1、 第 2章二次函数单元测试题一选择题（每小题 3分，共 12小题）1下列 y关于 x的函数中，属于二次函数的是（ ）Ay=x1 By=Cy=（x1） 2x 2 Dy=2x 2+12已知函数 y=2mx2+（14m）x+2m1，下列结论错误的是（ ）A当 m=0时，y 随 x的增大而增大B当 m= 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）C当 m=1 时，若 x ，则 y随 x的增大而减小D无论 m取何值，函数图象都经过同一个点3对于抛物线 y=2（x+1） 2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=1：来源:学科网顶点坐标为（1，3） ；x1 时，y 随 x的增大而减小其中正确结论的个数
2、为（ ）A1 B2 C3 D44比较抛物线 y=x2、y=2x 21、y=0.5（x1） 2的共同点，其中说法正确的是（ ）来源:Zxxk.ComA顶点都是原点 B对称轴都是 y轴C开口方向都向上 D开口大小相同5将二次函数 y=x2的图象向下平移 3个单位长度所得的图象解析式为（ ）Ay=（x3） 2 By=（x+3） 2 Cy=x 23 Dy=x 2+36若二次函数 y=x2 6x+c 的图象过 A（1，a） ，B（2，b） ，C（5，c） ，则下列正确的是（ ）Aabc Bacb Cbac Dcab7已知一元二次方程 1（x3） （x+2）=0，有两个实数根 x1和 x2， （x 1x
3、2） ，则下列判断正确的是（ ）A2x 1x 23 Bx 123x 2 C2x 13x 2 Dx 12x 238已知 A（1，y 1） 、B（2，y 2） 、C（3，y 3）在函数 y=5（x+1） 2+3的图象上，则 y1、y 2、y 3的大小关系是（ ）Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 2y 3y 1 Dy 3y 2y 19如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ，下列结论：ab0，b 24，0a+b+c2，0b1，当 x1 时，y0其中正确结论的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个10如图，边长为 1
4、的正方形 ABCD顶点 A（0，1） ，B（1，1） ；一抛物线 y=ax2+bx+c过点 M（1，0）且顶点在正方形 ABCD内部（包括在正方形的边上） ，则 a的取值范围是（ ）A2a1 B2a C1a D1a11如图，函数 y=ax22x+1 和 y=axa（a 是常数，且 a0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A BC D12已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0） 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）来源:Zxxk.ComA BC D二填空题（每小题 3分，共 6小题）13二次函数 y=x（x6）的图象与 x轴交点的横坐标是 来源:Zxxk.Com14函数 y=3（x
5、+2） 2的 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标为 15已知二次函数 y=x22mx（m 为常数） ，当1x2 时，函数值 y的最小值为2，则 m的值是 16如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加 m17某企业因生产转型，二月份产值比一月份下降 20%，转型成功后生产呈现良好上升势头，三、四月份稳步增长，月平均增长率为 x，设该企业一月份产值为 a，则该企业四月份的产值 y关于 x的函数关系式为 18已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线 x=1，经过点（0，1）有以下结论：a+b+c0；b 24ac0；abc0；4a2b+c0；
6、ca1，其中所有正确结论的序号是 三解答题（共 7小题）19已知：抛物线 y=x 26x+21求：（1）直接写出抛物线 y=x 26x+21 的顶点坐标；（2）当 x2 时，求 y的取值范围20如图，抛物线 y=ax2+bx（a0）交 x轴正半轴于点 A，直线 y=2x经过抛物线的顶点 M已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交 x轴于点 B（1）求 a，b 的值（2）P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接 OP，BP设点 P的横坐标为 m，OBP 的面积为 S，记K= 求 K关于 m的函数表达式及 K的范围21安徽某水产养殖户去年利用“稻虾混养”使每千克小龙虾养殖成本降为 6元，
