1、4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【课时目标】 1能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系2能根据直线与圆的位置关系解决有关问题直线 AxBy C0 与圆(xa) 2( yb) 2r 2 的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离公共点个数 _个 _个 _个几何法：设圆心到直线的距离d|Aa Bb C|A2 B2 d_r d_r d_r判定方法 代数法：由Error!消元得到一元二次方程的判别式 _0 _0 _0一、选择题1直线 3x4y 120 与C ：( x1) 2(y1) 29 的位置关系是 ( )A相交并且过圆心 B相交不过圆心C相切 D相离2已知圆 x2
2、y 2DxEyF0 与 y 轴切于原点，那么( )AD0，E0，F0 BD 0，E0，F0CD0，E0，F0 DD 0，E0，F03圆 x2y 24x 4y60 截直线 xy50 所得弦长等于 ( )A B C1 D565224圆 x2y 22x 4y30 上到直线 l：x y10 的距离为 的点有( )2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5已知直线 axby c 0( abc0) 与圆 x2y 21 相切，则三条边长分别为 |a|，| b|，|c|的三角形是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不存在6与圆 x2y 24x 20 相切，在 x，y 轴上的截距相等的直线共有( )
3、A1 条 B2 条 C3 条 D4 条二、填空题7已知 P( x，y )|xy 2，Q ( x，y)|x 2y 22，那么 PQ 为_8圆 x2y 24x 0 在点 P(1， )处的切线方程为_39P(3,0) 为圆 C：x 2y 28x2y120 内一点，过 P 点的最短弦所在的直线方程是_三、解答题10求过点 P(1,5) 的圆(x1) 2( y2) 24 的切线方程11直线 l 经过点 P(5,5)，且和圆 C：x 2y 225 相交，截得的弦长为 4 ，求 l 的方5程能力提升12已知点 M(a，b)(ab0)是圆 x2y 2r 2 内一点，直线 g 是以 M 为中点的弦所在直线，直线
4、 l 的方程为 axbyr 20，则( )Alg 且与圆相离 Bl g 且与圆相切Clg 且与圆相交 Dl g 且与圆相离13已知直线 x2y 30 与圆 x2y 2x2cyc0 的两个交点为 A、B，O 为坐标原点，且 OAOB，求实数 c 的值1判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷2一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形还可以联立方程组，消去 x 或 y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长 l |x1x 2|k
5、2 1 x1 x22 4x1x2 k2 13研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条42 直线、圆的位置关系421 直线与圆的位置关系答案知识梳理2 1 0 r2C 与 y 轴切于原点，则圆心 ，得 E0，圆过原点得 F0，故选 C( D2，0)3A 分别求出半径 r 及弦心距 d(圆心到直线距离) 再由弦长为 2 ，求得r2 d24C 通过画图可知有三个点到直线 xy10 距离为 25B 由题意 1| c| c 2a 2b 2，故为直角三角形|c|a2 b2 a2 b26C 需画图探索，注意直线经
6、过原点的情形设 ykx 或 1，由 dr 求得xa yak1 ，a4 7(1,1)解析 解方程组Error!得 xy18x y203解析 先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 ，则过(1 ， )切线方程为33 3x y 2039xy30解析 过 P 点最短的弦，应为与 PC 垂直的弦，先求斜率为1，则可得直线方程为xy3010解 当斜率 k 存在时，设切线方程为 y5k (x1)，即 kxyk50由圆心到切线的距离等于半径得 2，|k 2 k 5|k2 1解得 k ，切线方程为 5x12y 550512当斜率 k 不存在时，切线方程为 x1，此时与圆正好相切综上，所求圆的切线方程为 x1 或
7、 5x12y 55011解 圆心到 l 的距离 d ，显然 l 存在斜率r2 (452)2 5设 l：y5k(x5)，即 kxy 55k0，d |5 5k|k2 1 ，k 或 2|5 5k|k2 1 5 12l 的方程为 x2y50 或 2xy5012A M 在圆内，a 2b 2r 即直线 l 与圆相r2a2 b2离，又直线 g 的方程为 yb (xa)，即 axbya 2b 20，lgab13解 设点 A、B 的坐标分别为 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)由 OAOB ，知 kOAkOB1 ，即 1，x 1x2y 1y20 y1x1y2x2由Error! ，得 5y2(2 c14)yc120，则 y1y 2 (2c14)，y 1y2 (c12) 15 15又 x1x2(32y 1)(32y 2)96(y 1y 2)4y 1y2，代入得 96(y 1y 2)5y 1y20由、得，c3