1、第 26 课时 平面向量的应用举例课时目标1.体会向量是解决处理几何、物理问题的工具2掌握用向量方法解决实际问题的基本方法识记强化1向量方法解决几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的减法与加法类似，可以用向量的方法解决课时作业一、选择题1已知点 A( 2，3) ，B(2,1)，C (0,1)，则下列结论正确的是( )AA，B ，C 三点共线B. AB BC CA，B，C 是等
2、腰三角形的顶点DA，B ，C 是钝角三角形的顶点答案：D解析： (2,0)， (2,4)， 40 ，C 是钝角BC AC BC AC 2已知三个力 f1(2，1)，f 2(3,2)，f 3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力 f4，则 f4( )A(1，2) B(1，2)C(1,2) D(1,2)答案：D解析：由物理知识知 f1f 2f 3f 40，故 f4(f 1f 2f 3)(1,2)3在四边形 ABCD 中，若 ， 0，则四边形为( )AB CD AB BC A平行四边形 B矩形C等腰梯形 D菱形答案：D解析：由 知四边形 ABCD 是平行四边形，又 0， ，
3、此AB CD AB BC AB BC 四边形为菱形4已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A10 m/s B2 m/s26C4 m/s D12 m/s6答案：B解析：设河水的流速为 v1，小船在静水中的速度为 v2，船的实际速度为 v，则|v1| 2， |v|10 ，v v 1， v2vv 1，v v10，|v 2| 2 (m/s)v2 2vv1 v21 265人骑自行车的速度为 v1，风速为 v2，则逆风行驶的速度为( )Av 1v 2 Bv 2v 1Cv 1v 2 D| v1|v 2|答案：C解
4、析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1v 2，故选 C.6点 O 在ABC 所在平面内，给出下列关系式： 0；OA OB OC 0；OA (AC |AC |AB |AB |) OB (BC |BC |BA |BA |)( ) ( ) 0.OA OB AB OB OC BC 则点 O 依次为ABC 的( )A内心、重心、垂心B重心、内心、垂心C重心、内心、外心D外心、垂心、重心答案：C解析：由于 ( )2 ，其中 D 为 BC 的中点，可知 O 为 BC 边上OA OB OC OD 中线的三等分点(靠近线段 BC)，所以 O 为ABC 的重心；向量 ， 分别表
5、示在 AC 和 AB 上取单位向量 和 ，它们的差是向量AC |AC |AB |AB | AC AB ，当 0，即 OABC时，则点 O 在BAC 的平分线上，同理B C OA (AC |AC |AB |AB |)由 0，知点 O 在ABC 的平分线上，故 O 为ABC 的内心；OB (BC |BC |BA |BA |) 是以 ， 为边的平行四边形的一条对角线，而 是该四边形的另一条OA OB OA OB AB 对角线， ( )0 表示这个平行四边形是菱形，即 | | |，同理有AB OA OB OA OB | | |，于是 O 为ABC 的外心OB OC 二、填空题7已知两个粒子 A、B 从
6、同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 va(4,3)，vb(3,4)，则 va在 vb上的投影为_答案：245解析：由题知 va与 vb的夹角 的余弦值为 cos .12 1255 2425v a在 vb上的投影为|v a|cos5 .2425 2458已知点 A(0,0)，B( ，0)， C(0,1)设 ADBC 于 D，那么有 ，其中3 CD CB _.答案：14解析：如图| | ，| | 1，| |2，由于 ADBC，且 ，所以 C、D 、BAB 3 AC CB CD CB 三点共线，所以 ，即 .|CD |CB | 14 149在四边形 ABCD 中，已知 (4，2)， (7,
7、4)， (3,6) ，则四边形 ABCDAB AC AD 的面积是_答案：30解析： (3,6) ， (4 ，2)(3,6)0， ，四边BC AC AB AD AB BC AB BC 形 ABCD 为矩形，| | ，| | ，S| | |30.AB 20 BC 45 AB BC 三、解答题10.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 M 是 AB 的中点，点 N 在 BD 上，且 BN BD，求13证：M， N，C 三点共线证明：依题意，得 ， BM 12BA BN 13BD ( )13BA BC ， .MN BN BM MN 13BC 16BA ，MC BC BM BC 12BA 3 ，即 .
8、MC MN MC MN 又 ， 有公共点 M，M，N ，C 三点共线MC MN 11两个力 F1ij，F 24i5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)移动到点B(7,0)(其中 i, j 分别是与 x 轴、 y 轴同方向的单位向量)求：(1)F1， F2 分别对该质点做的功；(2)F1， F2 的合力 F 对该质点做的功解： (7 20)i(015)j13i15j .AB (1)F1 做的功 W1F 1sF 1AB (ij)(13i15j)28；F2 做的功 W2F 2sF 2AB (4i5j)(13i15j)23.(2)FF 1F 25i4j，所以 F 做的功 WFsF AB
9、(5i4j)(13i15j)5.能力提升12如图，作用于同一点 O 的三个力 、 、 处于平衡状态，已知F1 F2 F3 | |1，| |2， 与 的夹角为 ，则 的大小_ F1 F2 F1 F2 23 F3 答案： 3解析： 、 、 三个力处于平衡状态，F1 F2 F3 0 即 ( )，F1 F2 F3 F3 F1 F2 | | |F3 F1 F2 F1 F2 2 F21 2F1 F2 F2 .1 212cos23 4 313已知 A(2,1)、B(3,2) 、D(1,4) (1)求证： ；AB AD (2)若四边形 ABCD 为矩形，试确定点 C 的坐标，并求该矩形两条对角线所成的锐角的余弦值解：(1)证明：A(2,1) ，B(3,2)，D (1,4) ， (1,1)， (3,3) AB AD 又 1(3)13 0，AB AD .AB AD (2)四边形 ABCD 为矩形，且 ABAD， .AD BC 设 C(x，y)，则(3,3) (x3，y2)，Error!，Error!点 C(0,5)又 (2,4)， (4,2)，AC BD ( 2)(4)4216.AC BD 而| | 2 ，| | 2 ，AC 22 42 5 BD 42 22 5设 与 的夹角为 ，则AC BD cos AC BD |AC |BD | 162 52 5 45该矩形两条对角线所成锐角的余弦值为 .45