1、2017-2018 学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题 5 分共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= ，则双曲线的焦距为（ ）A B2 C2 D102 （5 分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被y=3sin x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C
2、D3 （5 分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a 和 b，则方程ax2+bx+1=0 有实数解的概率是（ ）A B C D4 （5 分）如表是某单位 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份 x 1 2 3 4用水量 y 4 5 a 7由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则 a 等于（ ）A6 B6.05 C6.2 D5.955 （5 分）下列四个命题：命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“ 若 x1，则 x23x+20”“x2”是“x 23x+20” 的必要不充分条件若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题对
3、于命题 p：x R，使得 x2+x+10，则p：xR，使得 x2+x+10其中，错误的命题个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6 （5 分）抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为（ ）A4 B8 C D7 （5 分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取 n 人去体检，若老、中、青人数之比为 4：1：5，已知抽到 10 位中年人，则样本的容量为（ ）A40 B100 C80 D508 （5 分）下列程序框图中，输出的 A 的值是（ ）A B C D9 （5 分）若双曲线 C1 以椭圆 C2： + =1 的焦点为顶点，以椭圆 C2 长轴的端点为焦点，则双曲线
4、 C1 的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =110 （5 分）某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）A “至少 1 名男生 ”与“至少有 1 名是女生”B “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”C “至少 1 名男生”与“全是男生”D “至少 1 名男生”与“全是女生”11 （5 分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1：2：3，第 1 小组的频数为 6，则报考飞行员的学生人数是（ ）A32 B40 C4
5、8 D5612 （5 分）设双曲线 C： 的左、右焦点分别为F1，F 2，|F 1F2|=2c，过 F2 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A，已知，|F 2Q|F 2A|，点 P 是双曲线 C 右支上的动点，且|PF 1|+|PQ|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，.将答案填入答卷指定位置）.13 （5 分）已知向量 =（k ，12，1） ， =（4，5，1） ， =（k，10，1） ，且A、B 、C 三点共线，则 k= 14 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）的过焦点的弦为 AB，且|AB|=9，x A+xB
6、=6，则 p= 15 （5 分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A给出的分数如图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 x）无法看清若记分员计算无误，则数字 x 应该是 16 （5 分）设圆（x+1） 2+y2=25 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 三解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17 （10 分）已知集合 Z=（x，y ）|x0，2，y1，1（1
7、）若 x，y Z，求 x+y0 的概率；（2）若 x，y R，求 x+y 0 的概率18 （12 分）命题 p： ；命题 q：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆若“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 m 的取值范围19 （12 分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率20 （12 分）已知 O 为坐标原点， M
8、 是椭圆 =1 上的点，设动点 P 满足（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y=x +m（m0）与曲线 C 相交于 A，B 两个不同点，求OAB面积的最大值21 （12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60（）求证：AC平面 BDE；（）求二面角 FBED 的余弦值；（）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM平面BEF，并证明你的结论22 （12 分）已知椭圆 =1（ab 0）过点 ，离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 x2=
