1、2.3.3 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理2能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题3理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化直线与平面垂直的性质定理文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_符号语言 Error!_图形语言作用 线面垂直线线平行作平行线一、选择题1下列说法正确的是( )A若 l 上有无数个点不在平面 内，则 lB若直线 l 与平面 垂直，则 l 与 内的任一直线垂直C若 E、F 分别为ABC 中 AB、BC 边上的中点，则 EF 与经过 AC 边的所有平面平行D两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一
2、条和这个平面垂直2若 M、n 表示直线， 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )Error! n ； Error!Mn；Error! M n; Error!nA1 B2 C 3 D43已知直线 PG平面 于 G，直线 EF ，且 PFEF 于 F，那么线段PE， PF，PG 的大小关系是( )APEPG PF BPG PFPECPE PFPG DPFPEPG4PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )APABC BBC 平面 PACCACPB DPC BC5下列命题：垂直于同一直线的两条直线平行；垂直于同一直线的两个平面平行；
3、垂直于同一平面的两条直线平行；垂直于同一平面的两平面平行其中正确的个数是( )A1 B2 C3 D46在ABC 所在的平面 外有一点 P，且 PAPBPC，则 P 在 内的射影是ABC的( )A垂心 B内心 C外心 D重心二、填空题7线段 AB 在平面 的同侧， A、B 到 的距离分别为 3 和 5，则 AB 的中点到 的距离为_8直线 a 和 b 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 的两个不同平面内，使 ab 成立的条件是_(只填序号)a 和 b 垂直于正方体的同一个面；a 和 b 在正方体两个相对的面内，且共面；a和 b 平行于同一条棱；a 和 b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条
4、棱垂直9如图所示，平面 ABC平面 ABD，ACB 90 ，CACB ，ABD 是正三角形，O 为 AB 中点，则图中直角三角形的个数为_三、解答题10如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN平面 A1DC求证：(1)MNAD 1；(2)M 是 AB 的中点11如图所示，设三角形 ABC 的三个顶点在平面 的同侧， AA 于A，BB 于 B，CC 于 C，G、G分别是ABC 和ABC的重心，求证：GG能力提升12如图，ABC 为正三角形，EC 平面 ABC，DB平面ABC，CECA2BD，M 是 EA 的中点，N 是 EC 的中点，求
5、证：平面 DMN平面 ABC13如图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BC，ACBCCC 1，M，N 分别是 A1B，B 1C1 的中点(1)求证：MN平面 A1BC；(2)求直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角的大小1直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直线面垂直线线平行线面平行2 “垂直于同一平面的两条直线互相平行” 、 “垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题但“垂直于同一直线的两条直线互相平行” 、 “垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题233 直线与平面垂直的性质 答案知识梳
6、理平行 ab作业设计1B 由线面垂直的定义知 B 正确2C 正确，中 n 与面 可能有：n 或 n 或相交( 包括 n)3C 由于 PG平面 于 G，PFEF，PG 最短，PFPE，有 PGPFPE故选 C4C PA 平面 ABC，得 PABC ，A 正确；又 BCAC ，BC 面 PAC，BCPC，B 、D 均正确选 C5B 由线线、线面垂直与平行的性质知正确，选 B6C 设 P 在平面 内的射影为 O，易证PAOPBOPCOAOBOCO74解析 由直线与平面垂直的性质定理知 AB 中点到 距离为以 3 和 5 为上、下底的直角梯形的中位线的长8解析 为直线与平面垂直的性质定理的应用，为面面
7、平行的性质，为公理 4 的应用96解析 由题意知 COAB，CO面 ABD，CO OD，直角三角形为CAO，COB，ACB，AOD，BOD，COD10证明 (1)ADD 1A1 为正方形，AD 1A 1D又CD平面 ADD1A1， CDAD 1A 1DCDD，AD 1平面 A1DC又MN平面 A1DC，MNAD 1(2)连接 ON，在A 1DC 中，A1OOD，A 1NNCON 綊 CD 綊 AB，12 12ONAM又MNOA，四边形 AMNO 为平行四边形，ONAMON AB，AM AB，M 是 AB 的中点12 1211证明 连接 AG 并延长交 BC 于 D，连接 AG并延长交 BC于
8、D，连接 DD，由AA，BB ，CC ，得 AABBCCD、D分别为 BC 和 BC的中点，DDCC BB，DD AA，G、G分别是ABC 和A B C的重心， ，GGAA，AGGD A GG D又AA，GG12证明 M、N 分别是 EA 与 EC 的中点，MNAC，又AC平面 ABC，MN平面 ABC，MN平面 ABC，DB平面 ABC，EC平面 ABC，BDEC，四边形 BDEC 为直角梯形，N 为 EC 中点，EC2BD，NC 綊 BD，四边形 BCND 为矩形，DNBC，又DN平面 ABC，BC平面 ABC，DN平面 ABC，又MNDNN，平面 DMN平面 ABC13(1)证明 如图所
9、示，由已知 BCAC，BCCC 1，得 BC平面 ACC1A1连接 AC1，则 BCAC 1由已知，可知侧面 ACC1A1 是正方形，所以 A1CAC 1又 BCA 1CC，所以 AC1平面 A1BC因为侧面 ABB1A1 是正方形，M 是 A1B 的中点，连接 AB1，则点 M 是 AB1 的中点又点 N 是 B1C1 的中点，则 MN 是AB 1C1 的中位线，所以 MNAC 1故 MN平面A1BC(2)解 如图所示，因为 AC1 平面 A1BC，设 AC1 与 A1C 相交于点 D，连接 BD，则C 1BD 为直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角设 ACBCCC 1a ，则 C1D a，BC 1 a22 2在 RtBDC 1 中， sin C 1BD ，C1DBC1 12所以C 1BD 30，故直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角为 30