1、2017-2018 学年西藏拉萨高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 M=x|（x+2） （x 1）0，N=x|x +10，则 MN= （ ）A （ 1，1） B （2，1） C （ 2，1） D （1，2）2 （5 分） “a2” 是直线 ax+2y=3 与直线 x+（a1）y=1 相交的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）已知命题 p： x，y Z，x 2+y2=2015，则p 为（ ）A x，yZ，x 2+y22015 B x，y Z，x 2+y22015C x，y
2、 Z，x 2+y2=2015 D不存在 x，y Z，x 2+y2=20154 （5 分）已知 为锐角，且 sin= ，则 cos（+）=（ ）A B C D5 （5 分）已知数列a n是递增的等比数列， a1+a5=17，a 2a4=16，则公比 q=（ ）A 4 B4 C2 D26 （5 分）已知平面向量 和 的夹角等于 ， ， ，则 =（ ）A2 B C D7 （5 分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A2 + B3+ C2+ D3+8 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在x 轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N
3、在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D39 （5 分）在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“1tanx ”发生的概率为（ ）A B C D10 （5 分）过点 A（2，1）的直线交圆 x2+y22x+4y=0 于 B，C 两点，当|BC |最大时，直线 BC 的方程是（ ）A3xy5=0 B3x+y7=0 Cx+3y 5=0 Dx3y+5=011 （5 分）在空间，下列命题正确的是（ ）A如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 B如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 aC如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 aD如
4、果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 12 （5 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点，点 M 是线段 AB1 上的动点，则关于点 M 到平面 C1BD 的距离说法正确的是（ ）A点 M 运动到点 A 时距离最小B点 M 运动到线段 AB1 的中点时距离最大C点 M 运动到点 B1 时距离最大D点 M 到平面 C1BD 的距离为定值二、填空题13 （3 分）若 40 个数据的平方和是 56，平均数是 ，则这组数据的方差是 14 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 是双曲线 的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 15 （3 分）已知直线 l1：ax+3y
5、1=0 与直线 l2：2x+ （a 1）y +1=0 垂直，则实数a= 16 （3 分）给出下列四个命题：命题“xR，cosx0”的否定是“x R，cosx0”；a ，b ，c 是空间中的三条直线，ab 的充要条件是 ac 且 bc；命题“在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinB” 的逆命题为假命题；有些向量的坐标等于其起点的坐标，其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）三、解答题17袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？18已知圆 C：（x 1
6、） 2+y2=1（1）若直线与圆 C 相切且斜率为 1，求该直线的方程；（2）求与直线 x+y1=0 平行，且被圆 C 截得的线段长为 的直线的方程19 （100 分）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了 50 名学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求出 a，b，x，y 的值； （2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学参加元旦晚会，求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第
