1、2018 年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷一、选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分每小题只有一个正确选项）1 （3 分）5 的相反数是（ ）A 5 B5 C D2 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A B C D3 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 3+a3=2a6 Ba 6a3=a3 Ca 3a2=a6 D （2a 2） 3=8a64 （3 分）函数 y=x2 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5 （3 分）如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，那么A（ 2， 5）的对应点 A的坐标是
2、（ ）A （2 ，5 ） B （5，2） C （2， 5） D （5，2）6 （3 分）a ，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （3 分）分解因式：ax 2ay2= 8 （3 分）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高速公路总里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科 学记数法表示为 9 （3 分）已知一个样本 0，1，x，1，3 它们的平均数是 2，则这个样本的中位数是 10 （
3、3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在直线 a、b 上，且a b，1=60，则2 的度数为 11 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点若AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 12 （3 分）如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰 三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上） ，则剪下的等腰三角形的面积为 三、 （本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 30 分）13 （3 分）先化简，再求值：（x +2） 24x（x +1） ，其中
4、 x= 14 （3 分）如图，AOB，COD 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 上，（1）求证：AOCBOD；（2）若 AD=3，BD=1 ，求 CD15 （6 分）解方程： + =116 （6 分）甲、乙同时出发前往 A 地，甲、乙两人运动的路程 y（米）与运动时间 x 的函数图象如图所示，根据图象求出发多少分钟后甲追上乙？17 （6 分）如图矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE=EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹） （1）在图 1 中，画出DAE 的平分线；（2）在图 2 中，画出AEC 的平分线18 （6 分）某商场计划购进 A、B 两种商
5、品，若购进 A 种商品 20 件和 B 种商品15 件需 380 元；若购进 A 种商品 15 件和 B 种商品 10 件需 280 元（1）求 A、B 两种商品的进价分别是多少元？（2）若购进 A、B 两种商品共 100 件，总费用不超过 900 元，问最多能购进 A种商品多少件？四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）19 （8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东
6、 30方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？20 （8 分）已知矩形 ABCD 的长 AB=2，AB 边与 x 轴重合，双曲线 y= 在第一象限内经过 D 点以及 BC 的中点 E来源:Z.xx.k.Com（1）求 A 点的横坐标；（2）连接 ED，若四边形 ABED 的面积为 6，求双曲线的函数关系式21 （8 分）如图，在ABC 中，BAC=45 ，ADBC 于 D，将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将 ABD 沿 AB 折叠为ABG，延长 FC 和 GB 相交于点 H（1）求证：四边形 AFHG 为正方形；（2
7、）若 BD=6，CD=4 ，求 AB 的长五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）22 （9 分）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设 A舞蹈，B音乐，C绘画， D书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图 1，2 所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？（2）请将两幅统计图补充完整；（3）若本校一共有 2000 名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；（4）若调查到喜欢“书法”的 4 名学生中有 2 名男生，2 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列
