1、2017-2018 学年宁夏高二（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）双曲线 =1 的焦距为（ ）A2 B4 C2 D42 （5 分）下列各式正确的是（ ）A （sin a）=cos a（a 为常数） B （cos x）=sin xC （ sin x）=cos x D （x 5）= x63 （5 分）命题：“若1x 1，则 x21”的逆否命题是（ ）A若 x1 或 x1，则 x21 B若 x21 ，则 1x1C若 x21 ，则 x1 或 x 1 D若 x21，则 x1 或 x14 （5 分）抛物线 y= x2 的准线方程是（ ）A By=2 C Dy
2、=25 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A 2 B2 C4 D46 （5 分）ABC 的两个顶点为 A（ 4，0） ，B（4，0） ，ABC 周长为 18，则 C点轨迹为（ ）A =1（y0） B =1（y0）C =1 （y0） D =1 （y 0）7 （5 分）下列判断错误的是（ ）A “am2bm 2”是“ab“的充分不必要条件B命题“xR，x 3x210”的否定是“ xR，x 3x210 I”C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题D “x=2”是“x 2=4”，的充分不必要条件8 （5 分）曲线 f（x ）=x 3+x2
3、在 p0 处的切线平行于直线 y=4x1，则 p0 的坐标为（ ）A （1 ，0 ） B （2，8） C （1，0）或（ 1，4） D （2，8）或（1，4）9 （5 分）已知命题 p： x0R，sinx 0= ；命题 q： xR，x 2x+10则下列结论正确的是（ ）A命题是 pq 假命题 B命题是 pq 真命题C命题是（p）（q）真命题 D命题是（p）（q）真命题10 （5 分）一抛物线型拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m 时，则水面宽为（ ）A m B2 m C4.5m D9m11 （5 分）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与
4、 C交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A B C2 D312 （5 分）若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|等于（ ）Am a B Cm 2a2 D二.填空题：（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程为 14 （5 分）过点 Q（4， 1）作抛物线 y2=8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，则弦 AB所在直线方程为 15 （5 分）已知函数 f（ x）= +x+1 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知命题 ，命题 q：（xa ） （xa1
5、）0，若p 是q的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 三解答题：（满分 70 分）17 （10 分）已知曲线 9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为 的双曲线方程18 （12 分）已知函数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程19 （12 分）已知圆 x2+y2=9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP，点M 在 PP上，并且 =2 ，求点 M 的轨迹20 （12 分）已知命题 p：对任意实数 x 都有 ax2+ax+10 恒成立；命题 q：关于 x 的方程 x2x+a=0
6、 有实数根；如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围21 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2，g （x ）2x+1 恒成立，求 c 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个顶点 A（2，0） ，离心率为 ，直线 y=k（x1）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程；（2）当AMN 的面积为 时，求实数 k 的值2017-2018 学年宁夏高二（上）期末
7、数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）双曲线 =1 的焦距为（ ）A2 B4 C2 D4【解答】解：双曲线 =1，可知 a2=10，b 2=2，c 2=12，c=2 ，2c=4 双曲线 =1 的焦距为： 4 故选：D2 （5 分）下列各式正确的是（ ）A （sin a）=cos a（a 为常数） B （cos x）=sin xC （ sin x）=cos x D （x 5）= x6【解答】解：对于选项 A，y=sina 为常数函数，故（sin a）=0，故选项 A 不正确；对于选项 B，y=cosx 为余弦函数，故（cosx）= sinx，故