9、2y 于 A、B 两点，O 为原点求证：OAOB；设 OA、OB 分别与椭圆相交于 C、D 两点，过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH，垂足为 H，证明： |OH|为定值2017-2018 学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题 5 分共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1 （5 分）已知双曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= ，则双曲线的焦距为（ ）A B2 C2 D10【解答】解：曲线 =1 的一条渐近线方程为 y= ，可得： = ，解得 m=4，则 b=2，a=3 ，c= 双曲线的焦距为 2 故选：B2 （5 分）太
10、极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 O 被y=3sin x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，大圆的直径为 y=3sin x 的周期，且 T= =12，面积为 S= =36，一个小圆的面积为 S=12=，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P= = = 故选：B3 （5 分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a 和 b
11、，则方程ax2+bx+1=0 有实数解的概率是（ ）A B C D【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 a 和 b，基本事件总数 n=66=36，方程 ax2+bx+1=0 有实数解，=b 24a0，方程 ax2+bx+1=0 有实数解包含的基本事件（a，b ）有：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ， （2，3） ， （2，4） ， （2，5） ，（2，6） ， （3，4） ， （3，5） ， （3，6） ，（4，4） ， （4，5） ， （4，6） ， （5，5） ， （5，6） ， （6，5） ， （6，6） ，共 19 个，
12、方程 ax2+bx+1=0 有实数解的概率 p= 故选：C4 （5 分）如表是某单位 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份 x 1 2 3 4用水量 y 4 5 a 7由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则 a 等于（ ）A6 B6.05 C6.2 D5.95【解答】解： = （1+ 2+3+4）=2.5 ， = （4+5+a +7）=4+4+ =2.5+3.05，解得： a=6.2，故选：C5 （5 分）下列四个命题：命题“若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“ 若 x1，则 x23x+20”“x2”是“x 23x+20” 的必要
13、不充分条件若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题对于命题 p：x R，使得 x2+x+10，则p：xR，使得 x2+x+10其中，错误的命题个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解：命题“ 若 x23x+2=0，则 x=1”的逆否命题为“若 x1，则x23x+20”，正确，由 x23x+20 得 x2 或 x1，即“x2”是“x 23x+20” 的充分不必要条件，故错误，若 pq 为假命题，则 p，q 至少有一个为假命题，故错误，对于命题 p：x R，使得 x2+x+10，则p：xR，使得 x2+x+10正确，故错误的个数为 2 个，故选：B6 （5 分）抛物线 y=a
14、x2 的准线方程是 y=2，则 a 的值为（ ）A4 B8 C D【解答】解：由抛物线 y=ax2，得 ，由其准线方程为 y=2，可知抛物线开口向上，则 a0 2p= ，则 ，得 a= 故选：C7 （5 分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取 n 人去体检，若老、中、青人数之比为 4：1：5，已知抽到 10 位中年人，则样本的容量为（ ）A40 B100 C80 D50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取 n 人去体检，若老、中、青人数之比为 4：1：5，已知抽到 10 位中年人，则 10则 ，解得样本的容量 n=100故答案为：1008 （5 分）下列程序框图中
15、，输出的 A 的值是（ ）A B C D【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后 2第二次循环后 3第三次循环后 4观察规律可知 A 的值为 ，可得：第九次循环后 10不满足条件 i10，跳出循环则输出的 A 为 故选：A9 （5 分）若双曲线 C1 以椭圆 C2： + =1 的焦点为顶点，以椭圆 C2 长轴的端点为焦点，则双曲线 C1 的方程为（ ）A =1 B =1C =1 D =1【解答】解：根据题意，椭圆 C2： + =1 的焦点坐标为（0，3） ，长轴的端点坐标为（0，5） ，若双曲线 C1 以椭圆 C2 的焦点为顶点，以椭圆 C2 长轴的端点为焦点，则双曲线 C1 的焦点为（