8、表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率23 （9 分）如图，O 是 ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC于点 D，过点 E 作直线 lBC（1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ABC 的平分线 BF 交 AD 于点 F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若 DE=4，DF=3，求 AF 的长六、 （本大题共 12 分）24 （12 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且AD=5， CD=8
9、，将 RtACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点试探究：在 抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由2018 年江西省宜春市高安市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分每小题只有一个正确选项）1 （3 分）5 的相反数是（ ）A 5 B5 C D【解答】解：5 的相反数是 5故选：B2 （3 分）下列图案中，既是轴对称图形又是
10、中心对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、不是轴对称图形是中心对称图形，故错误；B、是轴对称图形，又是中心对称图形故正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形故错误；D、是轴对称图形不是中心对称图形，故错误故选：B3 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa 3+a3=2a6 Ba 6a3=a3 Ca 3a2=a6 D （2a 2） 3=8a6【解答】解：A、a 3+a3=2a3，此选项错误；B、a 6a3=a9，此选项错误；C、 a3a2=a5，此选项错误；D、 （2a 2） 3=8a6，此选项正确；故选：D4 （3 分）函数 y=x2 的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象
11、限 D第四象限【解答】解：一次函数 y=x2，k=10，函数图象经过第一三象限，b=20，函数图象与 y 轴负半轴相交，函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限故选：B5 （3 分）如图，将线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，那么A（ 2， 5）的对应点 A的坐标是（ ）A （2 ，5 ） B （5，2） C （2， 5） D （5， 2）【解答】解：线段 AB 绕点 O 顺时针旋转 90得到线段 AB，ABOABO，AOA=90，AO=AO作 ACy 轴于 C，ACx 轴于 C，ACO=ACO=90COC=90，AOACOA=COC COA ，AOC=AOC在ACO 和AC
12、O 中，ACO ACO（AAS） ，AC=AC，CO=COA（2 ，5） ，AC=2，CO=5，AC=2，OC=5，A（5，2） 故选：B6 （3 分）a ，b，c 为常数，且（ac） 2a 2+c2，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 根的情况是（ ）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D有一根为 0【解答】解：（ac） 2=a2+c22aca 2+c2，ac 0来源:Zxxk.Com在方程 ax2+bx+c=0 中，=b 24ac4ac0，方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根故选：B二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）7 （3
13、 分）分解因式：ax 2ay2= a（x+y ） （xy） 【解答】解：ax 2ay2，=a（x 2y2） ，=a（x+y） （x y） 故答案为：a（x+y） （xy） 8 （3 分）我国高速公路发展迅速，据报道，到目前为止，全国高 速公路总里程约为 10.8 万千米，10.8 万用科学记数法表示为 1.08 105 【解答】解：10.8 万=1.08 105故答案为：1.0810 59 （3 分）已知一个样本 0，1，x，1，3 它们的平均数是 2，则这个样本的中位数是 1 【解答】解：0，1，x，1，3 的平均数是 2，x=7，把 0，1，7 ， 1，3 按大小顺序排列为 1，0，1，3
14、，7，个样本的中位数是 1，故答案为 110 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A、C 分别在直线 a、b 上，且a b，1=60，则2 的度数为 60 【解答】解：延长 AB 交直线 b 于点 E，a b ，AEC=1=60，ABCD，2=AEC=60 ，故答案为：6011 （3 分）如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点若AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 20 【解答】解：O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，OM= CD= AB=2.5，AB=5，AD=12，AC= =13，O 是矩形 ABCD 的对
