1、课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(限时:30 分钟)|夯实基础|1. 抛物线 y=(x-1)2+2 的顶点坐标是 ( )A. (-1,2) B. (1,2)C. (1,-2) D. (1,2)2. 2018无锡滨湖区一模 将抛物线 y=x2-4x-3 向左平移 3 个单位,再向上平移 5 个单位,得到抛物线的表达式为 ( )A. y=(x+1)2-2 B. y=(x-5)2-2C. y=(x-5)2-12 D. y=(x+1)2-12图 K14-13. 2018岳阳 在同一直角坐标系中,二次函数 y=x2 与反比例函数 y= (x0)的图象如图 K14-1 所示,若两个函数图象上1有三个
2、不同的点 A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中 m 为常数,令 =x1+x2+x3,则 的值为 ( )A. 1 B. mC. m2 D. 14. 2018泸州 已知二次函数 y=ax2+2ax+3a2+3(其中 x 是自变量),当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,且- 2x1 时,y 的最大值为 9,则 a 的值为 ( )A. 1 或-2 B. - 或2 2C. D. 125. 2018菏泽 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图 K14-2 所示,则一次函数 y=bx+a 与反比例函数 y= 在同一平+面直角坐标系中的图象大致是 ( )图 K14-2 图 K14-
3、36. 2018白银 如图 K14-4 是二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a0)图象的一部分,与 x 轴的交点 A 在点(2,0) 和(3,0)之间,对称轴是直线 x=1,关于下列说法: ab0,a+bm(am+b)(m 为常数), 当- 10,其中正确的是 ( )图 K14-4A. B. C. D. 7. 2018广州 已知二次函数 y=x2,当 x0 时,y 随 x 的增大而 (填“ 增大”或“减小”). 8. 2018淮阴中学开明分校期中 写出一个二次函数,使得它在 x=-1 时取得最大值 2,它的表达式可以为 . 图 K14-59. 根据图 K14-5 中的抛物线可
4、以判断: 当 x 时,y 随 x 的增大而减小; 当 x= 时,y 有最小值. 10. 2018淄博 已知抛物线 y=x2+2x-3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),将这条抛物线向右平移 m(m0)个单位,平移后的抛物线与 x 轴交于 C,D 两点(点 C 在点 D 的左侧 ). 若 B,C 是线段 AD 的三等分点,则 m 的值为 . 11. 求二次函数 y=-2x2-4x+1 图象的顶点坐标,并在下列坐标系内画出函数的大致图象 . 说出此函数的三条性质. 图 K14-612. 如图 K14-7,抛物线 y=ax2+bx+ 与直线 AB 交于点 A(-1,0),B
5、4, ,点 D 是抛物线上 A,B 两点间部分的一个动点 (不与52 52点 A,B 重合), 直线 CD 与 y 轴平行,交直线 AB 于点 C,连接 AD,BD. (1)求抛物线的解析式;(2)设点 D 的横坐标为 m,ADB 的面积为 S,求 S 关于 m 的函数关系式,并求出当 S 取最大值时的点 C 的坐标. 图 K14-7|拓展提升|13. 2018陕西 对于抛物线 y=ax2+(2a-1)x+a-3,当 x=1 时 ,y0,则这条抛物线的顶点一定在 ( )A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限图 K14-814. 2018安徽 如图 K14-8,直线 l1,
6、l2 都与直线 l 垂直,垂足分别为 M,N,MN=1,正方形 ABCD 的边长为 ,对角线 AC 在2直线 l 上,且点 C 位于点 M 处 ,将正方形 ABCD 沿 l 向右平移,直到点 A 与点 N 重合为止,记点 C 平移的距离为 x,正方形ABCD 的边位于 l1,l2 之间部分的长度和为 y,则 y 关于 x 的函数图象大致为 ( )图 K14-915. 如图 K14-10,在平面直角坐标系 xOy 中,A(-3,0), B(0,1),形状相同的抛物线 Cn(n=1,2,3,4,)的顶点在直线 AB 上,其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2,3,5,8,13,根据上述规律,抛
