函数关系式为y= x+m（m0） ，设直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， （如下图所示）当 x=0 时，y=m；当 y=0 时， x= m，A（ m，0） ，B（0，m） ，即 OA= m， O B=m；在 R
24、tOAB 中，AB= ，过点 O 作 ODAB 于 D，S ABO = ODAB= OAOB， OD = ，m0，解得 OD= ，由直线与圆的位置关系可知 6，解得 m 故答案为：m 三、解答题（本大题共 10 小题，共 66 分）19 （4.00 分）求值：（ 1） 2018+|1 |【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案【解答】解：原式=1+ 12= 220 （4.00 分）解方程： =1【分析】方程两边都乘以 x（x +3）得出方程 x1+2x=2，求出方程的解，再代入x（x +3）进行检验即可【解答】解：两边都乘以 x（x +3） ，得：x 2（x +3）=x（x
25、+3） ，解得：x= ， 来源:Z。xx 。k.Com检验：当 x= 时，x （x+3）= 0，所以分式方程的解为 x= 21 （5.00 分）已知： x2y2=12，x+y=3，求 2x22xy 的值【分析】先求出 xy=4，进而求出 2x=7，而 2x22xy=2x（xy） ，代入即可得出结论【解答】解：x 2y2=12，（x+y ） （xy ）=12，x+y=3，xy=4，+得，2x=7，2x 22xy=2x（xy）=74=28 22 （6.00 分）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P
26、的南偏东45方向的 B 处，求此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离 （参考数据：2.449 ，结果保留整数）来源:Zxxk.Com【分析】过点 P 作 PCAB ，则在 RtAPC 中易得 PC 的长，再在直角BPC 中求出 PB【解答】解：作 PCAB 于 C 点，APC=30，BPC=45 AP=80（海里） 在 RtAPC 中， cosAPC= ，PC=PAcosAPC=40 （海里） 在 RtPCB 中，cos BPC= ，PB= = =40 98（海里） 答：此时轮船所在的 B 处与灯塔 P 的距离是 98 海里23 （7.00 分）九年级一班开展了“ 读一本好书”的活动，班委会
27、对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数分布表和扇形统计图类别 频数（人数） 频率小说 16 戏剧 4散文 a 其他 b合计 1根据图表提供的信息，解答下列问题：（1）直接写出 a，b，m 的值；（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出 2 名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的 2 人恰好乙和丙的概率【分析】 （1）先根据戏剧的人数及其所占百分比可得总人数，再用
28、总人数乘以散文的百分比求得其人数，根据各类别人数之和等于总人数求得其他类别的人数，最后用其他人数除以总人数求得 m 的值；（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率【解答】解：（1）被调查的学生总人数为 410%=40 人，散文的人数 a=4020%=8，其他的人数 b=40（16+4+8）=12 ，则其他人数所占百分比 m%= 100%=30%，即 m=30；（2）画树状图，如图所示：所有等可能的情况有 12 种，其中恰好是丙与乙的情况有 2 种，所以选取的 2 人恰好乙和丙的概率为 = 24 （7.00 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，D、
29、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 CD，过 E 作 EFDC 交 BC 的延长线于 F（1）证明：四边形 CDEF 是平行四边形；（2）若四边形 CDEF 的周长是 25cm，AC 的长为 5cm，求线段 AB 的长度【分析】 （1）由三角形中位线定理推知 EDFC ，2DE=BC ，然后结合已知条件“EFDC” ，利用两组对边相互平行得到四边形 DCFE 为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到 AB=2DC，即可得出四边形 DCFE 的周长=AB+BC，故 BC=25AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】 （1）证明：D 、E 分别是 AB、AC 的中点
30、，F 是 BC 延长线上的一点，ED 是 RtABC 的中位线，EDFCBC=2DE，又 EFDC，四边形 CDEF 是平行四边形；（2）解：四边形 CDEF 是平行四边形；DC=EF，DC 是 RtABC 斜边 AB 上的中线，AB=2DC，四边形 DCFE 的周长=AB+BC，四边形 DCFE 的周长为 25cm，AC 的长 5cm，BC=25 AB，在 RtABC 中，ACB=90，AB 2=BC2+AC2，即 AB2=（25 AB） 2+52，解得，AB=13cm ，25 （7.00 分）某学校计划购买排球、篮球，已知购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用为 180 元；3 个排球与
31、2 个篮球的总费用为 420 元（1）求购买 1 个排球、1 个篮球的费用分别是多少元？（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共 60 个，并且篮球的数量不超过排球数量的 2 倍求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？【分析】 （1）根据购买 1 个排球与 1 个篮球的总费用为 180 元；3 个排球与 2个篮球的总费用为 420 元列出方程组，解方程组即可；（2）根据购买排球和篮球共 60 个，篮球的数量不超过排球数量的 2 倍列出不等式 ，解不等式即可【解答】解：（1）设每个排球的价格是 x 元，每个篮球的价格是 y 元，根据题意得： ，解得： ，所以每个排球的价格是
