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2017-2018学年宁夏高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

1、2017-2018 学年宁夏高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)根据导数的定义 f(x 1)等于( )A BC D2 (5 分)设向量 是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )A B C D 或3 (5 分)下列求导正确的是( )A (x + )=1+ B ( log2x)=C ( 3x)=3 xlog3x D (x 2cosx)= 2xsinx4 (5 分)抛物线 x=2y2 的准线方程是( )A B C D5 (5 分)抛物线 y2=4x

2、的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是( )A B C1 D6 (5 分)已知 ,则 的最小值是( )A B C D7 (5 分)椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( )A 1 B1 C D8 (5 分)函数 f(x )=ax 3x 在 R 上是减函数,则( )Aa 0 Ba1 Ca2 D9 (5 分)若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( )A1 B 或 C D3 或10 (5 分)设 f(x )在定义域内可导, y=f(x )的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能是( )A B CD11 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D

3、1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( )A B C D12 (5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 ,则 C 的实轴长为( )A4 B2 C D8二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知 ,且 ,则 x 的值是 14 (5 分)曲线 y=x33x2+1 在点(1,1)处的切线方程为 15 (5 分)过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B两点,椭圆的中心为 O,则AOB 的面积为 16 (5 分)设双曲线 的一

4、条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知函数 f( x)=x 33x,求函数 f(x )在3, 上的最大值和最小值18 (12 分)求适合下列条件的曲线的标准方程 :(1)a=4,b=1,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程;(2)a=4,b=3,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程;(3)焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程19 (12 分)如图,空间四边形 OABC 中,OABC,OBAC求证:OCAB20 (12 分)如图,直棱柱

5、ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB 1 的中点,AA1=AC=CB= AB()证明:BC 1平面 A1CD()求二面角 DA1CE 的正弦值21 (12 分)设 a 为实数,函数 f(x )=e x2x+2a,x R(1)求 f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当 aln21 且 x0 时,e xx 22ax+122 (12 分)设 F1,F 2 分别为椭圆 的左右两个焦点(1)若椭圆 C 上的点 到 F1,F 2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:如果

6、 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 KPM,K PN 时,那么KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值,请给予证明2017-2018 学年宁夏高二(上)期末数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)根据导数的定义 f(x 1)等于( )A BC D【解答】解:根据导数的定义 f(x 1)= ,故选 C2 (5 分)设向量 是空间一个基底,则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )

7、A B C D 或【解答】解:由题意和空间向量的共面定理,结合 + =( + )+( )=2 ,得 与 、 是共面向量,同理 与 、 是共面向量,所以 与 不能与 、 构成空间的一个基底;又 与 和 不共面,所以 与 、 构成空间的一个基底故选:C3 (5 分)下列求导正确的是( )A (x + )=1+ B ( log2x)=C ( 3x)=3 xlog3x D (x 2cosx)= 2xsinx【解答】解:A 选项不正确,因为(x+ )=1 ;B 选项正确,由对数的求导公式知( log2x)= ;C 选项不正确,因为(3 x)=3 xln3,故不正确D 选项不正确,因为(x 2cosx)=

8、2xcosxx 2sinx故选 B4 (5 分)抛物线 x=2y2 的准线方程是( )A B C D【解答】解:抛物线 x=2y2 的标准方程为 y2= x故 2p=即 p=则抛物线 x=2y2 的准线方程是故选 D5 (5 分)抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线 x2 =1 的渐近线的距离是( )A B C1 D【解答】解:抛物线方程为 y2=4x2p=4,可得 =1,抛物线的焦点 F(1,0)又双曲线的方程为a 2=1 且 b2=3,可得 a=1 且 b= ,双曲线的渐近线方程为 y= ,即 y= x,化成一般式得: 因此,抛物线 y2=4x 的焦点到双曲线渐近线的距离为 d= =故选:B