7、 5 组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这 50 名学生成绩的众数、中位数和平均数频率分布表组别分组 频数 频率第 1 组 50，60） 8 0.16第 2 组 60，70） a 第 3 组 70，80） 20 0.40第 4 组 80，90） 0.08第 5 组 90，100 2 b合计 20已知公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10=110，且a1， a2， a4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn21如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点，（1）证明：AD D
8、 1F；（2）求异面直线 AE 与 D1F 所成的角；（3）证明：平面 AED平面 A1FD122已知椭圆的一个顶点为 A（0， 1） ，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 xy+2=0 的距离为 3（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线 l：y=x +m，是否存在实数 m，使直线 l 与（1）中的椭圆有两个不同的交点 M、 N，且|AM|=|AN|，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由2017-2018 学年西藏拉萨高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 M=x|（x+2） （x 1）0，N=x|x
9、 +10，则 MN= （ ）A （ 1，1） B （2，1） C （ 2，1） D （1，2）【解答】解：集合 M=x|（x+2） （x 1）0，M=x|2x1，N=x|x +1 0，N=x|x 1，M N=x|2x1故选 C2 （5 分） “a2” 是直线 ax+2y=3 与直线 x+（a1）y=1 相交的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：若直线 ax+2y=3 与直线 x+（a1）y=1 平行，则 a（a 1）2=0，解得 a=2 或 a=1，若直线 ax+2y=3 与直线 x+（a1）y=1 相交，则 a 2 且 a 1，所以“a2”是
10、直线 ax+2y=3 与直线 x+（a 1）y=1 相交必要不充分条件，故选：B3 （5 分）已知命题 p： x，y Z，x 2+y2=2015，则p 为（ ）A x，yZ，x 2+y22015 B x，y Z，x 2+y22015C x，y Z，x 2+y2=2015 D不存在 x，y Z，x 2+y2=2015【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题 p：x，y Z，x 2+y2=2015，则p 为x ，y Z，x 2+y2 2015故选：A4 （5 分）已知 为锐角，且 sin= ，则 cos（+）=（ ）A B C D【解答】解： 为锐角， sin= ，cos= ，那么 cos
11、（+ ）=cos= 故选 A5 （5 分）已知数列a n是递增的等比数列， a1+a5=17，a 2a4=16，则公比 q=（ ）A 4 B4 C2 D2【解答】解：设等比数列a n是公比为 q 的递增的等比数列，由 a2a4=16，可得 a1a5=16，又 a1+a5=17，解得 或 （不合题意，舍去） ，即有 q4=16，解得 q=2（负的舍去） 故选：D6 （5 分）已知平面向量 和 的夹角等于 ， ， ，则 =（ ）A2 B C D【解答】解： =2 =1，（ ） 2= +4 4 =4， =2故选 A7 （5 分）已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）A2 + B3+ C
12、2+ D3+【解答】解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长 AB=1 的三棱锥，高 AS 为 2， （如图）AS平面 ABCD，AC= ，SD=SB= ，ADCD ，SDCD （三垂线定理）SDC 是直角三角形同理：SBCB，SBC 是直角三角形平面 SDC 的表面积为： ADSD= ，平面 ABS 的表面积为： ASAB=1，平面 ABD 的表面积为： ASAD=1，平面 SBC 的表面积为： BSCB= 平面 ABCD 表面积为：AB BC=1所以该几何体的表面积为：3+ 故选 D8 （5 分）过抛物线 C：y 2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在x
13、轴上方） ，l 为 C 的准线，点 N 在 l 上，且 MNl，则 M 到直线 NF 的距离为（ ）A B2 C2 D3【解答】解：抛物线 C： y2=4x 的焦点 F（1，0） ，且斜率为 的直线：y= （x1） ，过抛物线 C： y2=4x 的焦点 F，且斜率为 的直线交 C 于点 M（M 在 x 轴上方） ，l可知： ，解得 M（3，2 ） 可得 N（1， 2 ） ，NF 的方程为： y= （x 1） ，即 ，则 M 到直线 NF 的距离为： =2 故选：C9 （5 分）在区间0， 上随机地取一个数 x，则事件“1tanx ”发生的概率为（ ）A B C D【解答】解：0x，1tanx0