7、在整个销售旺季的 80天里，销售单价P（元/千克）与时间第 t（天）之间的函数关系为：P= ，日销售量 y（千克）与时间第 t（天）之间的函数关系如图所示（1）求日销售 y与时间 t的函数关系式？（2）设日销售利润为 W（元） ，求 W与 t之间的函数表达式；（3）日销售利润 W哪一天最大？最大利润是多少？22某商家销售一款商品，进价每件 80元，售价每件 145元，每天销售 40件，每销售一件需支付给商场管理费 5元，未来一个月（按 30天计算） ，这款商品将开展“每天降价 1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低 1元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1元，每天销售量增加
8、 2件，设第 x天（1x30 且 x为整数）的销售量为 y件（1）直接写出 y与 x的函数关系式；（2）设第 x天的利润为 w元，试求出 w与 x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？23已知抛物线 y=mx2+（22m）x+m2（m 是常数） （1）无论 m取何值，该抛物线都经过定点 D直接写出点 D的坐标（2）当 m取不同的值时，该抛物线的顶点均在某个函数的图象上，求出这个函数的表达式（3）若在 0x1 的范围内，至少存在一个 x的值，使 y 0，求 m的取值范围24如图，以 D为顶点的抛物线 y=x 2+bx+c交 x轴于 A、B 两点，交 y轴于点 C，直线 BC
9、的表达式为 y=x+3（1）求抛物线的表达式；（2）在直线 BC上有一点 P，使 PO+PA的值最小，求点 P的坐标；（3）在 x轴上是否存在一点 Q，使得以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似？若存 在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由25如图，抛物线与 x轴交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点，且 x1x 2，与 y轴交于点 C（0，4） ，其中 x1，x 2是方程x24x12=0 的两个根（1）求 A、B 两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点 M是线段 AB上的一个动点（不与 A、B 两点重合） ，过点 M作 MNBC，交 AC于点 N，连接 CM，在 M点
10、运动时，CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出CMN 面积最大时点 M的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一选择题（共 12小题）1 【解答】解：A、该函数中自变量 x的次数是 1，属于一次函数，故本选项错误；B、该函数是反比例函数，故本选项错误；C、由已知函数关系式得到：y=2x+1，属于一次函数，故本选项错误；D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确故选：D2 【解答】解：当 m=0时，y=x1，则 y随 x的增大而增大，故选项 A正确，当 m= 时，y=x 2x=（x ） 2 ，则函数图象的顶点坐标是（ ， ） ，故选项 B正确，当 m=1 时，y=2x 2+5x3=2（x
11、） 2 ，则当 x ，则 y随 x的增大而增大，故选项 C错误，y=2mx 2+（14m）x+2m1=2mx 2+x4mx+2m1=（2mx 24mx+2m）+（x1）=2m（x1） 2+（x1）=（x1）2m（x1）+1，函数 y=2mx2+（14m）x+2m1，无论 m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0） ，故选项 D正确，故选：C3 【解答】解：a=20，抛物线的开口向下，正确；对称轴为直线 x=1，故本小题错误；顶点坐标 为（1，3） ，正确；x1 时，y 随 x的增大而减小，x1 时，y 随 x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是共 3个故选：C4 【解答】解：y=x
12、 2的顶点坐标为原点，对称轴是 y轴，开口向上；y=2x21 的顶点坐标为（0，1） ，对称轴是 y轴，开口向上；y=0.5（x1） 2的顶点坐标为（1，0） ，对称轴是 x=1，开口向上；综合判断开口方向都向上，故选：C5 【解答】解：将二次函数 y=x2的图象向下平移 3个单位，所得图象的解析式为 y=x23，故选：C6 【解答】解：二次函数 y=x26x+c，该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x=3点 A（1，a） ，B（2，b） ，C（5，c）都在二次函数 y=x26x+c 的图象上，而三点横坐标离对称轴 x=3的距离按由远到近为：（1，a） 、 （5，c） 、 （2，b） ，a
