1、第 22 课时 平面向量的正交分解与坐标运算课时目标1.理解平面向量的正交分解及坐标表示的意义2理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则、熟练进行向量的坐标运算识记强化1把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解2在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y 使axi yj，我们把有序数对(x，y )叫做向量 a 的坐标，记作 a(x，y)3平面向量的坐标运算已知 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)，则(1)ab(x 1x 2，y 1y 2)，ab(x 1x 2
2、，y 1y 2)，即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差 )(2)a( x1，y 1)(R) (3)若 A 点坐标为(x 1，y 1)，B 点坐标为( x2，y 2)，则 ( x2，y 2)(x 1，y 1)AB (x 2 x1，y 2 y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标课时作业一、选择题1已知 i, j 分别是方向与 x 轴、y 轴正方向相同的单位向量，设 a(x 2x1)i(x 2 x1) j(其中 xR)，则向量 a 位于( )A第一、二象限 B第二、三象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：因为 a(x 2x1，x 2x 1)
3、 ，x2x1(x )2 0，12 34x 2x1 2 0 ，(x 12) 34故 a 位于第四象限2已知 a(3，1)，b( 1,2) ，则3a2b 的坐标是( )A(7,1) B (7，1)C(7,1) D(7，1)答案：B解析：a(3，1)，b( 1,2) ，3a2b3(3，1)2(1,2) (7，1)3已知向量 (2,4)， (0,2)，则 ( )AB AC 12BC A(2，2) B(2,2)C(1,1) D( 1， 1)答案：D解析： ( ) (2，2)( 1，1)，故选 D.12BC 12AC AB 124在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线， (2,4)， (1,3)，
4、则 ( )AB AC DA A(2,4) B (3,5)C(1,1) D (1，1)答案：C解析： ( )(1,1) DA AD BC AC AB 5若 (1,1)， (0,1) ， ( a，b)，则 ab ( )AB AD BC CD A1 B0C1 D2答案：A解析： (0,1)(1,1) (1,0)，故 a1，b0，ab1.BC CD BD AD AB 6设向量 a(1，3)，b(2,4) ，c ( 1，2)若表示向量 4a,4b2c,2(ac) ，d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( )A(2,6) B( 2,6)C(2，6) D(2，6)答案：D解析：由题意知：4a4
5、b2c2(ac)d0 d(2，6)，故选 D.二、填空题7已知向量 ( 1,2)， (3，1) ，则向量 的坐标为_AB AC BC 答案：(4，3)解析： (3 ，1) (1,2)(4 ，3)BC AC AB 8若 a(1,2)，b(1,0)，则 2ab_.答案：(3,4)解析：2ab(2,4)(1,0)(3,4)9平面上有 A(2,1) 、B(1,4)、D (4，3)三点，点 C 在直线 AB 上，且 ，连AC 12BC 结 DC 并延长，取点 E 使 ，则点 E 的坐标为_CE 14DE 答案：(8， )53解析：设 C(x，y )，由 ，得(x2，y1) (x1，y4) AC 12BC
6、 12即Error!解得Error!即 C(5，2)又 E 在 DC 延长线上， ，设 E(a，b)，CE 14DE 则(a5，b2) (a4，b3)14解之得 a8，b .E(8， )53 53三、解答题10已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)， t .求：t 分别为何值时，P 在 x 轴上？OP OA AB P 在 y 轴上？ P 在第二象限？解：由题意， t (13t, 23t)OP OA AB 若 P 在 x 轴上，只需 23t0，所以 t ；23若 P 在 y 轴上，只需 13t0，所以 t ；13若 P 在第二象限，只需Error! t .23 1311已知 A(8，
7、1)、B(2,5)，点 C 是直线 AB 上一点，且 5 ，求点 C 的坐标AC BC 和 的坐标AC 解：设 C(x，y)，则 (x 8，y 1) ， ( x2，y5)AC BC 5 .AC BC (x8 ，y1)5( x2， y5) ，即Error!，得Error!.C(3,4)(3,4)(8 ，1)(5,5)AC 能力提升12在ABC 中，已知 A(2,3)，B (6，4)，G(4，1) 是中线 AD 上一点，且| |2|AG |，那么点 C 的坐标为( )GD A(4,2) B(4，2)C(4，2) D(4,2)答案：C解析：由题意，知点 G 是 ABC 的重心，设 C(x，y )，则
8、有 Error!解得Error!故C(4，2) 13已知 A( 2,4)，B(3，1)，C(3，4) ，设 a， b， c，且AB BC CA 3c， 2b.CM CN (1)求 3ab3c；(2)求满足 am bnc 的实数 m，n；(3)求 M、N 的坐标及向量 的坐标MN 解：(1)a (5，5) b ( 6，3)AB BC c (1,8)CA 3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8) (6，42)(2)ambnc，(5，5) (6m，3m)(n,8n) (6 mn，3m8n)Error!解得 m1，n1.(3)设 M(x，y)，则 (x3，y4)(3,24)CM x33，x0，y 424， y20.M(0,20) 同理 N(9,2) (9,2) (0,20)MN (9， 18)