1、24.1.2 垂直于弦的直径,1.理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用 垂径定理进行计算和证明； 2.进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力； 3.通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生 对数学的热爱,问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 【解析】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以两侧半圆折
2、叠后重叠.,观察右图，有什么等量关系？,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AD弧BD， AEBE,AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD,已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E.求证：AEBE，弧AC弧BC，弧AD弧BD.,垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理,判断下列图形，能否使用垂径定理？,【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故 前三个图均不能，仅第四个图可以！,例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8，圆心O到AB的距离为3 ， 求圆O的半径。,O,A,B,【解析】根据题意得， AE=4cm OEAB OE
3、=3cm 在RtOEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm,变式1：AC、BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗？,变式3：EA_, EC=_.,OA=OB,OC=OD,如图，P为O的弦BA延长线上一点，PAAB2，PO5，求O的半径.,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.,【解析】提示作OM 垂直于PB ，连接OA.,答案：,A,画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.,想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分
4、线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.,如图，CD为O的直径，ABCD，EFCD，你能得到什么结论？,弧AE弧BF,圆的两条平行弦所夹的弧相等.,2.（湖州中考）如图，已知O的直径AB弦CD于点E，下 列结论中一定正确的是（ ）,AAEOE BCEDE,CE,COE,DAOC60,B,1（绍兴中考）已知O的半径为5,弦AB的弦心距为3, 则AB的长是( ) A.3 B.4 C.6 D.8,D,3.（安徽中考）如图，O过点B 、C。圆心O在等腰直角ABC的内部，BAC900，OA1，BC6，则O的半径为（ ）A. B. C. D
5、. 【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AOBC，则BD=DC=3. 又ABC为等腰直角三角形，BAC90， 则AD= =3,OD=3-1=2, OB=,4.（毕节中考）如图，AB为O的弦，O的半径为5， OCAB于点D，交O于点C，且CDl，则弦AB的长是 ,5、已知：如图，在以O为圆 心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点. 求证：ACBD. 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE. 所以，ACBD,E,.,A,C,D,B,O,通过本课时的学习，需要我们：1理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程； 能初步应用垂径定理进行计算和证明；2掌握垂径定理的推论,明确理解“知二得三” 的意义.利用垂径定理及其推论解决相应的数学问题.,