1、4.1.2 圆的一般方程,4.1 圆的方程,第四章 圆与方程,复习圆的标准方程,3.圆的标准方程的两个基本要素:是 和 .,1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.其中圆心坐标为C(a,b),半径为r.,2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.,圆的一般方程,研究圆的标准方程,将圆的标准方程展开,化简,整理,可得x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0,取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0.,也就是说:,任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,圆
2、的一般方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,研究二元二次方程表示的图形,再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 左边运用配方法, 得(x+ )2+(y+ )2= ,显然是不是圆方程与是什么样的数 密切相关,(1)当D2+E2-4F0时,式可化为(x+ )2+(y+ )2=( )2,方程表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.,(2)当D2+E2-4F=0时,式可化为(x+ )2+(y+ )2=0,方程只有实数解x=- ,y=- ,表示一个点(- ,- ).,(3)当D2+E2-4F0时,式可化为(x+ )2+(y+ )20,方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.,圆的一般方程,得
3、结论、给定义,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.,我们把D2+E2-4F0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.,圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点:,(1)x2和y2的系数相同,且不等于0 (2)没有xy这样的二次项.,以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的 条件.,必要不充分条件,明确指出了圆心和半径,圆的一般方程,例题分析,例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.,
4、分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法.,解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解, 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0. 所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0.,将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.,方法:待定系数法 和配方法,圆的一般方程,例题分析,圆的一般方程,例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.,解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,
5、其圆心为C(3,2),半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.CPMPkCPkMP=-1,即 =-1.化简得x2+y2+3x-2y-18=0,点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧.,1.补充练习:,课堂练习,注意:圆(x-a)2+(y-b)2=m2的半径是|m|.,圆的一般方程,(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆.求D、E、F的值,(2)求经过三点A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圆的方程.,课时小结,通过本节学习,首先要掌握圆的一般方程,能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化.,其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待定系数法和配方法求解.,若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.,圆的一般方程,