1、2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定【课时目标】 1掌握直线与平面垂直的定义2掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直3知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念1直线与平面垂直(1)定义：如果直线 l 与平面 内的_直线都 _，就说直线 l 与平面 互相垂直，记作_直线 l 叫做平面 的_，平面 叫做直线 l 的_(2)判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直符号表述：Error!l 2直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如图所示，_就
2、是斜线 AP 与平面 所成的角(2)当直线 AP 与平面垂直时，它们所成的角的度数是 90；当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是_；线面角 的范围： _一、选择题1下列命题中正确的个数是( )如果直线 l 与平面 内的无数条直线垂直，则 l；如果直线 l 与平面 内的一条直线垂直，则 l；如果直线 l 不垂直于 ，则 内没有与 l 垂直的直线；如果直线 l 不垂直于 ，则 内也可以有无数条直线与 l 垂直A0 B1 C2 D32直线 a直线 b，b平面 ，则 a 与 的关系是( )Aa BaCa Da 或 a3空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是
3、( )A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交4如图所示，定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P，PB，C 是平面 内异于 A和 B 的动点，且 PCAC，则ABC 为( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D无法确定5如图所示，PA平面 ABC，ABC 中 BCAC，则图中直角三角形的个数为( )A4 B3 C 2 D16从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为 A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：ABC 是正三角形；垂足是ABC 的内心；垂足是ABC 的外心；垂足是ABC 的垂心其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D4二、填空题7
4、在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是_；(2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是_；(3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是_8在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BC CC 1，当底面 A1B1C1 满足条件_时，有AB1BC 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)9如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若B 1MN 是直角，则C 1MN_三、解答题10如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 B1C1、B
5、1B 的中点求证：CF平面 EAB11如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别是 AB，PC 的中点，PAAD求证：(1)CD PD；(2)EF平面 PCD能力提升12如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，P 为 DD1 的中点，O 为 ABCD 的中心，求证 B1O平面 PAC13如图所示，ABC 中，ABC 90 ，SA平面 ABC，过点 A 向 SC 和 SB 引垂线，垂足分别是 P、Q，求证：(1)AQ 平面 SBC；(2)PQ SC1运用化归思想，将直线与平面垂直的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，而同时还
6、由此得到直线与直线垂直即“线线垂直线面垂直” 2直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义(2)利用线面垂直的判定定理(3)利用下面两个结论：若 ab，a，则 b；若 ，a ，则 a 3线线垂直的判定方法(1)异面直线所成的角是 90(2)线面垂直，则线线垂直23 直线、平面垂直的判定及其性质231 直线与平面垂直的判定答案知识梳理1(1)任意一条 垂直 l 垂线 垂面(2)两条相交直线 a b abA2(1)射影 锐角 PAO(2)0 0，90作业设计1B 只有 正确2D3C 取 BD 中点 O，连接 AO，CO，则 BDAO，BDCO ，BD面 AOC，BD AC，又 BD、AC 异
7、面，选 C4B 易证 AC面 PBC，所以 ACBC5A Error! Error!BC平面 PACBCPC ，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC6A PO面 ABC则由已知可得，PAO、PBO、PCO 全等，OAOBOC，O 为ABC 外心只有正确7(1)45 (2)30 (3)90解析 (1)由线面角定义知A 1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角， A 1BA45(2)连接 A1D、AD 1，交点为 O，则易证 A1D面 ABC1D1，所以 A1B 在面 ABC1D1 内的射影为 OB，A 1B 与面 ABC1D1 所成的角为A 1BO，A 1O A1B，12A 1BO3
8、0(3)A 1BAB 1，A 1BB 1C1，A 1B面 AB1C1D，即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 908A 1C1B1 90解析 如图所示，连接 B1C，由 BCCC 1，可得 BC1B 1C，因此，要证 AB1BC 1，则只要证明 BC1平面 AB1C，即只要证 ACBC 1 即可，由直三棱柱可知，只要证 AC BC 即可因为 A1C1AC，B 1C1BC，故只要证 A1C1B 1C1 即可(或者能推出 A1C1B 1C1 的条件，如 A 1C1B190等)990解析 B 1C1面 ABB1A1，B 1C1MN 又MNB 1M，MN面 C1B1M，MNC 1MC 1MN90
9、10证明 在平面 B1BCC1 中，E、F 分别是 B1C1、B 1B 的中点，BB 1E CBF，B 1BEBCF，BCFEBC90 ，CFBE ，又 AB平面 B1BCC1，CF平面 B1BCC1，ABCF，ABBEB，CF平面 EAB11证明 (1)PA 底面 ABCD，CDPA又矩形 ABCD 中，CD AD，且 ADPAA，CD平面 PAD，CDPD(2)取 PD 的中点 G，连接 AG，FG又G、F 分别是 PD，PC 的中点，GF 綊 CD， GF 綊 AE，12四边形 AEFG 是平行四边形，AGEFPAAD，G 是 PD 的中点，AGPD，EF PD，CD平面 PAD，AG平
10、面 PADCDAGEFCD PDCD D，EF平面 PCD12证明 连接 AB1，CB 1，设 AB1AB 1CB 1 ，2AOCO，B 1OAC 连接 PB1OB OB 2BB ，21 2132PB PD B 1D ，21 21 2194OP2PD 2DO 2 ，34OB OP 2 PB B 1OPO，21 21又POAC O，B 1O平面 PAC13证明 (1)SA 平面 ABC，BC 平面 ABC，SABC又BCAB ，SAABA，BC平面 SAB又AQ平面 SAB，BCAQ又 AQSB，BC SBB，AQ平面 SBC(2)AQ平面 SBC，SC平面 SBC，AQSC 又APSC，AQAPA，SC 平面 APQPQ平面 APQ，PQ SC