1、2017-2018 学年延安市普通班高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） “x 2”是“x3”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2 （5 分）命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（ ）A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数3 （5 分）设 a，b，c 都是实数已知命题 p：若 ab，则 a+cb+c；命题 q：若 ab0 ，则 acbc则下列命题中为真命题的是（
2、）A （p）q Bpq C （p）（q） D （p）（q）4 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x5 （5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ）A B C2 D46 （5 分）已知 M（ 2，0 ） ，N （2，0） ，|PM| |PN|=4，则动点 P 的轨迹是（ ）A一条射线 B双曲线 C双曲线左支 D双曲线右支7 （5 分）若方程 Ax2+By2=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 A、B 满足的条件是（ ）AA 0 ，且 B0 BA0，且 B0 CA 0，且 B0 DA0，且
3、B08 （5 分）在等比数列a n，a 3=2，a 7=32，则 q=（ ）A2 B2 C2 D49 （5 分）方程 2x25x+2=0 的两个根可分别作为 的离心率 （ ）A椭圆和双曲线 B两条抛物线 C椭圆和抛物线 D两个椭圆10 （5 分）已知 ab0，则下列式子中恒成立的是（ ）A B Ca 2b 2 D11 （5 分）不等式 x2axb0 的解为 2x 3，则 a，b 值分别为（ ）Aa=2，b=3 Ba=2，b=3 Ca=5 ，b= 6 Da=5，b=612 （5 分）已知 A（2，5，1） ，B（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，则向量 与的夹角为（ ）A30 B45 C60
4、 D90二空题（45=20） 13 （5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 14 （5 分）14 已知 =（1，2， 2） ， =（1，0，1） ，求（ 2 ） ）= 15 （5 分）在ABC 中，若 c2=a2+b2+ab，则C= 16 （5 分）已知双曲线 的一个焦点为 F（0，2） ，则 m= 三、解答题（共 5 小题，满分 70 分）17 （12 分）已知平面 1 的法向量为 =（1，2， 3）平面 2 的法向量为=（ 1，0，2）求两个平面夹角的余弦值18 （12 分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4 焦点在 x 轴上； （2）焦点为（0，5） ， （0，5）
5、经过点（2， ） 19 （16 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经过点M（4，1） ，直线 l：y=x +m 交椭圆于不同的两点 A，B （1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围20 （16 分）如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，ADBD，点 E，F 分别是AB，BD 的中点求证：（1）直线 EF面 ACD；（2）平面 EFC面 BCD21 （14 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足（2a c）cosB=bcosC（1）求角 B 的大小；（2）当 a=3，c=2 时，求ABC 的面积2017-2018 学年陕西省延安
6、市普通班高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1 （5 分） “x 2”是“x3”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：当 x= 时，满足 x2，但 x3 不成立，即充分性不成立，若 x3，则 x2，即必要性成立，则“x2”是“x3” 的必要不充分条件，故选：B2 （5 分）命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（ ）A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数
7、【解答】解：命题“ 所有能被 2 整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除 A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”故选：D3 （5 分）设 a，b，c 都是实数已知命题 p：若 ab，则 a+cb+c；命题 q：若 ab0 ，则 acbc则下列命题中为真命题的是（ ）A （p）q Bpq C （p）（q） D （p）（q）【解答】解：命题 p：若 ab ，则 a+cb +c 是真命题，则 p 为假命题，命题 q：若 ab0，则 acbc 是假命题，q 是真命题，（p）q 为假命题，p
8、 q 为假命题， （p）（q）为假命题， （p）（q）为真命题故选：D4 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程是（ ）Ay= x By= x Cy= x Dy= x【解答】解：化已知双曲线的方程为标准方程 ，可知焦点在 y 轴，且 a=3，b=2，故渐近线方程为 y= =故选 A5 （5 分）椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（ ）A B C2 D4【解答】解：椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍， ，故选 A6 （5 分）已知 M（ 2，0 ） ，N （2，0） ，|PM| |PN|=4，则动点 P 的轨迹是（ ）A一