32、60 元，每个篮球的价格是 120 元；（2）设购买排球 m 个，则购买篮球（60m ）个根据题意得：60m2m，解得 m20，又排球的单价小于蓝球的单价，m=20 时，购买排球、篮球总费用的最大购买排球、篮球总费用的最大值=2060 +40120=6000 元26 （8.00 分）如图， A（4，3）是反比例函数 y= 在第一象限图象上一点，连接 OA，过 A 作 ABx 轴，截取 AB=OA（B 在 A 右侧） ，连接 OB，交反比例函数y= 的图象于点 P（1）求反比例函数 y= 的表达式；（2）求点 B 的坐标；（3）求OAP 的面积【分析】 （1）将点 A 的坐标代入解析式求解可得；
33、（2）利用勾股定理求得 AB=OA=5，由 ABx 轴即可得点 B 的坐标；（3）先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点 P的坐标，再利用割补法求解可得【解答】解：（1）将点 A（4，3）代入 y= ，得：k=12，则反比例函数解析式为 y= ；（2）如图，过点 A 作 ACx 轴于点 C，则 OC=4、AC=3，OA= =5，ABx 轴，且 AB=OA=5，点 B 的坐标为（9，3） ；（3）点 B 坐标为（9， 3） ，OB 所在直线解析式为 y= x，由 可得点 P 坐标为（6，2） ，过点 P 作 PDx 轴，延长 DP 交 AB 于点 E，则点 E 坐
34、标为（6，3） ，AE=2、PE=1、PD=2 ，则OAP 的面积= （2+6）3 62 21=527 （9.00 分）如图， AB 是O 的直径，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合） ，作 EC OB，交O 于点 C，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，作 AFPC 于点 F，连接 CB（1）求证：AC 平分FAB；（2）求证：BC 2=CECP；（3）当 AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度【分析】 （1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明CBE CPB，可得 = 解决问题；（3）作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3
35、a，PC=4a，PM=a ，利用相似三角形的性质求出 BM，求出 tanBC M 的值即可解决问题；【解答】 （1）证明：AB 是直径，ACB=90 ，BCP+ACF=90，ACE+BCE=90，BCP= BCE，ACF=ACE ，（2）证明：OC=OB，OCB=OBC，PF 是 O 的切线， CEAB，OCP=CEB=90，PCB+OCB=90，BCE+OBC=90 ，BCE=BCP，CD 是直径，CBD=CBP=90 ，CBECPB， = ，BC 2=CECP；（3）解：作 BMPF 于 M则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a ，MCB+ P=90，P+P
36、BM=90 ，MCB= PBM，CD 是直径，BMPC，CMB= BMP=90，BMC PMB， = ，BM 2=CMPM=3a2，BM= a，tanBCM= = ，BCM=30 ，OCB=OBC=BOC=60，BOD=120 的长= = 28 （9.00 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（4，0） ，与 y 轴交于点 C（0，4） （1）求抛物线的解析式；（2）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 y=x+m 与直线 BC 交于点 E，与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值；（3）点 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 是以
37、 BC 为直角边的直角三角形时，直接写出点 D 的坐标；若BCD 是锐角三角形，直接写出点 D 的纵坐标 n 的取值范围【分析】 （1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）易得 BC 的解析式为 y=x+4，先证明ECF 为等腰直角三角形，作 PHy轴于 H，PGy 轴交 BC 于 G，如图 1，则EPG 为等腰直角三角形，PE= PG，设 P（t ，t 24t+3） （1t3） ，则 G（t ， t+3） ，接着利用 t 表示PF、 PE，所以 PE+EF=2PE+PF= t2+5 t，然后利用二次函数的性质解决问题；（3）如图 2，抛物线的对称轴为直线 x=点 D 的纵坐标的取值范围由于
38、BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形有 4+（ y3） 2+1+y2=18，解得 y1=，y 2= ，得到此时 D 点坐标为（ ， ）或（ ， ） ，然后结合图形可确定BCD 是锐角三角形时点 D 的纵坐标的取值范围【解答】解：（1）把 B（ 4，0） ，C （0，4）代入 y=x2+bx+c，得，解得 ，抛物线的解析式为 y=x25x+4；（2）易得 BC 的解析式为 y=x+4，直线 y=x+m 与直线 y=x 平行，直线 y=x+4 与直线 y=x+m 垂直，CEF=90，ECF 为等腰直角三角形，作 PH y 轴于 H，PG y 轴交 BC 于 G，如图 1，EPG 为等腰直角三角形
39、，PE=PG，设 P（ t，t 25t+4） （1t 4） ，则 G（t，t+4） ，PF= PH= t，PG=t+4 （t 25t+4）=t 2+4t，来源:学。科。网PE= PG= t2+2 t，PE+EF=PE +PE+PF=2PE+PF= t2+4 t+ t= t2+5 t= （t ） 2+ ，当 t= 时，PE+EF 的最大值为 ；（3）如图 2，抛物线的对称轴为直线 x= ，设 D（ ，y） ，则 BC2=42+42=32，DC 2=（ ） 2+（y4 ） 2，BD 2=（4 ）2+y2= +y2，当BCD 是以 BC 为直角边，BD 为斜边的直角三角形时， BC2+DC2=BD2，即32+（ ） 2+（y4） 2= +y2，解得 y=5，此时 D 点坐标为（ ， ） ；当BCD 是以 BC 为直角边，CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB2=DC2，即 32+y2=（ ） 2+（y4） 2，解得 y=1，此时 D 点坐标为（ ， ） ；综上所述，符合条件的点 D 的坐标是（ ， ）或（ ， ） ；当BCD 是以 BC 为斜边的直角三角形时，DC 2+DB2=BC2，即（ ） 2+（y 4） 2+y2=32，解得 y1= ，y 2= ，此时 D 点坐标为（ ， ）或（ ， ） ，所以 BCD 是锐角三角形，点 D 的纵坐标的取值范围为 y 或 y