15、角线 AC 的中点，BO= AC=6.5，四边形 ABOM 的周长为 AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故答案为：2012 （3 分）如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上） ，则剪下的等腰三角形的面积为 8cm 2 或2 cm2 或 2 cm2 【解答】解：分三种情况计算：（1）当 AE=AF=4 时，如图：S AEF = AEAF= 44=8（cm 2） ；（2）当 AE=EF=4 时，如图：则 BE=54=1，BF= = = ，S AEF
16、 = AEBF= 4 =2 （cm 2） ；（3）当 AE=EF=4 时，如图：则 DE=74=3，DF= = = ，S AEF = AEDF= 4 =2 （cm 2） ；故答案为：8 或 2 或 2 三、 （本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 30 分）13 （3 分）先化简，再求值：（x +2） 24x（x +1） ，其中 x= 【解答】解：原式=x 2+4x+44x24x=3x2+4，当 x= 时，原式=6+4=2 14 （3 分）如图，AOB，COD 是等腰直角三角形，点 D 在 AB 上，（1）求证：AOCBOD；（2）若 AD=3，BD=1 ，求 CD【解答】 （1）证明：AO
17、B，COD 是等腰直角三角形，OC=OD，OA=OB，AOB=COD=90 ，AOC=BOD=90 AOD，在AOC 和BOD 中AOC BOD（SAS） ；（2）解：AOB，COD 是等腰直角三角形，OC=O D，OA=OB ，AOB=COD=90，B= OAB=45，AOC BOD，BD=1，AC=BD=1，CAO=B=45，OAB=45， CAD=45+45=90，在 RtCAD 中，由勾股定理得：CD= = = 15 （6 分）解方程： + =1【解答】解：原方程变形为：（x2） 2+4=x244x+4+4=4x=3，经检验下是原方程的解，所以原方程的解是 x=316 （6 分）甲、乙
18、同时出发前往 A 地，甲、乙两人运动的路程 y（米）与运动时间 x 的函数图象如图所示，根据图象求出发多少分钟后甲追上乙？【解答】解：由题意甲的函数解析式为 y=15x，乙的函数解析式为 y=11x+10，解得 x=2.5，2.5 分钟后两人相遇17 （6 分）如图矩形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE=EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹） （1）在图 1 中，画出DAE 的平分线；（2）在图 2 中，画出AEC 的平分线【解答】解：（1）如图 1 所示；（2）如图 2 所示18 （6 分）某商场计划购进 A、B 两种商品，若购进 A 种商品 20
19、件和 B 种商品15 件需 380 元；若购进 A 种商品 15 件和 B 种商品 10 件需 280 元（1）求 A、B 两种商品的进价分别是多少元？（2）若购进 A、B 两种商品共 100 件，总费用不超过 900 元，问最多能购进 A种商 品多少件？【解答】解：（1）设 A 商品的进价是 a 元，B 商品的进价是 b 元，根据题意得： ，解得： ，答：A 商品的进价是 16 元，B 商品的进价是 4 元；（2）设购进 A 种商品 x 件，则购进 B 种商品（100x）件，根据题意得：16x+4（100 x）900，解得：x41 ，x 为整数，x 的最大整数解为 41，最多能购进 A 种商
20、品 41 件四、 （本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）19 （8 分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 50 海里的速度向正东方航行，在 A 处测得灯塔 P 在北偏东 60方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东 30方向上（1）求APB 的度数；（2）已知在灯塔 P 的周围 25 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）PAB=30，ABP=120， APB=180PABABP=30来源:学科网（2）作 PH AB 于 HBAP=BPA=30 ，BA
21、=BP=50，在 RtPBH 中，PH=PBsin60=50 =25 ，25 25，海监船继续向正东方向航行是安全的20 （8 分）已知矩形 ABCD 的长 AB=2，AB 边与 x 轴重合，双曲线 y= 在第一象限内经过 D 点以及 BC 的中点 E（1）求 A 点的横坐标；（2）连接 ED，若四边形 ABED 的面积为 6，求双曲线的函数关系式来源:学#科#网 Z#X#X#K【解答】解：（1）设 A（a，0） ，则 B（a+2，0） ，C （a +2，2） ，D（a，2） ，E 设 BC 的中点E （a+2， b） ，双曲线 y= 在第一象限内经过 D 点以及 BC 的中点 E，ab=（a
22、+2） b，a=2，A（2，0 ） ；（2）AD=b，BE= b，AB=2，四边形 ABED 的面积为 6，S 四边形 ABED= 2（b+ b）=6，b=4，D（2，4） ，双曲线 y= 在第一象限内经过 D 点，k=24=8，双曲线的函数关系式为 y= 21 （8 分）如图，在ABC 中，BAC=45 ，ADBC 于 D，将ACD 沿 AC 折叠为ACF，将 ABD 沿 AB 折叠为ABG，延长 FC 和 GB 相交于点 H（1）求证：四边形 AFHG 为正方形；（2）若 BD=6，CD=4 ，求 AB 的长来源:Zxxk.Com【解答】证明：（1）ADBC，ADB=ADC=90；由折叠可
