1、2.3.3 直线与平面垂直的性质,2.3 直线、平面垂直的判定及其性质,第二章 点、直线、平面之间的位置关系,复习回顾,1、直线与平面垂直的定义,2、直线与平面垂直的判定,复习回顾,1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下,如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面,2.请将上述命题用数学符号表示出来.,若ab，a，则b,这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理。现在请同学们交换这个定理的题设和结论，写出新的命题,若a，b，则ab,下面就让我们看看这个命题是否正确？,如图，已知直线a,b和平面，如果a,b那么，直线a,b一定平行吗？,研探新
2、知:,请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.,已知：a， b 求证：ab,分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行,我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法,问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？,答：否定结论推出矛盾肯定结论,引导：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要
3、添加一条辅助线层层推进，得出证明过程如下:,证明：假定b与a不平行 设bO，b是经过点O 与直线a平行的直线， ab，a，b 所以,经过同一点O的两条直线b，b都垂直于平面。 显然这是不可能的 因此，ab,由此，我们得到：,直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行,指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与 “垂直”之间的内在联系。,学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：,从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂
4、足间的距离叫做这个点到这个平面的距离,例题分析,巩固新知:,例1：设直线a,b分别在正方体,中两个不同的平面内，欲使a/b，a,b应满足什么条件？,分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。,解：a，b满足下面条件中的任何 一个，都能使ab， （1）a，b同垂直于正方体一个面； （2）a，b分别在正方体两个相对的 面内且共面； （3）a，b平行于同一条棱； （4）如图，E，F，G，H分别为BC，CC，AA，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。,三垂线定理,在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直,三垂线定理的逆定理,在平面内的一条直线，如果它和这个平面 的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面 内的射影垂直,巩固深化、发展思维,思考:已知平面、和直线a，若， a，则直线a与平面具有什么位置关系？,归纳小结:,本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及点到平面的距离的定义定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法.,