1、2.3.2 平面与平面垂直的判定【课时目标】 1掌握二面角的概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小2掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直1二面角：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角_叫做二面角的棱_叫做二面角的面2二面角的平面角如图：在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为_，在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和 OB 构成的_叫做二面角的平面角3平面与平面的垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_ ，就说这两个平面互相垂直(2)面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的_，则
2、这两个平面垂直符号表示：Error! 一、选择题1下列命题：两个相交平面组成的图形叫做二面角；异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系其中正确的是( )A B C D2下列命题中正确的是( )A平面 和 分别过两条互相垂直的直线，则 B若平面 内的一条直线垂直于平面 内两条平行线，则 C若平面 内的一条直线垂直于平面 内两条相交直线，则 D若平面 内的一条直线垂直于平面 内无数条直线，则 3设有直线 M、n 和平面 、，
3、则下列结论中正确的是( )若 Mn，n，M，则 ；若 Mn，M，n，则 ；若 M ，n ，Mn，则 A B C D4过两点与一个已知平面垂直的平面( )A有且只有一个 B有无数个C有且只有一个或无数个 D可能不存在5在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，把菱形沿对角线 AC 折起，使折起后BD ，则二面角 BAC D 的余弦值为( )32A B C D13 12 223 326在正四面体 PABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )ABC面 PDF BDF 面 PAEC面 PDF面 ABC D面 PAE面 ABC二、填空题7过正方形 AB
4、CD 的顶点 A 作线段 AP平面 ABCD，且 APAB，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角的度数是_8如图所示，已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，图中互相垂直的平面有_对9已知 、 是两个不同的平面，M、n 是平面 及 之外的两条不同直线，给出四个论断：Mn； ；n；M以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_三、解答题10如图所示，在空间四边形 ABCD 中，ABBC，CDDA，E、F、G 分别为CD、DA 和对角线 AC 的中点求证：平面 BEF平面 BGD11如图所示，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形，BCD60
5、，E是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA 3(1)证明：平面 PBE平面 PAB；(2)求二面角 ABEP 的大小能力提升12如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A 1C 的中点，点 D 在B1C1 上，A 1DB 1C求证：(1)EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C13如图，在三棱锥 PABC 中，PA底面 ABC，PA AB，ABC60，BCA 90，点 D、E 分别在棱 PB、PC 上，且 DEBC(1)求证：BC 平面 PAC(2)是否存在点 E 使得二面角 ADEP 为直二面角？并说明理由1证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面
6、面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直2利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加3证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化每一垂直
7、的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的232 平面与平面垂直的判定 答案知识梳理1两个半平面 这条直线 这两个半平面2垂足 AOB3(1)直二面角 (2) 垂线 a作业设计1B 不符合二面角定义，从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角故选 B2C3B 错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直4C 当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直5B 如图所示，由二面角的定义知BOD 即为二面角的平面角DOOBBD ，32BOD606C 如图所示，BCDF，BC平面 PDFA 正确由
8、 BCPE ，BCAE，BC平面 PAEDF平面 PAEB 正确平面 ABC平面 PAE(BC平面 PAE)D 正确745解析 可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体，不难求出二面角的大小为 4585解析 由 PA面 ABCD 知面 PAD面 ABCD，面 PAB 面 ABCD，又 PAAD，PAAB 且 ADAB ，DAB 为二面角 DPAB 的平面角，面 DPA面 PAB又 BC面 PAB，面 PBC面 PAB，同理 DC面 PDA，面 PDC面 PDA9(或 )10证明 ABBC，CDAD，G 是 AC 的中点，BGAC ，DGAC ，AC平面 BGD又 EFAC ， EF平面 BGD
9、EF平面 BEF，平面 BEF平面 BGD11(1)证明 如图所示，连接 BD，由 ABCD 是菱形且BCD60知，BCD 是等边三角形因为 E 是 CD 的中点，所以 BECD又 ABCD ，所以 BEAB 又因为 PA平面 ABCD，BE平面 ABCD，所以 PABE而 PAABA，因此 BE平面 PAB又 BE平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB(2)解 由(1)知，BE平面 PAB，PB平面 PAB，所以 PBBE又 ABBE，所以PBA 是二面角 ABEP 的平面角在 RtPAB 中，tanPBA ，则PBA 60 PAAB 3故二面角 ABEP 的大小是 6012证明 (1)
10、由 E、F 分别是 A1B、A 1C 的中点知 EFBC因为 EF平面 ABCBC平面 ABC所以 EF平面 ABC(2)由三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱知 CC1平面 A1B1C1又 A1D平面 A1B1C1，故 CC1A 1D又因为 A1DB 1C，CC 1B 1CC，故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D平面 A1FD，所以平面 A1FD 平面 BB1C1C13(1)证明 PA 底面 ABC，PABC又BCA90，ACBC又ACPA A，BC 平面 PAC(2)解 DE BC，又由(1) 知，BC平面 PAC，DE平面 PAC又AE平面 PAC，PE 平面 PAC，DEAE ，DEPE AEP 为二面角 ADEP 的平面角PA底面 ABC，PAAC ， PAC90 在棱 PC 上存在一点 E，使得 AEPC 这时AEP90 ，故存在点 E，使得二面角 ADEP 为直二面角