9、6 (5 分)已知 ,则 的最小值是( )A B C D【解答】解: =( 2,t ,t) (1 t,2t 1,0)=(1+t ,1 t,t ) , = = 故当 t=0 时, 有最小值等于 ,故选 C7 (5 分)椭圆 5x2+ky2=5 的一个焦点是(0,2) ,那么 k 等于( )A 1 B1 C D【解答】解:椭圆 5x2+ky2=5 即 x2 + =1,焦点坐标为(0,2) ,c 2=4, 1=4,k=1,故选 B8 (5 分)函数 f(x )=ax 3x 在 R 上是减函数,则( )Aa 0 Ba1 Ca2 D【解答】解:求导函数可得:f(x )=3ax 21函数 f(x )=ax

10、 3x 在 R 上是减函数f(x)=3ax 210 在 R 上恒成立a 0故选:A9 (5 分)若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 m 的值为( )A1 B 或 C D3 或【解答】解:当椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上时, a= ,b= ,c=由 e= ,得 = ,即 m=3当椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上时,a= ,b= ,c=由 e= ,得 = ,即 m= 故选 D10 (5 分)设 f(x )在定义域内可导, y=f(x )的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能是( )A B CD【解答】解:根据函数与导数的关系:可知,当 f(x)0 时,函数 f(x)单调递增;当

11、f(x )0 时,函数 f(x)单调递减结合函数 y=f(x)的图象可知,当 x0 时,函数 f(x)单调递减,则 f(x)0,排除选项 A,C当 x0 时,函数 f(x)先单调递增,则 f(x )0,排除选项 B故选 D11 (5 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( )A B C D【解答】解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则 A1(1,0 ,1) ,B(1 ,1,0) ,D(0,0,0) ,C(0,1,0) ,=( 0

12、,1,1) , =(1,0,1) , =(0,1 ,0) ,设平面 A1B1CD 的法向量 =(x,y ,z) ,则 ,取 x=1,则 =(1,0,1) ,设直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 ,sin= = = ,= ,直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为 故选:B12 (5 分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,|AB|=4 ,则 C 的实轴长为( )A4 B2 C D8【解答】解:设等轴双曲线 C 的方程为 x2y2= (1)抛物线 y2=16x,2p=16, p=8, =4抛物线的准线方程为 x=

13、4设等轴双曲线与抛物线的准线 x=4 的两个交点 A( 4,y) ,B(4, y) (y0) ,则|AB|=|y(y)|=2y=4 ,y=2 将 x=4,y=2 代入(1) ,得( 4) 2(2 ) 2=,=4等轴双曲线 C 的方程为 x2y2=4,即 ,C 的实轴长为 4故选:A二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知 ,且 ,则 x 的值是 5 【解答】解: ,且 , =3+2x5=2,解得 x=5故答案为:514 (5 分)曲线 y=x33x2+1 在点(1,1)处的切线方程为 y=3x+2 【解答】解:由曲线 y=x33x2+1,所以 y=3x

14、26x,曲线 y=x33x2+1 在点(1, 1)处的切线的斜率为:y| x=1=3(1) 26=3此处的切线方程为:y+1= 3(x 1) ,即 y=3x+2故答案为:y=3x+215 (5 分)过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B两点,椭圆的中心为 O,则AOB 的面积为 【解答】解:把椭圆 x2+2y2=2 转化为标准方程 +y2=1,a 2=2,b 2=1,椭圆 x2+2y2=2 的焦点 F1(1,0) ,F 2(1,0) ,过椭圆 x2+2y2=2 的焦点引一条倾斜角为 45的直线与椭圆交于 A、B 两点,设直线 AB 过焦点 F1(1, 0)

15、 ,直线 AB 的方程为 y=x1,联立方程组 ,整理,得 4x24x=0,解得 , ,|AB|= = ,原点 O 到直线 AB:y=x 1 的距离 d= = ,S AOB = = 故答案为: 16 (5 分)设双曲线 的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 【解答】解:依题意可知双曲线渐近线方程为 y= x,与抛物线方程联立消去y 得 x2 x+1=0 渐近线与抛物线有一个交点= 4=0,求得 b2=4a2,c= = ae= =故答案为:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (10 分)已知函数 f( x

