1、1.3.2 球的体积和表面积【课时目标】 1了解球的体积和表面积公式2会用球的体积和表面积公式解决实际问题3培养学生的空间想象能力和思维能力1球的表面积设球的半径为 R，则球的表面积 S_，即球的表面积等于它的大圆面积的_倍2球的体积设球的半径为 R，则球的体积 V_一、选择题1一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )A B66 2C D22 32把球的表面积扩大到原来的 2 倍，那么体积扩大到原来的( )A2 倍 B2 倍2C 倍 D 倍2 323正方体的内切球和外接球的体积之比为( )A1 B133C13 D1934若三个球的表面积之比为 123，则它们的体积之比为( )A1
2、23 B1 2 3C12 3 D1472 35长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A25 B50C125 D以上都不对6一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的 3 倍，圆锥的高与球半径之比为( )A49 B94C427 D274二、填空题7毛泽东在送瘟神中写到：“坐地日行八万里” 又知地球的体积大约是火星的8 倍，则火星的大圆周长约_万里8将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高 4 cm，则钢球的半径是_9(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是_；(2)体积相等的正方体和球
3、中，表面积较小的几何体是_ 三、解答题10如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为 8 cm 的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子( 杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计) ，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？11有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为 r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度能力提升12已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )A以上四个图形都是正确的B只有(2)(4)是正确的C只有(4)是错误的D只有(1)
4、(2)是正确的13有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算3解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体132 球的体积和表面积 答案知识梳理14R 2 4 2 R343作业设计1A 先由面积相等得到棱长 a 和半径 r 的关系 a r，再由体积公式求得体积比63为
5、662B 由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的 倍，则体积扩大到原来的 2 倍2 23C 关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长 a，外接球的直径等于 a34C 由表面积之比得到半径之比为 r1r 2r 31 ，从而得体积之比为2 3V1V 2V 312 3 2 35B 外接球的直径 2R长方体的体对角线 (a、b、c 分别是长、宽、a2 b2 c2高)6A 设球半径为 r，圆锥的高为 h，则 (3r)2h r3，可得 hr 4913 4374解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的 2 倍，日行 8 万里指地球大圆的周长，即 2R 地球 8，故 R 地球 (万里) ，所以火星的半径为
6、万里，其大圆的周长为 44 2万里83 cm解析 设球的半径为 r，则 36 r3，可得 r3 cm439(1)球 (2)球解析 设正方体的棱长为 a，球的半径为 r(1)当 6a24 r2 时，V 球 r3 a3a3V 正方体 ；43 6(2)当 a3 r3 时，S 球 4r 26 a26a2S 正方体43 3610解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须V 圆锥 V 半球 ，V 半球 r3 43，12 43 12 43V 圆锥 Sh r2h 42h13 13 13依题意： 42h 43，解得 h813 12 43即当圆锥形杯子杯口直径为 8 cm，高大于或等于 8 cm 时，冰淇淋融化后不
7、会溢出杯子又因为 S 圆锥侧 rlr ，h2 r2当圆锥高取最小值 8 时，S 圆锥侧 最小，所以高为 8 cm 时，制造的杯子最省材料11解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为 3r，水面的半径为 r，则容器内水的体3积为 VV 圆锥 V 球 ( r)23r r3 r3，而将球取出后，设容器内水的深度为 h，13 3 43 53则水面圆的半径为 h，从而容器内水的体积是 V ( h)2h h3，由 VV，得33 13 33 19h r315即容器中水的深度为 r31512C 正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)13解 设正方体的棱长为 a如图所示正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有 2r1 a，r 1 ，所以 S14r a2a2 21球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r 2a， r2 a，所以 S24 r 2a 2222 2正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有 2r3 a，3r3 a，所以 S34r 3a 232 23综上可得 S1S 2S 312 3