16、0，5） ，顶点为（0，3） ，则双曲线中 c=5，a=3，则 b2=c2a2=16，则双曲线的方程为： =1，故选：B10 （5 分）某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（ ）A “至少 1 名男生 ”与“至少有 1 名是女生”B “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”C “至少 1 名男生”与“全是男生”D “至少 1 名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名学生参加演讲比赛，在 A 中， “至少 1 名男生”与“至少有 1 名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在 B
17、中， “恰好有 1 名男生”与“恰好 2 名女生”是互斥不对立事件，故 B 错误；在 C 中， “至少 1 名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故 C 错误；在 D 中， “至少 1 名男生”与“全是女生”是对立事件，故 D 正确故选：D11 （5 分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图） ，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1：2：3，第 1 小组的频数为 6，则报考飞行员的学生人数是（ ）A32 B40 C48 D56【解答】解：设第一小组的频率为 a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.03755+
18、0.01255=1，a=0.125第 1 小组的频数为 6，报考飞行员的学生人数为： =48故选：C12 （5 分）设双曲线 C： 的左、右焦点分别为F1，F 2，|F 1F2|=2c，过 F2 作 x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为 A，已知，|F 2Q|F 2A|，点 P 是双曲线 C 右支上的动点，且|PF 1|+|PQ|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D【解答】解：令 x=c 代入双曲线的方程可得 y=b = ，由|F 2Q|F 2A|，可得 ，即为 3a22b 2=2（c 2a2） ，即有 e= 又|PF 1|+|PQ| |F1F2|恒成立，由双曲线的定义，
19、可得 2a+|PF2|+|PQ|3c 恒成立，由 F2，P，Q 共线时，|PF 2|+|PQ|取得最小值|F 2Q|= ，可得 3c2a+ ，即有 e= 由 e1，结合可得，e 的范围是（1， ） 故选：B二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，.将答案填入答卷指定位置）.13 （5 分）已知向量 =（k ，12，1） ， =（4，5，1） ， =（k，10，1） ，且A、B 、C 三点共线，则 k= 【解答】解：向量 =（ k，12 ，1） ， =（4，5，1） ， =（k，10，1） ， =（ 4k，7，0） ， =（2k， 2，0） 又 A、B、C 三点共线，存在实数 使得 ， ，解得
20、 故答案为： 14 （5 分）已知抛物线 y2=2px（p0）的过焦点的弦为 AB，且|AB|=9，x A+xB=6，则 p= 3 【解答】解：如图，AB 过焦点 F，且|AB|=9，x A+xB=6，|AB|=x A+xB+p=6+p=9，即 p=3故答案为：315 （5 分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A给出的分数如图所示记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为 91复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的 x）无法看清若记分员计算无误，则数字 x 应该是 1 【解答】解：由题意知去掉一个最高分 94 和一个最低分 88 后，余下的 7 个数字
21、的平均数是 91，即 （89+89+92 +93+90+x+92+91）=91 ，636+ x=917=637，解得 x=1故答案为：116 （5 分）设圆（x+1） 2+y2=25 的圆心为 C，A（1，0）是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 + =1 【解答】解：由圆的方程可知，圆心 C（ 1，0） ，半径等于 5，设点 M 的坐标为（x，y ） ，AQ 的垂直平分线交 CQ 于 M，|MA|=|MQ| 又|MQ |+|MC|=半径 5，|MC|+|MA|=5|AC|依据椭圆的定义可得，点 M 的轨迹是以 A、C 为焦
22、点的椭圆，且 2a=5，c=1，b= ，故椭圆方程为 + =1，即 + =1故答案为：三解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17 （10 分）已知集合 Z=（x，y ）|x0，2，y1，1（1）若 x，y Z，求 x+y0 的概率；（2）若 x，y R，求 x+y 0 的概率【解答】解：（1）设“x+y0，x ，yZ” 为事件 A，x，yZ ，x0，2，即x=0，1，2 ；y 1，1 ，即 y=1，0，1则基本事件有：（0，1） ， （0，0） ， （0，1） ， （1， 1） ， （1，0） ， （1，1） ，（2，1） ， （2，0） ， （
23、2 ，1）共 9 个其中满足“x+y0” 的基本事件有 8 个，P （A ）= 故 x，y Z，x+y0 的概率为 （2）设“x +y0，x，yR”为事件 B，x0，2，y 1，1，则基本事件为如图四边形 ABCD 区域，事件 B 包括的区域为其中的阴影部分基本事件如图四边形 ABCD 区域 S=4，事件 B 包括的区域如阴影部分 S=S =P（B ）= = 18 （12 分）命题 p： ；命题 q：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆若“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，求实数 m 的取值范围【解答】解：命题 p：xR ，x 2+mx+10 为真，=m 2402m2（2 分）命题
