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人教A版高中数学必修二:4.1.1 圆的标准方程课件1

1、4.1.1 圆的标准方程,4.1 圆的方程,第四章 圆与方程,我们在前面学过,在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也能确定一条直线在平面直角坐标系中,如何确定一个圆呢?,复习引入,问题,当圆心位置与半径大小确定后,圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径,引入新课,如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐标 (a,b) 表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b) 的距离,符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法来表示这个集合吗?,符合上述条件的圆的集合:,圆的方程,问题,圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用什么公式表示?

2、,圆的方程,根据两点间距离公式:,则点M、A间的距离为:,即:,是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这个方程的坐标的点都在圆上?,圆的标准方程,点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程,这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上,问题,把这个方程称为圆心为A(a, b),半径长为r 的圆的方程,把它叫做圆的标准方程(standard equation of circle).,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点O(0, 0),将x0,y0和半径 r 带入圆的标准方程:,问题,圆心在坐标原点,半径长为

3、r 的圆的方程是什么?,得:,整理得:,例1 写出圆心为 ,半径长等于5的圆的方程,并判断点 , 是否在这个圆上,解:圆心是 ,半径长等于5的圆的标准方程是:,把 的坐标代入方程 左右两边相等,点 的坐标适合圆的方程,所以点 在这个圆上;,典型例题,把点 的坐标代入此方程,左右两边不相等,点 的坐标不适合圆的方程,所以点 不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢?还是在圆外呢?,点与圆的位置关系,探究,从上题知道,判断一个点在不在某个圆上,只需将这个点的坐标带入这个圆的方程,如果能使圆的方程成立,则在这个圆上,反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢?还是在圆外呢?,点与圆的位置关系,

4、探究,可以看到:点在圆外点到圆心的距离大于半径 r ;,点在圆内点到圆心的距离小于半径 r ,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3),C(2, 8),求它的外接圆的方程,分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆,解:设所求圆的方程是 (1),因为A(5,1), B(7,3),C(2, 8) 都在圆上,所以它们的坐标都满足方程(1)于是,典型例题,所以, 的外接圆的方程 ,典型例题,解此方程组,得:,分析:不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆,三角形有唯一的外接圆,解:,例2 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,3),C(2, 8),求它的外接

5、圆的方程,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2),且圆心C在直线上l:x y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程,分析:已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2),由于圆心C与A, B两点的距离相等,所以圆心C在线段AB的垂直平分线 上又圆心C在直线l 上,因此圆心C是直线l与直线 的交点,半径长等于|CA|或|CB|,解:因为A(1, 1)和B(2, 2),所以线段AB的中点D的坐标,直线AB的斜率:,典型例题,因此线段AB的垂直平分线 的方程是,即,典型例题,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2),且圆心C在直线上l:x y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程,解:,所以圆心C的坐标是,圆心为C的圆的半径长,所以,圆心为C的圆的标准方程是,典型例题,解此方程组,得,例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, 2),且圆心C在直线上l:x y+1=0,求圆心为C的圆的标准方程,解:,知识小结,圆的基本要素,