8、选项 B 不正确；对于选项 C， y=sinx 为正弦函数，故（sinx ）=cosx，故选项 C 正确；对于选项 D， y=x5 为幂函数，故（ x5）= 5x6，故选项 D 不正确，综上，正确的选项是 C故选 C3 （5 分）命题：“若1x 1，则 x21”的逆否命题是（ ）A若 x1 或 x1，则 x21 B若 x21 ，则 1x1C若 x21 ，则 x1 或 x 1 D若 x21，则 x1 或 x1【解答】解：命题：“ 若 1x 1，则 x21”条件为：“若 1x 1”，结论为：“x 21”；故其逆否命题为：若 x21，则 x1 或 x 1故选 D4 （5 分）抛物线 y= x2 的准
9、线方程是（ ）A By=2 C Dy=2【解答】解： ，x 2=8y，其准线方程是 y=2故选 B5 （5 分）若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 + =1 的右焦点重合，则 p 的值为（ ）A 2 B2 C4 D4【解答】解：由椭圆 a= ，b= ，c2=a2 c2=4，则椭圆的焦点右焦点 F（2，0） ，由抛物线 y2=2px 的焦点 ，则 =2，则 p=4，故选：D6 （5 分）ABC 的两个顶点为 A（ 4，0） ，B（4，0） ，ABC 周长为 18，则 C点轨迹为（ ）A =1（y0） B =1（y0）C =1 （y0） D =1 （y 0）【解答】解：ABC 的两顶点 A（ 4
10、，0） ，B（4，0） ，周长为 18，AB=8，BC +AC=10，108 ，点 C 到两个定点的距离之和等于定值，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，2a=10，2c=8 ，b=3 ，椭圆的标准方程是 =1（y 0） 故选：A7 （5 分）下列判断错误的是（ ）A “am2bm 2”是“ab“的充分不必要条件B命题“xR，x 3x210”的否定是“ xR，x 3x210 I”C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题D “x=2”是“x 2=4”，的充分不必要条件【解答】解：am 2bm 2ab，但 ab 时 am2bm 2 不一定成立（如 m=0） ，所以 A 正确；命题“xR，
11、x 3x210”的否定是“x R，x 3x210” ，所以 B 正确；若 pq 为假命题，则 p，q 中至少一个是假命题，所以 C 错误；x=2x 2=4，但 x2=4 时 x=2 或 x=2，所以 D 正确故选 C8 （5 分）曲线 f（x ）=x 3+x2 在 p0 处的切线平行于直线 y=4x1，则 p0 的坐标为（ ）A （1 ，0 ） B （2，8） C （1，0）或（ 1，4） D （2，8）或（1，4）【解答】解：因为直线 y=4x1 的斜率为 4，且切线平行于直线 y=4x1，所以函数在 p0 处的切线斜率 k=4，即 f（x）=4 因为函数的导数为 f（x ）=3x 2+1，
12、由 f（x）=3x 2+1=4，解得 x=1 或1当 x=1 时，f（1）=0，当 x=1 时，f（ 1）= 4所以 p0 的坐标为（1，0）或（1， 4） 故选 C9 （5 分）已知命题 p： x0R，sinx 0= ；命题 q： xR，x 2x+10则下列结论正确的是（ ）A命题是 pq 假命题 B命题是 pq 真命题C命题是（p）（q）真命题 D命题是（p）（q）真命题【解答】解：命题 p：因为 1sinx1，故不存在 xR，使 sinx= ，命题 p 为假；命题 q：=14=30，故 xR，都有 x2+x+10 为真，命题是 pq 是真，命题“pq” 是假命题，命题是（p）（q）真命题
13、，命题是（p）（q）假命题故选：C10 （5 分）一抛物线型拱桥，当水面离桥顶 2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m 时，则水面宽为（ ）A m B2 m C4.5m D9m【解答】解：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为 x2=2Py（P0） ，由题意知，抛物线过点（2，2） ，4=2p2p=1x 2=2y当 y0=3 时，得 x02=6水面宽为 2|x0|=2 11 （5 分）设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A B C2 D3【解答】解：不妨设双曲线 C： ，焦点
14、F（c，0） ，对称轴 y=0，由题设知 ， ，b2=2a2，c2a2=2a2，c2=3a2，e= 故选 B12 （5 分）若椭圆 和双曲线 有相同的焦点 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|PF2|等于（ ）Am a B Cm 2a2 D【解答】解：椭圆 和双曲线有相同的焦点 F1，F 2，P 是两曲线的一个交点，|PF 1|+|PF2|=2 ，|PF 1|PF2|=2 ，|PF1|PF2|= =ma故选 A二.填空题：（每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）双曲线 =1 的渐近线方程为 y= 【解答】解：双曲线 =1，由 =0，可得双曲线 =1 的渐近线方程为 y=
15、，故答案为：y= 14 （5 分）过点 Q（4， 1）作抛物线 y2=8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，则弦 AB所在直线方程为 4xy15=0 【解答】解：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）Q （ 4，1）是 AB 中点， =4， =1，x 1+x2=8，y 1+y2=2，又A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）在 y2=8x 上，y 12=8x1，y 22=8x2，两式相减，得：y 22y12=2（y 2y1）=8 （x 2x1） ，得到 =4，直线 AB 的斜率 k=4，直线经过 Q（4，1） ，直线 AB 的方程为 y1=4（x4） ，整理，得 AB 所在的直线方