24、q 为真，即方程 是焦点在 y 轴上的椭圆，0m2 （4 分）又“p 且 q”是假命题， “p 或 q”是真命题，p 是真命题且 q 是假命题，或 p 是假命题且 q 是真命题（6 分） 或 （10 分） ，m 的取值范围是2，02（12 分）19 （12 分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率【解答】解：（1）由茎叶图知，分
25、数在50，60）之间的频数为 2，频率为 0.00810=0.08，全班人数为 ；所以分数在80，90）之间的频数为 2527102=4，分数在50，60）之间的总分为 56+58=114；分数在60，70）之间的总分为 607+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在70，80）之间的总分数为 7010+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在80，90）之间的总分约为 854=340；分数在90，100之间的总分数为 95+98=193；所以，该班的平均分数为 ；（2）将80 ，90）之间的 4 个分数编号为 1，2，3，4，90，100之间的 2 个分数编号为 5，6，在
26、80，100 之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，5） ， （1，6） ，（2，3） ， （2，4） ， （2，5） ， （2，6） ，（3，4） ， （3，5） ， （3，6） ，（4，5） ， （4，6） ， （5，6）共 15 个，其中，至少有一个在90，100之间的基本事件有 9 个，至少有一份分数在90，100之间的概率是 20 （12 分）已知 O 为坐标原点， M 是椭圆 =1 上的点，设动点 P 满足（）求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）若直线 l：y=x +m（m0）与曲线 C 相交于 A，B 两个不同点，求OAB面积的最
27、大值【解答】解：（）设点 P（x ，y） ，M（x 1，y 1） ，由 ，得x=2x1，y=2y 1，因为点 M 在椭圆圆 =1 上，所以 ，故 ，即动点 P 的轨迹 C 的方程为 （）由曲线 C 与直线 l 联立得 ，消 y 得 3x2+4mx+2m28=0，因为直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，所以=16m 243（2m 28）0，又 m0 ，所以 0m 212 设设 A（x 3，y 3） ，B（x 4，y 4） ，则 ， ，因为点 O 到直线 A：xy+m=0 的距离 d= ，|AB|= = = ，所以 S = ， =2 ，当且仅当 m2=12m2，即 m2=6 时取等号，所以O
28、AB 面积的最大值为 221 （12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF，BE 与平面 ABCD 所成角为 60（）求证：AC平面 BDE；（）求二面角 FBED 的余弦值；（）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM平面BEF，并证明你的结论【解答】证明：（）因为 DE平面 ABCD，所以 DEAC因为 ABCD 是正方形，所以 ACBD，从而 AC平面 BDE（4 分）解：（）因为 DA，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系 Dxyz 如图所示因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 600，即DBE=6
29、0，所以 由 AD=3，可知 ， 则 A（3，0 ， 0） ， ， ，B（3，3，0） ，C （0，3，0） ，所以 ， 设平面 BEF 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ，即 令 ，则 = 因为 AC平面 BDE，所以 为平面 BDE 的法向量， 所以 cos 因为二面角为锐角，所以二面角 FBED 的余弦值为 （8 分）（）点 M 是线段 BD 上一个动点，设 M（t，t，0） 则 因为 AM平面 BEF，所以 =0，即 4（t 3） +2t=0，解得 t=2此时，点 M 坐标为（2， 2，0） ，即当 时，AM平面 BEF（12 分）22 （12 分）已知椭圆 =1（ab 0）过点
30、，离心率为 （）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的上顶点作直线 l 交抛物线 x2=2y 于 A、B 两点，O 为原点求证：OAOB；设 OA、OB 分别与椭圆相交于 C、D 两点，过原点 O 作直线 CD 的垂线 OH，垂足为 H，证明： |OH|为定值【解答】解：（）e= ， ，则 ，又 在椭圆上， ，解得 a=2， ，椭圆的方程为 ；（）证明：设 A（x 1，y 1） 、B（x 2，y 2） ，依题意，直线 l 一定有斜率 k，l 的方程为 y=kx+2，联立方程 ，消去 y 得：x 22kx4=0，x 1x2=4，则 ， =x1x2+y1y2=4+4=0，OAOB；证明：设 C（x 3，y 3） 、D （x 4，y 4） ，直线 CD 的方程为 y=mx+n，OAOB，OCOD ，则 x3x4+y3y4=0联立 ，消去 y 得：（3m 2+4）x 2+6mnx+3n212=0， ， ， 由 ，得 7n2=12（1+m 2） ，即|n|= ，OHCD ， |OH|为定值