16、)=x 33x,求函数 f(x )在3, 上的最大值和最小值【解答】解:f(x )=3x 23=3(x+1) (x 1) ,令 f(x)0,解得:x 1 或 x 1,令 f(x)0,解得:1x 1,故 f(x)在3,1)递增,在( 1,1)递减,在(1, 递增,而 f(3)=27+9=18,f ( 1)=2 ,f(1)=2,f( )= ,故函数的最大值是 2,最小值是1818 (12 分)求适合下列条件的曲线的标准方程 :(1)a=4,b=1,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程;(2)a=4,b=3,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程;(3)焦点在 x 轴上,且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的

17、标准方程【解答】解:(1)根据题意知 a=4,b=1 ,焦点在 x 轴上,a 2=16,b 2=1,故椭圆的标准方程为: ,即 (2)解:由题意,设方程为 ,a=4,b=3,a 2=16,b 2=9,所以双曲线的标准方程是 (3)焦点到准线的距离是 2,2p=4,当焦点在 y 轴上时,抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=4y19 (12 分)如图,空间四边形 OABC 中,OABC,OBAC求证:OCAB【解答】证明:OABC, , (1)同理:由 OBAC 得 (2)由(1)(2)得 , , ,OCAB 20 (12 分)如图,直棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB

18、 1 的中点,AA1=AC=CB= AB()证明:BC 1平面 A1CD()求二面角 DA1CE 的正弦值【解答】解:()证明:连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点,又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1DF,因为 DF平面 A1CD,BC 1平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD()因为直棱柱 ABCA1B1C1,所以 AA1CD ,由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CDAB ,又 AA1AB=A,于是,CD平面 ABB1A1,设 AB=2 ,则 AA1=AC=CB=2,得ACB=90,CD= ,A 1D= ,DE= ,A 1E=3故 A1

19、D2+DE2=A1E2,即 DEA 1D,所以 DE平面 A1DC,又 A1C=2 ,过 D 作 DF A1C 于 F,DFE 为二面角 DA1CE 的平面角,在A 1DC 中,DF= = ,EF= = ,所以二面角 DA1CE 的正弦值sinDFE= 21 (12 分)设 a 为实数,函数 f(x )=e x2x+2a,x R(1)求 f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当 aln21 且 x0 时,e xx 22ax+1【解答】解:(1)解:由 f(x )=e x2x+2a,x R,知,f(x)=e x2,x R,令 f(x)=0,得 x=ln2,于是,当 x 变化时,f(x)和 f(x

20、 )的变化情况如下表:x (,ln2) ln2 (ln2,+)f(x) 0 +f(x) 单调递减 22ln2+2a 单调递增故 f(x)的单调递减区间是( ,ln2 ) ,单调递增区间是( ln2,+) ,f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2 )=22ln2+2a(2)证明:设 g(x)=e xx2+2ax1,x R,于是 g(x)=e x2x+2a,xR 由(1)知,对任意 xR,都有 g(x)0,所以 g(x )在 R 内单调递增于是,当 aln21 时,对任意 x(0,+) ,都有 g(x )g (0) ,而 g(0 )=0,从而对任意 x(0 ,+) ,都有 g(

21、x )0,即 exx2+2ax10,故 exx 22ax+122 (12 分)设 F1,F 2 分别为椭圆 的左右两个焦点(1)若椭圆 C 上的点 到 F1,F 2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质:如果 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜率都存在,并记为 KPM,K PN 时,那么KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值,请给予证明【解答】解:(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1,F 2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2又点 在椭圆上,因此 b2=3,于是 c2=1所以椭圆 C 的方程为 ,焦点 F1( 1,0) , F2(1,0) (2)设椭圆 C 上的动点为 K(x 1,y 1) ,线段 F1K 的中点 Q(x ,y) ,x 1=2x+1,y 1=2y因此 ,即 为所求的轨迹方程(3)设 M( m,n) ,则 N(m, n) ,再设 P(x,y)从而 由 M( m,n) ,P(x,y)在已知椭圆 上,故可解得 , ,带入 中,化简有 即 KPM 与之 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值