16、程： 4xy15=0；故答案为：4xy15=015 （5 分）已知函数 f（ x）= +x+1 有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 （，1）（1，+） 【解答】解：函数 f（x） = +x+1 的导数 f（x）=x 2+2ax+1由于函数 f（x）有两个极值点，则方程 f（x） =0 有两个不相等的实数根，即有=4a 240，解得， a1 或 a 1故答案为：（，1）（1，+）16 （5 分）已知命题 ，命题 q：（xa ） （xa1）0，若p 是q的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 0， 【解答】解：由（xa） （xa1）0 得 axa+1，若p 是q 的必要不充分条件，则 q
17、是 p 的必要不充分条件，即 ，即 0a ，则实数 a 的取值范围是：故答案为：0， 三解答题：（满分 70 分）17 （10 分）已知曲线 9x2+y2=81（1）求其长轴长，焦点坐标，离心率（2）求与已知曲线共焦点且离心率为 的双曲线方程【解答】 （10 分）解：（1）曲线 9x2+y2=81，的标准方程为： ，可得 a=9，b=3，c= =6 ，所以长轴长为：18，焦点坐标（0， ） （2）与已知曲线共焦点，可得 c=6 ，离心率为 ，则 a=6，则 b= =6所求的双曲线方程为：y 2x2=36 （5 分）18 （12 分）已知函数 f（ x）=2xlnx（1）求这个函数的导数（2）求
18、这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程【解答】解：（1）f（x ）=2xlnx ，f（x）=2（lnx+1）=2lnx+2，（2）由（1）f （1）=0 ，f（x ）=2lnx+2，k=f（1）=2，这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程：y=2x2 19 （12 分）已知圆 x2+y2=9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP，点M 在 PP上，并且 =2 ，求点 M 的轨迹【解答】解：根据题意，设 P（m，n） ，则 P（m，0） ，设 M（ x，y） ，由 =2 ，可得 ，即 ，将 P（ x，3y）代入 x2+y2=9，可得 x2+（3y） 2=9，化简得 +y2=1，即
19、为点 M 的轨迹方程，表示焦点在 x 轴，长轴长为 6，短轴长为 2 的椭圆20 （12 分）已知命题 p：对任意实数 x 都有 ax2+ax+10 恒成立；命题 q：关于 x 的方程 x2x+a=0 有实数根；如果 p 与 q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围【解答】解：对任意实数 x 都有 ax2+ax+10 恒成立a=0 或0a4；关于 x 的方程 x2x+a=0 有实数根 14a0a ；如果 p 正确，且 q 不正确，有 0a4，且 a ； a 4如果 q 正确，且 p 不正确，有 a0 或 a4，且 a a0所以实数 a 的取值范围为（，0）（ ，4） 故答案为：（，0）
20、 （ ，4） 21 （12 分）已知函数 f（ x）=kx 3+3（k1）x 2k2+1 在 x=0，x=4 处取得极值（1）求常数 k 的值；（2）求函数 f（x）的单调区间与极值；（3）设 g（x）=f（x）+c，且x 1，2，g （x ）2x+1 恒成立，求 c 的取值范围【解答】解：（1）f（x）=3kx 2+6（k1）x，由于在 x=0，x=4 处取得极值，f（0）=0 ， f（4）=0，48k+24（k1）=0，即 k= ；（2）由（1）可知 f（x ） = x32x2+ ，f （x）=x 24x=x（x 4） ，f（x ） ，f（x）随x 的变化情况如下表：x （， 0）0 （0
21、 ，4）4 （4 ，+）f（x ） + 0 0 +f（x） 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数当 x0 或 x4，f（x）为增函数， 0x4，f（x）为减函数； 极大值为 f（0）= ，极小值为 f（4）= ；（3）要使命题成立，需使 g（x）的最小值不小于 2c+1由（2）得：g（1 ）=f（ 1）+c= +c，g（2）=f（2）+c= +c，g （x）min= +c2c+ 1，c 22 （12 分）已知椭圆 C： + =1（ab0）的一个顶点 A（2，0） ，离心率为 ，直线 y=k（x1）与椭圆 C 交于不同的两点 M，N（1）求椭圆 C 的方程；（2）当AMN 的面积为 时，求实数 k 的值【解答】解：（1）由椭圆的焦点在 x 轴上，则 a=2，由椭圆的离心率e= = ，则 c= ，b2=a2c2=2，则椭圆 C 的方程为： ；（2）设 M（ x1，y 1） ，N（x 2，y 2） ，联立 ，整理得， （1+2k 2）x24k2x+2k24=0，0，x 1+x2= ，x 1x2= |MN|= = = =点 A 到直线 MN 的距离 d= AMN 的面积 S= |MN|d= = ，化为：20k 47k213=0，解得 k2=1，解得 k=1实数 k 的值1