13、 cb，故选：B7 【解答】解：令 y=（x3） （x+2） ，当 y=0时， （x3） （x+2）=0，则 x=3或 x=2，所以该抛物线与 x轴的交点为（2，0）和（3，0） ，一元二次方程 1（x3） （x+2）=0，（x3） （x+2）=1，所以方程 1（x3） （x+2）=0 的两根可看做抛物线 y=（x3） （x+2）与直线 y=1交点的横坐标，其函数图象如下：由函数图象可知，x 123x 2，故选：B8 【解答】解：抛物线 y=5（x+1） 2+3的开口向下，对称轴为直线 x=1，而 B（2，y 2）离直线 x=1 的距离最远，A（1，y 1）点离直线 x=1 最近，y 2y 3
14、y 1故选：C9 【解答】解：由抛物线开口向下，a0，对称 轴在 y轴的右侧，b0，ab0，所以正确；点（0，1）和（1，0）都在抛物线 y=ax2+bx+c上，c=1，ab+c=0，b=a+c=a+1，而 a0，0b1，所以错误，正确；a+b+c=a+a+1+1=2a+2，而 a0，2a+22，即 a+b+c2，抛物线与 x轴的一个交点坐标为（1，0） ，而抛物线的对称轴在 y轴右侧，在直线 x=1的左侧，抛物线与 x轴的另一个交点在（1，0）和（2，0）之间，x=1 时，y0，即 a+b+c0，0 a+b+c2，所以正确；x1 时，抛物线有部分在 x轴上方，有部分在 x轴下方，y0 或 y
15、=0或 y0，所以错误故选：B10 【解答】解：解：顶点是矩形 ABCD上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点与 A点重合，顶点坐标为（0，1） ，则抛物线解析式 y=ax2+1，抛物线过 M（1，0） ，0=a+1，解得 a=1，当顶点与 C点重合，顶点坐标为（1，2） ，则抛物线解析式 y=a（x1） 2+2，抛物线过 M（1，0） ，0=4a+2，解得 a=顶点可以在矩形内部，1a 故选：C11 【解答】解：A、由一次函数 y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数 y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax2
16、2x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x= 0，故选项正确；C、由一次函 数 y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴 x= 0，和 x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数 y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数 y=ax22x+1 的图象应该开口向上，故选项错误故选：B12 【解答】解：抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴在直线 x=1的右侧，x= 1，b0，b2a，即 b+2a0，抛物线与 y轴交点在 x轴下方，c0，abc0，抛物线与 x轴有 2个交点，=b 24ac0，x=1 时，y0，a+b+c0故选：C二填空题（共 6小题
17、）13 【解答】解：当 y=0时，有 x（x6）=0，解得：x 1=0，x 2=6，二次函数 y=x（x6）的图象与 x轴交点的横坐标是 0或 6故答案为：0 或 614 【解答】解：函数 y=3（x+2） 2的开口向下，对称轴是直线 x=2，顶点坐标是（2，0） ，故答案为：向下，直线 x=2， （2，0） 15 【解答】解：由二次函数 y=x22mx（m 为常数） ，得到对称轴为直线 x=m，抛物线开口向上，当 m2 时，由题意得：当 x=2时，y 最小值为2，代入得：44m=2，即 m=1.52，不合题意，舍去；当1m2 时，由题意得：当 x=m时，y 最小值为2，代入得：m 2=2，即
18、 m= 或 m= （舍去） ；当 m1 时，由题意得：当 x=1 时，y 最小值为2，代入得：1+2m=2，即 m=1.5，综上，m 的值是1.5 或 ，故答案为：1.5 或16 【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴 x通过 AB，纵轴 y通过 AB中点 O且通过 C点，则通过画图可得知 O为原点，抛物线以 y轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB可求出为 AB的一半 2米，抛物线顶点 C坐标为（0，2） ，通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a可通过代入 A点坐标（2，0） ，到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为 y=0. 5x2+2，当水面下降 2米，通
19、过抛物线在图上的观察可转化为：当 y=2 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=2 与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把 y=2 代入抛物线解析式得出：2=0.5x 2+2，解得：x=2 ，所以水面宽度增加到 4 米，比原先的宽度当然是增加了（4 4）米，故答案为：4 417 【解答】解：设该企业一月份产值为 a，则该企业四月份的产值 y关于 x的函数关系式为：y=a（120%） （1+x） 2故答案为：y=a（120%） （1+x） 218 【解答】解：由图象可知：x=1 时，y0，y=a+b+c0，故正确；由图象可知：0，b 24 ac0，故正确；由图象可知： 0，ab0，