14、x 或 ，则事件“1tanx ”发生的概率 P= = ，故选：A10 （5 分）过点 A（2，1）的直线交圆 x2+y22x+4y=0 于 B，C 两点，当|BC |最大时，直线 BC 的方程是（ ）A3xy5=0 B3x+y7=0 Cx+3y 5=0 Dx3y+5=0【解答】解：把圆的方程 x2+y22x+4y=0 化为标准方程为（x1） 2+（y+2） 2=5，圆心坐标为（1，2） ，设直线 BC 的方程为 y=kx+b，又 A（2，1） ，把圆心坐标和 A 的坐标代入得： ，解得 ，则直线 BC 的方程为 y=3x5，即 3xy5=0故选 A11 （5 分）在空间，下列命题正确的是（ ）
15、A如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则 B如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 aC如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直，则 aD如果平面 内的两条直线都平行于平面 ，则 【解答】解：在 A 中，如果平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的任意一条直线，则由面面垂直的判定理得 ，故 A 正确；在 B 中，如果直线 a 与平面 内的一条直线平行，则 a 或 a，故 B 错误；在 C 中，如果直线 a 与平面 内的两条相交直线都垂直，则 a，故 C 错误；在 D 中，如果平面 内的两条相交直线都平行于平面 ，则 ，故 D 错误故选：A12 （5 分）在正三棱柱 A
16、BCA1B1C1 中，点 D 为 AC 的中点，点 M 是线段 AB1 上的动点，则关于点 M 到平面 C1BD 的距离说法正确的是（ ）A点 M 运动到点 A 时距离最小B点 M 运动到线段 AB1 的中点时距离最大C点 M 运动到点 B1 时距离最大D点 M 到平面 C1BD 的距离为定值【解答】解：连接 B1C 交 BC1 于 O，连接 OD，则 ODAB 1，AB 1平面 BDC1，M 到平面 C1BD 的距离为定值故选：D二、填空题13 （3 分）若 40 个数据的平方和是 56，平均数是 ，则这组数据的方差是 【解答】解：由方差的计算公式可得：S2= （ x1 ） 2+（x 2 ）
17、 2+（x n ） 2= （ x12+x22+xn2） 2= = ，这组数据的方差是 故答案为： 14 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 是双曲线 的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 2 【解答】解：双曲线 =1（a0，b0）的渐近线方程为 y= x，y= x 是其中一条渐近线， = ，又 b2=c2a2， =3，e 2= =4，e=2故答案为：215 （3 分）已知直线 l1：ax+3y1=0 与直线 l2：2x+ （a 1）y +1=0 垂直，则实数a= 【解答】解：直线 l1： ax+3y1=0 与直线 l2：2x+（a 1）y +1=0 垂直，斜率之积等于1，他们的斜率
18、分别为 和 ， =1，a= ，故答案为 16 （3 分）给出下列四个命题：命题“xR，cosx0”的否定是“x R，cosx0”；a ，b ，c 是空间中的三条直线，ab 的充要条件是 ac 且 bc；命题“在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinB” 的逆命题为假命题；有些向量的坐标等于其起点的坐标，其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【解答】解：命题“ xR，cosx0”的否定是“xR ，cosx0” ；故正确，在空间中，当 ac 且 bc 时，ab 不成立，故错误命题“在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinB” 的逆命题为若 sinAsinB，则AB ，为真命题，若 s
19、inAsinB，由正弦定理得 ab，则 AB 成立，即命题为真命题，设向量的起点坐标为（x 1，y 1） ，终点坐标为（x 2，y 2） ，若向量坐标为（x 1，y 1） ，则（x 1，y 1）=（x 2，y 2）（x 1，y 1） ，即 2（x 1，y 1）=（x 2，y 2） ，则 x2=2x1，y 2=2y1，即有些向量的坐标等于其起点的坐标，正确故正确的命题是，故答案为：三、解答题17袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球的概率也为，试求得黑球、黄球、绿球的概率分别为多少？【解答】解：袋中有 12
20、 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，设事件 A 表示“ 取到红球”，事件 B 表示“ 取到黑球 ”，事件 C 表示“取到黄球”，事件 D 表示“取到绿球”，得到红球的概率为 ，得到黑球或黄球的概率为 ，得到黄球或绿球的概率也为 ， ，解得 P（B）=P（D）= ，P（C）= ，取得黑球、黄球、绿球的概率分别为 18已知圆 C：（x 1） 2+y2=1（1）若直线与圆 C 相切且斜率为 1，求该直线的方程；（2）求与直线 x+y1=0 平行，且被圆 C 截得的线段长为 的直线的方程【解答】解：（1）设所求的切线方程为：y=x+b ，圆心 C（1， 0）到切线的距离 ， ，即
