1、2017-2018 学年宁夏高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）根据导数的定义 f（x 1）等于（ ）A BC D2 （5 分）设向量 是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ）A B C D 或3 （5 分）下列求导正确的是（ ）A （x + ）=1+ B （ log2x）=C （ 3x）=3 xlog3x D （x 2cosx）= 2xsinx4 （5 分）抛物线 x=2y2 的准线方程是（ ）A B C D5 （5 分）抛物线 y2=4x
2、的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是（ ）A B C1 D6 （5 分）已知 ，则 的最小值是（ ）A B C D7 （5 分）椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是（0，2） ，那么 k 等于（ ）A 1 B1 C D8 （5 分）函数 f（x ）=ax 3x 在 R 上是减函数，则（ ）Aa 0 Ba1 Ca2 D9 （5 分）若椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m 的值为（ ）A1 B 或 C D3 或10 （5 分）设 f（x ）在定义域内可导， y=f（x ）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（ ）A B CD11 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D
3、1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为（ ）A B C D12 （5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（ ）A4 B2 C D8二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 ，且 ，则 x 的值是 14 （5 分）曲线 y=x33x2+1 在点（1，1）处的切线方程为 15 （5 分）过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B两点，椭圆的中心为 O，则AOB 的面积为 16 （5 分）设双曲线 的一
4、条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知函数 f（ x）=x 33x，求函数 f（x ）在3， 上的最大值和最小值18 （12 分）求适合下列条件的曲线的标准方程 ：（1）a=4，b=1，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程；（2）a=4，b=3，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在 x 轴上，且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程19 （12 分）如图，空间四边形 OABC 中，OABC，OBAC求证：OCAB20 （12 分）如图，直棱柱
5、ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB 1 的中点，AA1=AC=CB= AB（）证明：BC 1平面 A1CD（）求二面角 DA1CE 的正弦值21 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x ）=e x2x+2a，x R（1）求 f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当 aln21 且 x0 时，e xx 22ax+122 （12 分）设 F1，F 2 分别为椭圆 的左右两个焦点（1）若椭圆 C 上的点 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：如果
6、 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 KPM，K PN 时，那么KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值，请给予证明2017-2018 学年宁夏高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）根据导数的定义 f（x 1）等于（ ）A BC D【解答】解：根据导数的定义 f（x 1）= ，故选 C2 （5 分）设向量 是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是（ ）
7、A B C D 或【解答】解：由题意和空间向量的共面定理，结合 + =（ + ）+（ ）=2 ，得 与 、 是共面向量，同理 与 、 是共面向量，所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底；又 与 和 不共面，所以 与 、 构成空间的一个基底故选：C3 （5 分）下列求导正确的是（ ）A （x + ）=1+ B （ log2x）=C （ 3x）=3 xlog3x D （x 2cosx）= 2xsinx【解答】解：A 选项不正确，因为（x+ ）=1 ；B 选项正确，由对数的求导公式知（ log2x）= ；C 选项不正确，因为（3 x）=3 xln3，故不正确D 选项不正确，因为（x 2cosx）=