20、又c=1，abc0，故正确；由图象可知：（0，0）关于 x=1 对称点为（2，0）令 x=2，y0，4a2b+c0，故错误；由图象可知：a0，c=1，ca=1a1，故正确；故答案为：三解答题（共 7小题）19 【解答】解：（1）抛物线 y=x 26x+21=（x+3） 2+30，该抛物线的顶点坐标是（3，30） ；（2） ）抛物线 y=x 26x+21=（x+3） 2+30，当 x3 时，y 随 x的增大而减小，当 x2 时，y 的取值范围是 y（2+3） 2+30=5，即当 x2 时，y 的取值范围是 y520 【解答】解：（1）将 x=2代入 y=2x，得：y=4，点 M（2，4） ，由题
21、意，得： ， ；（2）如图，过点 P作 PHx 轴于点 H，点 P的横坐标为 m，抛物线的解析式为 y=x 2+4x，PH=m 2+4m，B（2，0） ，OB=2，S= OBPH= 2（m 2+4m）=m 2+4m，K= =m+4，由题意得 A（4，0） ，M（2，4） ，2m4，K 随着 m的增大而减小，0K221 【解答】解：（1）设解析式为 y=kt+b，将（1，198） 、 （80，40）代入，得： ，解得： ，y=2t+200（1t80，t 为整数） ；（2）设日销售利润为 w，则 w=（p6）y，当 1t40 时，w=（ t+166） （2t+200）= （t30） 2+2450当
22、 41t80 时，w=26（2t+200）= 52t+5200（3）当 1t40 时，w= （t30） 2+2450当 t=30时，w 最大 =2450；当 41t80 时，w=52t+5200当 t=41时，w 最大 =3068，30682450，第 41天的日销售利润最大，最大利润为 3068元22 【解答】解：（1）由题意可知 y=2x+40；（2）根据题意可得：w=（145x805） （2x+40） ，=2x 2+80x+2400，=2（x20） 2+3200，a=20，函数有最大值，当 x=20时，w 有最大值为 3200元，第 20天的利润最大，最大利润是 3200元23 【解答】
23、解：（1）抛物线抛物线 y=mx2+（22m）x+m2=m（x1） 2+2（x1）当 x1=0 时，无论 m为何值，抛物线经过定点 D，x=1，y=0，定点 D（1，0） ；（2） = =1 ，= = ，顶点为（1 ， ） ，顶点在函数 y=x1 上；（3）由（1） 、 （2）可得，该抛物线与 x轴的一个交点为（1，0） ，对称轴为直线 x=1 当 m0 时，抛物线开口方向向上，且 1 1，由图象可知，要满足条件，只要 x=0式，y=m20，m2；当 m0 时，抛物线开口方向向下，且 1 1，由图象可知，不符合题意；综上所述，m 的取值范围是：m224 【解答】解：（1）把 x=0代入 y=x
24、+3，得：y=3，C（0，3） 把 y=0代入 y=x+3 得：x=3，B（3，0） ，A（1，0）将 C（0，3） 、B（3，0）代入 y=x 2+bx+c得： ，解得 b=2，c=3抛物线的解析式为 y=x 2+2x+3（2）如图所示：作点 O关于 BC的对称点 O，则 O（3，3） O与 O关于 BC对称，PO=POOP+AP=OP+APAO当 A、P、O在一条直线上时，OP+AP 有最小值来源:Zxxk.Com设 AP的解析式为 y=kx+b，则 ，解得：k= ，b= AP 的解析式为 y= x+ 将 y= x+ 与 y=x+3 联立，解得：y= ，x= ，点 P的坐标为（ ， ） （
25、3）y=x 2+2x+3=（x1） 2+4，D（1，4） 又C（0，3，B（3，0） ，CD= ，BC=3 ，DB=2 CD 2+CB2=BD2，DCB=90A（1，0） ，C（0，3） ，OA=1，CO=3 = = 又AOC=DCB=90，AOCDCB当 Q的坐标为（0，0）时，AQCDCB如图所示：连接 AC，过点 C作 CQAC，交 x轴与点 QACQ 为直角三角形，COAQ，ACQAOC又AOCDCB，ACQDCB = ，即 = ，解得：AQ=10Q（9，0） 综上所述，当 Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以 A、C、Q 为顶点的三角形与BCD 相似25 【解答】解：（1）x 24
26、x12=0，x 1=2，x 2=6即：A（2，0） ，B（6，0） （2）抛物线过点 A、B、C，设抛物线的解析式为 y=a（x+2） （x6） ，将点 C的坐标代入，得：4=a（0+2） （06） ，解得 a= 抛物线的解析式为 y= x2 x4（3）存在设点 M的坐标为（m，0） ，过点 N作 NHx 轴于点 H点 A的坐标为（2，0） ，点 B的坐标为（6，0） ，AB=8，AM=m+2MNBC，AMNABC = ， = ，NH=S CMN=SACM S AMN= AMCO AMNH= （m+2） （4 ）= m2+m+3= （m2） 2+4当 m=2时，S CMN 有最大值 4此时，点 M的坐标为（2，0）