21、或 切线方程为 或 （2）设所求直线方程为 x+y+k=0圆心 C 到所求直线的距离为 = 即： ，k=0 或 k=2所求直线方程为 x+y=0 或 x+y2=019 （100 分）我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了 50 名学生的成绩（得分取正整数，满分为 100 分）作为样本进行统计请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）求出 a，b，x，y 的值； （2）在选取的样本中，从成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学参加元旦晚会，求所抽取的 2 名同学中至少有 1
22、 名同学来自第 5 组的概率；（3）根据频率分布直方图，估计这 50 名学生成绩的众数、中位数和平均数频率分布表组别分组 频数 频率第 1 组 50，60） 8 0.16第 2 组 60，70） a 第 3 组 70，80） 20 0.40第 4 组 80，90） 0.08第 5 组 90，100 2 b合计 【解答】解：（1）由题意可知， = ，解得 b=0.04；80，90 ）内的频数为 22=4，样本容量 n= =50，a=5082042=16；又60，70 ）内的频率为 =0.32，x= =0.032；90，100内的频率为 0.04，y= =0.004； （4 分）（2）由题意可知，
23、第 4 组共有 4 人，记为 A、B 、C、D，第 5 组共有 2 人，记为 X、Y ；从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学有AB、AC、AD、BC、BD 、CD、AX、AY、BX 、BY、CX、 CY、DX、DY 、XY 共 15 种情况； （6 分）设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E，有 AX、AY，BX 、BY、CX、 CY、DX、DY、XY 共 9 种情况； （7 分）所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P（E ）= = ； （8 分）（3）根据频率分布直方图知，众数为 （70+8
24、0）=75； （9 分）中位数为 ；（10 分）平均数 0.1655+0.3265+0.475+0.0885+0.0495=70.2（12 分）20已知公差不为零的等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 S10=110，且a1， a2， a4 成等比数列（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn= ，求数列b n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）根据a n为等差数列，d0前 n 项和为 Sn，且 S10=110，即 110=10a1+45d，a 1，a 2，a 4 成等比数列可得：a 22=a1a4（a 1+d） 2=a1（a 1+3d）由解得： ，数列a n的通项公式为 an=2n（
25、2）由 bn= ，即 bn= = 那么：数列b n的前 n 项和 Tn=b1+b2+bn= （1 + + ）= （ 1 ）21如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点，（1）证明：AD D 1F；（2）求异面直线 AE 与 D1F 所成的角；（3）证明：平面 AED平面 A1FD1【解答】解：（1）AC 1 是正方体，AD面 DC1又 D1F面 DC1，ADD 1F（2）取 AB 中点 G，连接 A1G，FG因为 F 是 CD 的中点，所以 GF、AD 平行且相等，又 A1D1、AD 平行且相等，所以 GF、A 1D1 平行且相等，故 GFD1A1 是
26、平行四边形，A 1GD 1F设 A1G 与 AE 相交于点 H，则 AHA 1 是 AE 与 D1F 所成的角，因为 E 是 BB1 的中点，所以 RtA 1AGRtABE，GA 1A=GAH，从而AHA 1=90，即直线 AE与 D1F 所成角为直角（3）由（2）得 D1FA 1G，在正方形 ABB1A1 中，tanA 1GA= =2，tanEAB= ，即有A 1GA+EAB=90 ，即有 AEA 1G，即有 AED 1F，又 ADD 1F，则 D1F平面 AED，D 1F平面 A1D1F，则面 AED面 A1FD1；22已知椭圆的一个顶点为 A（0， 1） ，焦点在 x 轴上，若右焦点到直线 xy+2=0 的距离为 3（I）求椭圆的标准方程；（II）设直线 l：y=x +m，是否存在实数 m，使直线 l 与（1）中的椭圆有两个不同的交点 M、 N，且|AM|=|AN|，若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（I）依题意，设椭圆的方程为 ，设右焦点为（c，0） ，则 （4 分） a2=b2+c2=3，椭圆方程为 （4 分）（II）设 M（x 1，y 1） ，N（ x2，y 2） ，由 得 4x2+6mx+3m23=0当判别式0 时， ， （9 分）|AM|=|AN|， ， ，故 m=2但此时判别式=0 ，满足条件的 m 不存在（12 分）