8、2xcosxx 2sinx故选 B4 （5 分）抛物线 x=2y2 的准线方程是（ ）A B C D【解答】解：抛物线 x=2y2 的标准方程为 y2= x故 2p=即 p=则抛物线 x=2y2 的准线方程是故选 D5 （5 分）抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是（ ）A B C1 D【解答】解：抛物线方程为 y2=4x2p=4，可得 =1，抛物线的焦点 F（1，0）又双曲线的方程为a 2=1 且 b2=3，可得 a=1 且 b= ，双曲线的渐近线方程为 y= ，即 y= x，化成一般式得： 因此，抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =故选：B
9、6 （5 分）已知 ，则 的最小值是（ ）A B C D【解答】解： =（ 2，t ，t） （1 t，2t 1，0）=（1+t ，1 t，t ） ， = = 故当 t=0 时， 有最小值等于 ，故选 C7 （5 分）椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是（0，2） ，那么 k 等于（ ）A 1 B1 C D【解答】解：椭圆 5x2+ky2=5 即 x2 + =1，焦点坐标为（0，2） ，c 2=4， 1=4，k=1，故选 B8 （5 分）函数 f（x ）=ax 3x 在 R 上是减函数，则（ ）Aa 0 Ba1 Ca2 D【解答】解：求导函数可得：f（x ）=3ax 21函数 f（x ）=ax
10、 3x 在 R 上是减函数f（x）=3ax 210 在 R 上恒成立a 0故选：A9 （5 分）若椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m 的值为（ ）A1 B 或 C D3 或【解答】解：当椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上时， a= ，b= ，c=由 e= ，得 = ，即 m=3当椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上时，a= ，b= ，c=由 e= ，得 = ，即 m= 故选 D10 （5 分）设 f（x ）在定义域内可导， y=f（x ）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（ ）A B CD【解答】解：根据函数与导数的关系：可知，当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递增；当
11、f（x ）0 时，函数 f（x）单调递减结合函数 y=f（x）的图象可知，当 x0 时，函数 f（x）单调递减，则 f（x）0，排除选项 A，C当 x0 时，函数 f（x）先单调递增，则 f（x ）0，排除选项 B故选 D11 （5 分）在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为（ ）A B C D【解答】解：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴， DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则 A1（1，0 ，1） ，B（1 ，1，0） ，D（0，0，0） ，C（0，1，0） ，=（ 0
12、，1，1） ， =（1，0，1） ， =（0，1 ，0） ，设平面 A1B1CD 的法向量 =（x，y ，z） ，则 ，取 x=1，则 =（1，0，1） ，设直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 ，sin= = = ，= ，直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 故选：B12 （5 分）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A，B 两点，|AB|=4 ，则 C 的实轴长为（ ）A4 B2 C D8【解答】解：设等轴双曲线 C 的方程为 x2y2= （1）抛物线 y2=16x，2p=16， p=8， =4抛物线的准线方程为 x=
13、4设等轴双曲线与抛物线的准线 x=4 的两个交点 A（ 4，y） ，B（4， y） （y0） ，则|AB|=|y（y）|=2y=4 ，y=2 将 x=4，y=2 代入（1） ，得（ 4） 2（2 ） 2=，=4等轴双曲线 C 的方程为 x2y2=4，即 ，C 的实轴长为 4故选：A二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 （5 分）已知 ，且 ，则 x 的值是 5 【解答】解： ，且 ， =3+2x5=2，解得 x=5故答案为：514 （5 分）曲线 y=x33x2+1 在点（1，1）处的切线方程为 y=3x+2 【解答】解：由曲线 y=x33x2+1，所以 y=3x
14、26x，曲线 y=x33x2+1 在点（1， 1）处的切线的斜率为：y| x=1=3（1） 26=3此处的切线方程为：y+1= 3（x 1） ，即 y=3x+2故答案为：y=3x+215 （5 分）过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B两点，椭圆的中心为 O，则AOB 的面积为 【解答】解：把椭圆 x2+2y2=2 转化为标准方程 +y2=1，a 2=2，b 2=1，椭圆 x2+2y2=2 的焦点 F1（1，0） ，F 2（1，0） ，过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B 两点，设直线 AB 过焦点 F1（1， 0）