7、物线 C2 的顶点坐标为 ;抛物线 C8 的顶点坐标为 . 图 K14-1016. 我们把 a,b 中较大的数记作 maxa,b,若直线 y=kx+1 与函数 y=maxx2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k(k0)的图象只有两个公共点,则 k 的取值范围是 . 17. 一次函数 y= x 的图象如图 K14-11 所示,它与二次函数 y=ax2-4ax+c 的图象交于 A,B 两点(其中点 A 在点 B 的左侧),34与这个二次函数图象的对称轴交于点 C. (1)求点 C 的坐标. (2)设二次函数图象的顶点为 D. 若点 D 与点 C 关于 x 轴对称,且ACD 的面积等于 3,
8、求此二次函数的关系式. 若 CD=AC,且ACD 的面积等于 10,求此二次函数的关系式. 图 K14-11参考答案1. D 2. A3. D 解析 根据题意可得 A,B,C 三点中有两个在二次函数图象上 ,一个在反比例函数图象上,不妨设 A,B 两点在二次函数图象上,点 C 在反比例函数图象上,二次函数 y=x2 图象的对称轴是 y 轴,x1+x2=0. 点 C 在反比例函数 y= (x0)图象上,1x3= ,1=x1+x2+x3= . 1故选 D. 4. D 解析 原函数可化为 y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为直线 x=-1,当 x2 时,y 随 x 的增大而增大,所以 a0,
9、抛物线开口向上,因为-2x1 时,y 的最大值为 9,结合对称轴及增减性可得 ,当 x=1 时,y=9,代入可得,a 1=1,a2=-2,又因为 a0,所以a=1. 5. B 解析 抛物线开口向上, a0;抛物线对称轴在 y 轴右侧, b0;再由二次函数的图象看出,当 x=1 时,y=a+b+c0,一次函数 y=bx+a 的图象经过第一,二,四象限; a+b+c0,ab0,a+2a-1+a-30. 解得:a1. - =- ,2 2-12= = ,4-24 4(-3)-(2-1)24 -8-14抛物线顶点坐标为: - , ,2-12 -8-14a1,- 1 解析 当 k1 时,如图 (图中实线)
10、,32设直线 y=kx+1 与 x 轴的交点 C 的坐标为 - ,0 ,1 -k,1C 在 B 的右侧 ,此时,直线 y=kx+1 与函数 y=maxx2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k(k0)的图象只有两个公共点;当 k=1 时,如图 (图中实线),此时,直线 y=x+1 与函数 y=maxx2+(k-1)x-k,-x2-(k-1)x+k(k0)的图象有三个公共点,不符合题意;当 0k,1- 0,2k- 1. 32故答案为:01. 3217. 解:(1)y=ax 2-4ax+c=a(x-2)2+c-4a,二次函数图象的对称轴为直线 x=2. 当 x=2 时,y= 2= ,C 点坐
11、标为 2, . 34 32 32(2)若点 D 和点 C 关于 x 轴对称 ,则点 D 坐标为 2,- ,CD=3. 32ACD 的面积等于 3,点 A 到 CD 的距离为 2,点 A 的横坐标为 0(点 A 在点 B 左侧) . 点 A 在直线 y= x 上, 点 A 的坐标为 (0,0). 34将点 A,点 D 坐标代入二次函数解析式可求得 =38,=0,二次函数解析式为 y= x2- x. 38 32若 CD=AC,如图,设 CD=AC=x(x0). 过 A 点作 AHCD 于 H,则 AH= AC= x,45 45SACD= CDAH= x x=10. 12 1245x0,x=5. D 点坐标为 2, 或 2,- ,A 点坐标为 -2,- . 132 72 32将 A -2,- ,D 2,- 代入二次函数 y=ax2-4ax+c 中可求得 二次函数解析式为 y= x2- x-3,或将 A -2,- ,D 2,32 72 =18,=-3, 18 12 32 132代入二次函数 y=ax2-4ax+c 中,求得 =-12,=92, 二次函数解析式为 y=- x2+2x+ . 12 92综上可得,二次函数关系式为:y= x2- x-3 或 y=- x2+2x+ . 18 12 12 92