23、知，AG=AF=AD，AGH=AFH=90，BAG= BAD，CAF= CAD，BAG+CAF=BAD + CAD=BAC=45；GAF= BAG+CAF +BAC=90；四边形 AFHG 是正方形，解：（2）四边形 AFHG 是正方形，BHC=90，又 GH=HF=AD，GB=BD=6， CF=CD=4；设 AD 的长为 x，则 BH=GHGB=x6，CH=HF CF=x4在 RtBCH 中，BH 2+CH2=BC2，（x6） 2+（x4） 2=102，解得 x1=12， x2=2（不合题意，舍去） ，AD=12，AB= = =6 五、 （本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）2
24、2 （9 分）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设 A舞蹈，B音乐，C绘画，D书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图 1，2 所示的统计图，且结合图中信息解答下列问题：（1）在这次调查中，共调查了 多少名学生？（2）请将两幅统计图补充完整；（3）若本校一共有 2000 名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；（4）若调查到喜欢“书法”的 4 名学生中有 2 名男生，2 名女生，现从这 4 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率【解答】解：（1）12040%=300（名） ，所以在这次调
25、查中，共调查了 300 名学生；（2）B 类学生人数=30090 12030=60（名） ，A 类人数所占百分比= 100%=30%；B 类人数所占百分比= 100%=20%；统计图为：（3）200020%=400（人） ，所以估计喜欢“ 音乐” 的人数约为 400 人；（4）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中相同性别的学生的结果数为 4，所以相同性别的学生的概率= = 23 （9 分）如图，O 是 ABC 的外接圆，AE 平分BAC 交O 于点 E，交 BC于点 D，过点 E 作直线 lBC（1）判断直线 l 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若ABC 的平分线 BF 交 AD
26、 于点 F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若 DE=4，DF=3，求 AF 的长【解答】解：（1）直线 l 与O 相切理由：如图 1 所示：连接 OEAE 平分BAC，BAE=CAE OEBClBC，OEl 直线 l 与O 相切（2）BF 平分ABC ，ABF=CBF 又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF= BAE+ABF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得 BE=EF=DE+DF=7DBE= BAE，DEB= BEA ，BED AEB ，即 ，解得；AE= AF=AEEF= 7= 六、 （本大题共 12 分）24 （12 分）如图，抛物线 y=x
27、2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B（5，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内取一点 C，作 CD 垂直 X 轴于点 D，链接 AC，且AD=5， CD=8，将 RtACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位，当点 C 落在抛物线上时，求 m 的值；（3）在（2）的条件下，当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E，点 P 是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点 Q，使以点 B、E 、P、Q 为顶点的 四边形是平行四边形？若存在，请出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴分别交于 A（1，0） ，B（5，0）
28、两点， ，解得 ，抛物线解析式为 y=x2+4x+5；（2）AD=5，且 OA=1，OD=6，且 CD=8，C （6，8） ，设平移后的点 C 的对应点为 C，则 C点的纵坐标为 8，代入抛物线解析式可得 8=x2+4x+5，解得 x=1 或 x=3，C点的坐标为（1，8）或（3，8） ，C （6，8） ，当点 C 落在抛物线上时，向右平移了 7 或 9 个单位，m 的值为 7 或 9；（3）y= x2+4x+5=（x2） 2+9，抛物线对称轴为 x=2，可设 P（2 ，t ） ，由（2）可知 E 点坐标为（ 1，8） ，当 BE 为平行四边形的边时，连接 BE 交对称轴于点 M，过 E 作
29、EFx 轴于点F，过 Q 作对称轴的垂线，垂足为 N，如图，则BEF=BMP=QPN，在PQN 和 EFB 中PQN EFB（AAS） ，NQ=BF=OBOF=51=4，设 Q（ x，y） ，则 QN=|x2|，|x2|=4 ，解得 x=2 或 x=6，当 x=2 或 x=6 时，代入抛物线解析式可求得 y=7，Q 点坐标为（2，7）或（ 6， 7） ；当 BE 为对角线时，B（5，0） ，E（1，8 ） ，线段 BE 的中点坐标为（3，4） ，则线段 PQ 的中点坐标为（3，4） ，设 Q（ x，y） ，且 P（2，t） ，x+2=32 ，解得 x=4，把 x=4 代入抛物线解析式可求得 y=5，Q （ 4，5） ；综上可知 Q 点的坐标为（2， 7）或（6 ， 7）或（4，5）