15、 ，直线 AB 的方程为 y=x1，联立方程组 ，整理，得 4x24x=0，解得 ， ，|AB|= = ，原点 O 到直线 AB：y=x 1 的距离 d= = ，S AOB = = 故答案为： 16 （5 分）设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 【解答】解：依题意可知双曲线渐近线方程为 y= x，与抛物线方程联立消去y 得 x2 x+1=0 渐近线与抛物线有一个交点= 4=0，求得 b2=4a2，c= = ae= =故答案为：三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 （10 分）已知函数 f（ x
16、）=x 33x，求函数 f（x ）在3， 上的最大值和最小值【解答】解：f（x ）=3x 23=3（x+1） （x 1） ，令 f（x）0，解得：x 1 或 x 1，令 f（x）0，解得：1x 1，故 f（x）在3，1）递增，在（ 1，1）递减，在（1， 递增，而 f（3）=27+9=18，f （ 1）=2 ，f（1）=2，f（ ）= ，故函数的最大值是 2，最小值是1818 （12 分）求适合下列条件的曲线的标准方程 ：（1）a=4，b=1，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程；（2）a=4，b=3，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程；（3）焦点在 x 轴上，且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的
17、标准方程【解答】解：（1）根据题意知 a=4，b=1 ，焦点在 x 轴上，a 2=16，b 2=1，故椭圆的标准方程为： ，即 （2）解：由题意，设方程为 ，a=4，b=3，a 2=16，b 2=9，所以双曲线的标准方程是 （3）焦点到准线的距离是 2，2p=4，当焦点在 y 轴上时，抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=4y19 （12 分）如图，空间四边形 OABC 中，OABC，OBAC求证：OCAB【解答】证明：OABC， ， （1）同理：由 OBAC 得 （2）由（1）（2）得 ， ， ，OCAB 20 （12 分）如图，直棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB
18、 1 的中点，AA1=AC=CB= AB（）证明：BC 1平面 A1CD（）求二面角 DA1CE 的正弦值【解答】解：（）证明：连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 的中点，又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF，因为 DF平面 A1CD，BC 1平面 A1CD，所以 BC1平面 A1CD（）因为直棱柱 ABCA1B1C1，所以 AA1CD ，由已知 AC=CB，D 为 AB 的中点，所以 CDAB ，又 AA1AB=A，于是，CD平面 ABB1A1，设 AB=2 ，则 AA1=AC=CB=2，得ACB=90，CD= ，A 1D= ，DE= ，A 1E=3故 A1
19、D2+DE2=A1E2，即 DEA 1D，所以 DE平面 A1DC，又 A1C=2 ，过 D 作 DF A1C 于 F，DFE 为二面角 DA1CE 的平面角，在A 1DC 中，DF= = ，EF= = ，所以二面角 DA1CE 的正弦值sinDFE= 21 （12 分）设 a 为实数，函数 f（x ）=e x2x+2a，x R（1）求 f（x）的单调区间与极值；（2）求证：当 aln21 且 x0 时，e xx 22ax+1【解答】解：（1）解：由 f（x ）=e x2x+2a，x R，知，f（x）=e x2，x R，令 f（x）=0，得 x=ln2，于是，当 x 变化时，f（x）和 f（x
20、 ）的变化情况如下表：x （，ln2） ln2 （ln2，+）f（x） 0 +f（x） 单调递减 22ln2+2a 单调递增故 f（x）的单调递减区间是（ ，ln2 ） ，单调递增区间是（ ln2，+） ，f（x）在 x=ln2 处取得极小值，极小值为 f（ln2 ）=22ln2+2a（2）证明：设 g（x）=e xx2+2ax1，x R，于是 g（x）=e x2x+2a，xR 由（1）知，对任意 xR，都有 g（x）0，所以 g（x ）在 R 内单调递增于是，当 aln21 时，对任意 x（0，+） ，都有 g（x ）g （0） ，而 g（0 ）=0，从而对任意 x（0 ，+） ，都有 g（
21、x ）0，即 exx2+2ax10，故 exx 22ax+122 （12 分）设 F1，F 2 分别为椭圆 的左右两个焦点（1）若椭圆 C 上的点 到 F1，F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：如果 M，N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P是椭圆上任意一点，当直线 PM，PN 的斜率都存在，并记为 KPM，K PN 时，那么KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值，请给予证明【解答】解：（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1，F 2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2又点 在椭圆上，因此 b2=3，于是 c2=1所以椭圆 C 的方程为 ，焦点 F1（ 1，0） ， F2（1，0） （2）设椭圆 C 上的动点为 K（x 1，y 1） ，线段 F1K 的中点 Q（x ，y） ，x 1=2x+1，y 1=2y因此 ，即 为所求的轨迹方程（3）设 M（ m，n） ，则 N（m， n） ，再设 P（x，y）从而 由 M（ m，n） ，P（x，y）在已知椭圆 上，故可解得 ， ，带入 中，化简有 即 KPM 与之 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值