1、第 24 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义课时目标1.理解平面向量数量积的含义；了解平面向量数量积与投影的关系；掌握数量积的性质2掌握平面向量数量积的几何意义；掌握平面向量数量积的运算律识记强化1已知两个非零向量 a，b，我们把|a| b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ，记作ab| a|b|cos.规定零向量与任一向量的数量积为零，其中 是 a 与 b 的夹角2|a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影， |b|cos 叫做 b 在 a 方向上的投影3两个非零向量互相垂直的等价条件是 ab0.4ab 的几何意义是数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a
2、方向上的投影|b|cos 的乘积5向量数量积的运算律为：(1)ab ba.(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab )ca cb c.课时作业一、选择题1给出以下五个结论：0a0；a bba；a 2|a |2；( ab)ca( bc)；|a b|a b.其中正确结论的个数为( )A1 B2C3 D4答案：C解析：显然正确；(ab)c 与 c 共线，而 a(bc)与 a 共线，故错误；a b 是一个实数，应该有| ab|ab，故错误2已知向量 a，b 满足|a| 1 ，|b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角 为( )A. B.6 4C. D.3 2答案：C解析：由题意，知 ab|a|b|
3、cos 4cos 2，又 0，所以 .33已知向量 a，b 满足|a| 1 ，ab，则向量 a2b 在向量 a 方向上的投影为( )A1 B.77C1 D.277答案：A解析：设 为向量 a2b 与向量 a 的夹角，则向量 a2b 在向量 a 方向上的投影为|a 2b|cos.又 cos ，故|a2b|cos| a2b| 1.a 2ba|a 2b|a| a2 2ab|a 2b|a| 1|a 2b| 1|a 2b|4设向量 a，b 满足|a| 1， |b|2，a(ab)0，则 a 与 b 的夹角是( )A30 B60C90 D120答案：D解析：设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a(ab)a
4、2a b| a|2| a|b|cos112cos12cos 0，cos .又 0 180，12 120，选 D.5若|a |b| 1，ab，且(2a3b)( ka4b)，则 k( )A6 B6C3 D3答案：B解析：由题意，得(2a3b)(ka4b)0，由于 ab，故 ab0，又| a|b| 1，于是2k120，解得 k6.6在 RtABC 中，C90，AC4，则 等于( )AB AC A16 B8C8 D16答案：D解析： | | |cosA| |216AB AC AB AC AC 二、填空题7一物体在力 F 的作用下沿水平方向由 A 运动至 B，已知 AB10 米，F 与水平方向的夹角为
5、60， |F|5 牛顿，物体从 A 至 B 力 F 所做的功 W_.答案：25 焦耳解析：由物理知识知 WFs|F|s| cos510cos60 25( 焦耳)8如果 a，b，ab 的模分别为 2,3， ，则 a 与 b 的夹角为_7答案：3解析：设 a 与 b 的夹角为 ，由 |ab| 2a 22abb 2，得 71312cos ，即 cos .12又 0 ，故 .39已知在ABC 中，AB AC 4， 8，则ABC 的形状是_AB AC 答案：等边三角形解析： | | |cosBAC ，即 844cosBAC，于是 cosBAC ，所以AB AC AB AC 12BAC 60.又 ABAC
6、，故 ABC 是等边三角形三、解答题10已知 e1 与 e2 是两个夹角为 60的单位向量，a2e 1 e2，b2e 23e 1，求 a 与 b的夹角解：因为|e 1| e2|1，所以 e1e211cos60 ，12|a|2(2e 1e 2)2414e 1e27，故| a| ，7|b|2(2e 23e 1)24922(3)e 1e27，故|b| ，7且 ab6e 2e e 1e262 ，21 212 72所以 cosa，b ，ab|a|b| 7277 12所以 a 与 b 的夹角为 120.11已知向量 a，b 满足|a| 1，|b|4，且 a，b 的夹角为 60.(1)若(2a b)( ab
7、) ；(2)若(a b)(a2b)，求实数 的值解：(1)由题意，得 ab| a|b|cos6014 2.12(2ab)(ab)2a 2abb 2221612.(2)(a b)(a2b)，(ab)( a2b) 0，a 2( 2) ab2b 20， 2( 2) 320，12.能力提升12已知|a| 2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|x a b0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是_答案： 3，解析：由于|a| 2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|x a b0 有实根，则| a|24ab0，设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos ，ab|a|b|14|a|212|a|2
8、12 .3，13设两向量 e1，e 2 满足|e 1| 2，| e2|1，e 1，e 2 的夹角为 60，若向量 2te17e 2 与向量 e1te 2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围解：由已知得 e 4，e 1，e 1e221cos601.21 2(2te 1 7e2)(e1te 2)2te (2t 27)e 1e27t e 2t 215 t7.21 2欲使夹角为钝角，需 2t215 t70，得7t .12设 2te17e 2 (e1te 2)(0)，Error!2t 27.t ，此时 .142 14即 t 时，向量 2te17e 2 与 e1t e2 的夹角为 .142当两向量夹角为钝角时，t 的取值范围是 .( 7， 142) ( 142， 12)