1、第 21 课时 平面向量基本定理课时目标1.了解平面向量的基本定理及其意义2能正确的运用平面向量基本定理解决问题识记强化1平面向量基本定理：如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2.不共线的向量 e1、e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2已知两个非零向量 a 和 b，作 a、 b，则AOB (0180)叫做向量OA OB a 与 b 的夹角如果 a 与 b 的夹角是 90，我们就说 a 与 b 垂直，记作 ab.课时作业一、选择题1下列各组向量中，一定能作为基底的是( )Aa0，b0Ba3e
2、，b 3e(e0)Ca2e 1e 2，be 12e 2(e1，e 2 不共线)Da4e 14e 2，b2e 12e 2(e1，e 2 不共线)答案：C解析：由平面向量基本定理知，a，b 不共线，选 C.2设 a，b 是不共线的两个非零向量，已知 2apb， ab， a2b.若AB BC CD A，B ，D 三点共线，则 p 的值为 ( )A1 B2C2 D1答案：D解析： 2ab， 2apb，由 A，B，D 三点共线，知存在实数 ，BD BC CD AB 使 2apb2 a b.a，b 不共线， Error!，p1.3在矩形 ABCD 中，O 是对角线的交点，若 e 1， e 2，则 ( )B
3、C DC OC A. (e1 e2) B. (e1e 2)12 12C. (2e2e 1) D. (e2e 1)12 12答案：A解析：因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点， e 1， e 2，所以 ( )BC DC OC 12BC DC (e1 e2)，故选 A.124已知非零向量 ， 不共线，且 2 y ，若 (R)，则 x，yOA OB OP xOA OB PA AB 满足的关系是( )Axy20 B2x y10Cx 2y20 D2x y20答案：A解析：由 ，得 ( )，即 (1) .又PA AB OA OP OB OA OP OA OB 2 x y ，Error!，消去 得 xy
4、2.OP OA OB 5已知四边形 ABCD 是菱形，点 P 在对角线 AC 上( 不包括端点)，则 ( )AP A( )， (0,1)AB AD B( )，AB BC (0，22)C( )，(0,1)AB AD D( )，AB BC (0，22)答案：A解析：如图所示， .又点 P 在 AC 上， 与 同向，且| | |，故AC AB AD AP AC AP AC ( )，(0,1) AP AB AD 6若点 O 是ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 的交点，且 4e 1， 6e 2，则AB BC 3e22e 1 等于( )A. B.AO CO C. D.BO DO 答案：C解析：3e
5、22e 1 (6e24e 1) ( )12 12BC AB ( ) .12AD AB 12BD BO 二、填空题7已知 e1，e 2 是两个不共线向量，ak 2e1 e2 与 b2e 13e 2 共线，则实数(1 5k2)k_.答案：2 或13解析：由题设，知 ，3k 25k20，解得 k2 或 .k22 1 5k23 138已知 e1，e 2 是两个不共线向量，若 a2e 1e 2 与 be 1e 2 共线，则 _.答案：12解析：因为 a2e 1e 2 与 be 1e 2 共线，所以存在唯一的 ，使 2e1e 2(e 1e 2)e 1e 2，所以 2，1，故 .129已知平行四边形 ABC
6、D 中，E 为 CD 的中点， y ， x ，其中AP AD AQ AB x，yR，且均不为 0.若 ，则 _.PQ BE xy答案：12解析： x y ，由 ，可设 ，即 x y (PQ AQ AP AB AD PQ BE PQ BE AB AD ) ，Error!，则 .CE CB ( 12AB AD ) 2AB AD xy 12三、解答题10.如图，在ABCD 中， a， b， 3 ，M 为 BC 的中点，试用 a，b 表示AB AD AN NC .MN 解：由 3 ，知 N 为 AC 的四等分点AN NC MN MC CN 12AD 14AC ( )12AD 14AB AD 14AB
7、14AD a b.14 1411已知向量 a2e 13e 2，b2e 13e 2，其中 e1，e 2 不共线，向量 c2e 19e 2，若存在实数 和 ，使 d a b 与 c 共线，那么实数 和 应该是什么关系？解：da b(2e 13e 2)(2 e13e 2)(22)e 1( 33)e 2，若 d 与 c 共线，则应有实数 k，使 dk c，即(22 )e1(33)e 22ke 19k e2，由Error!得 2，故存在这样的实数 ，只要 2，就能使 d 与 c 共线能力提升12在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若 ，AC AE AF 其中 ，R，则
8、 _.答案：43解析：选择 ， 作为平面向量的一组基底，则AB AD ， ， ，又 ( ) ( )AC AB AD AE 12AB AD AF AB 12AD AC AE AF 12 AB 12，AD 于是得Error!解得Error!所以 .4313.如图，在ABC 中，D、F 分别是 BC、AC 的中点， ， a， b.AE 23AD AB AC 求证：B、E 、F 三点共线证明：如图所示，延长 AD 到 G，使 2 ，连接 BG、CG，得到平行四边形AG AD ABGC，则 ab，AG (ab)AD 12AG 12 (ab)AE 23AD 13 b，AF 12AC 12 (ab) a (b2a)BE AE AB 13 13又 ba (b2a)BF AF AB 12 12所以 ，BE 23BF 又因为 与 有公共点 B，所以 B、E、F 三点共线BE BF