9、条射线 B双曲线 C双曲线左支 D双曲线右支【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|PN|=4=2aa=2而两个定点 M（2，0 ） ， N（2，0 ）为双曲线的焦点c=2而在双曲线中 ca所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，故选 A7 （5 分）若方程 Ax2+By2=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 A、B 满足的条件是（ ）AA 0 ，且 B0 BA0，且 B0 CA 0，且 B0 DA0，且 B0【解答】解：方程 Ax2+By2=1 化成：，方程 Ax2+By2=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线， 即 A0，且 B0故选 C8 （5 分）在等比数列a n，a 3=2，a 7=32，
10、则 q=（ ）A2 B2 C2 D4【解答】解：设等比数列的公比为 q，首项为 a1则由题意可得两式相除可得， 即 q4=16q=2故选 C9 （5 分）方程 2x25x+2=0 的两个根可分别作为 的离心率 （ ）A椭圆和双曲线 B两条抛物线 C椭圆和抛物线 D两个椭圆【解答】解：2x 25x+2=0，解得方程的两个根为 x1=2，x 2= x 1=2（1， +） ，x 1 可作为双曲线的离心率；x 2= （0 ， 1） ，x 2 可作为椭圆的离心率故选：A10 （5 分）已知 ab0，则下列式子中恒成立的是（ ）A B Ca 2b 2 D【解答】解：ab0，不放令 a=3，b=2，则 ，可
11、排除 A；（3 ） 2（2） 2，可排除 C；= 1，可排除 D；而 ，即 ，B 正确故选 B11 （5 分）不等式 x2axb0 的解为 2x 3，则 a，b 值分别为（ ）Aa=2，b=3 Ba=2，b=3 Ca=5 ，b= 6 Da=5，b=6【解答】解：解法一不等式 x2axb0 的解为 2x3 ，一元二次方程 x2axb=0 的根为 x1=2，x 2=3，根据根与系数的关系可得： ，所以 a=5，b= 6；解法二不等式 x2axb0 的解为 2x3 ，不等式 x2axb0 与（x2） （x3）0 解集相同即 x2axb0 与 x25x+60 解集相同，所以 = = ，可得 a=5，b
12、=6故选 C12 （5 分）已知 A（2，5，1） ，B（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，则向量 与的夹角为（ ）A30 B45 C60 D90【解答】解：因为 A（2， 5，1） ，B（2， 2，4） ，C（1，4，1） ，所以 ，所以 0（1）+31+30=3，并且| |=3 ，| |= ，所以 cos ， = = ， 的夹角为 60故选 C二空题（45=20） 13 （5 分）抛物线 y=4x2 的焦点坐标是 【解答】解：由题意可知 p=焦点坐标为故答案为14 （5 分）14 已知 =（1，2， 2） ， =（1，0，1） ，求（ 2 ） ）= 17 【解答】解： =（1，2 ，2
13、） ， =（1，0，1） ， =（1，2，0） ，=（3 ，4，5） ，（ 2 ） ）=3+8 +0=5故答案为：515 （5 分）在ABC 中，若 c2=a2+b2+ab，则C= 120 【解答】解：c 2=a2+b2+ab，可得：ab=a 2+b2c2，cosC= = = ，C （0， 180） ，C=120故答案为：12016 （5 分）已知双曲线 的一个焦点为 F（0，2） ，则 m= 1 【解答】解：双曲线上午一个焦点为（0，2）双曲线在 y 轴上则双曲线方程为：c=2c 2=a2b 24=3m+（ m）解得：m=1故答案为1三、解答题（共 5 小题，满分 70 分）17 （12 分
14、）已知平面 1 的法向量为 =（1，2， 3）平面 2 的法向量为=（ 1，0，2）求两个平面夹角的余弦值【解答】解：平面 1 的法向量为 =（1，2，3 ）平面 2 的法向量为=（ 1，0，2） ，cos = = = 两个平面夹角的余弦值为 18 （12 分）写出适合条件的双曲线的标准方程：（1）a=3，b=4 焦点在 x 轴上； （2）焦点为（0，5） ， （0，5）经过点（2， ） 【解答】解：（1）根据题意，因为要求双曲线的焦点在 x 轴上，则可设双曲线的标准方程 =1，又因为 a=3，b=4，所以其标准方程为 =1；（2）根据题意，因为双曲线的焦点为（0，5） ， （0，5） ，所以
15、双曲线的焦点在y 轴上，又由双曲线经过点（2， ） ，则有 2a=| |=6，则 a=3，又由 c=5，则 b= =4，则双曲线的标准方程为： =119 （16 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，且经过点M（4，1） ，直线 l：y=x +m 交椭圆于不同的两点 A，B （1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围【解答】解：（1）由 ，得 ，a 2=4b2，依题意设椭圆方程为： ，把点（4，1）代入得 b2=5，椭圆方程为 ；（2）联立 ，得 5x2+8mx+4m220=0由=64m 220（4m 220）=400 16m20，解得5m5m 的取值范围是（5，5 ）
16、20 （16 分）如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD，ADBD，点 E，F 分别是AB，BD 的中点求证：（1）直线 EF面 ACD；（2）平面 EFC面 BCD【解答】证明：（1）E，F 分别是 AB，BD 的中点EF 是ABD 的中位线， EFAD ，EF 面 ACD，AD 面 ACD，直线 EF面 ACD；（2）AD BD，EFAD，EFBD，CB=CD，F 是 BD 的中点，CFBD又 EFCF=F，BD面 EFC，BD面 BCD，面 EFC面 BCD21 （14 分）在ABC 中，角 A、B 、C 的对边分别为 a、b 、c ，且满足（2a c）cosB=bcosC（1）求角 B 的大小；（2）当 a=3，c=2 时，求ABC 的面积【解答】.解：（1） （2ac）cosB=bcosC由正弦定理得：（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，即：2sinAcosB=sinA，在ABC 中，cosB= ，解得：B= （2）直接利用已知条件： =