1、2017-2018 学年江苏省南通市启东高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）复数 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是 2 （5 分）命题“x R，x 220” 的否定是 3 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的 y 值为 1，则输入 x 的值为 4 （5 分）已知一组数据 4.8，4.9 ，5.2，5.5 ，5.6，则该组数据的方差是 5 （5 分）抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为 6 （5 分）某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生 360 人，现采用分层抽样的方法从全校学生
2、中抽出 56 人，其中从高一年级学生中抽出 20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为 7 （5 分）观察下列各式 91=8，164=12，259=16，3616=20，这些等式反映了自然数间的某种规律，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为 8 （5 分）离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 9 （5 分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和不小于 9 的概率是 10 （5 分）已知命题 p：“ x1，2，x 2a0”；命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”，若命题“pq”是
3、真命题，则实数 a 的取值范围是 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 mxy3m2=0（m R）被圆（x2）2+（y+1） 2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为 12 （5 分）已知点 A 的坐标是（1，1） ，F 1 是椭圆 3x2+4y212=0 的左焦点，点P 在椭圆上移动，则|PA |+2|PF1|的最小值 13 （5 分）已知圆 和两点 ，（m0） ，若圆 C 上存在点 P，使得APB=60 ，则实数 m 的取值范围是 14 （5 分）如图，已知椭圆 （ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，P是椭圆上一点，M 在 PF1 上，且满足 ，POF 2M，O 为坐标原点椭圆
4、离心率 e 的取值范围 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 z 为复数，z+2i 和 均为实数，其中 i 是虚数单位（1）求复数 z 和|z|；（2）若 在第四象限，求实数 m 的取值范围16 （14 分）已知命题 p：xR ，tx 2+x+t0（1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围；（2）命题 q：x2，16 ，tlog 2x+10，当 pq 为真命题且 pq 为假命题时，求实数 t 的取值范围17 （14 分）已知椭圆 C 的方程为 + =1（1）求 k 的取值范围；（2）若椭圆 C
5、 的离心率 e= ，求 k 的值18 （16 分）已知圆 O： x2+y2=4，两个定点 A（a ，2） ，B（m，1） ，其中aR，m0P 为圆 O 上任意一点，且 （ 为常数） （1）求常数 的值；（2）过点 E（a，t）作直线 l 与圆 C：x 2+y2=m 交于 M，N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的中点，求实数 t 的取值范围19 （16 分） （1）找出一个等比数列a n，使得 1， ，4 为其中的三项，并指出分别是a n的第几项；（2）证明： 为无理数；（3）证明：1， ，4 不可能为同一等差数列中的三项20 （16 分）已知椭圆 C： 左焦点 F，左顶点 A，椭圆上一点
6、B 满足BFx 轴，且点 B 在 x 轴下方，BA 连线与左准线 l 交于点 P，过点 P 任意引一直线与椭圆交于 C、D ，连结 AD、BC 交于点 Q，若实数 1， 2 满足： =1 ，=2 （1）求 12 的值；（2）求证：点 Q 在一定直线上选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）21 （10 分）已知矩阵 M= ，其中 aR，若点 P（1，2）在矩阵 M 的变换下得到点 P（4，0）（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 20 分）22已知直线的极坐标方程为 ，圆 M 的参数方程为（其中 为参数） （）将
7、直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 M 上的点到直线的距离的最小值23 （10 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2 （1）求证：EG平面 ADF；（2）求二面角 OEFC 的正弦值；（3）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH= HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值24 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x= 1，点 T（3，0） ，动点 P 满足 PS l，垂足为 S，且 =0，设动点 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）设 Q 是曲线
8、 C 上异于点 P 的另一点，且直线 PQ 过点（1，0） ，线段 PQ的中点为 M，直线 l 与 x 轴的交点为 N求证：向量 与 共线参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1 （5 分）复数 ，其中 i 为虚数单位，则 z 的虚部是 【解答】解：复数 = = = i，则 z 的虚部 = 故答案为： 2 （5 分）命题“x R，x 220” 的否定是 xR ，x 220 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x R，x 220”的否定是：xR ，x 220故答案为：xR ，x 22 03 （5 分）执行如
9、图所示的伪代码，若输出的 y 值为 1，则输入 x 的值为 1 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求f（x）= 的值，当 x0 时，y=2 x+1=1，解得 x=1，不合题意，舍去；当 x0 时，y=2x 2=1，解得 x=1，应取 x=1；综上，x 的值为1故答案为：14 （5 分）已知一组数据 4.8，4.9 ，5.2，5.5 ，5.6，则该组数据的方差是 0.1 【解答】解：数据 4.8，4.9，5.2，5.5 ，5.6 的平均数为：= （4.8 +4.9+5.2+5.5+5.6）=5.2，该组数据的方差为：S2= （4.85.2） 2+（4.95.2 ） 2+（5.2 5.2） 2
10、+（5.55.2） 2+（5.65.2） 2=0.1故答案为：0.15 （5 分）抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为 2 【解答】解：抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为：p=2故答案为：26 （5 分）某校高一年级有学生 400 人，高二年级有学生 360 人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出 56 人，其中从高一年级学生中抽出 20 人，则从高二年级学生中抽取的人数为 18 【解答】解：设从高二年级学生中抽出 x 人，由题意得 = ，解得 x=18，故答案为：187 （5 分）观察下列各式 91=8，164=12，259=16，3616=20，这些等式反映了自然数间的某种规律
11、，设 n 表示自然数，用关于 n 的等式表示为 （n +2）2n2=4（n+1） （nN ） 【解答】解：观察下列各式91=3212=8=4（1+1） ，164=4222=12=4（1+2） ，259=5232=16=4（1+3） ，3616=6242=20=4（1+4） ，分析等式两边数的变化规律，我们可以推断（n+2 ） 2n2=4（n+1） （nN ）故答案为：（n+2） 2n2=4（n+1） （n N）8 （5 分）离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 =1 【解答】解：根据题意，椭圆 + =1 的焦点为（ 4，0） ，又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在
12、 x 轴上，且 c=4，设其方程为 =1，又由双曲线的离心率 e=2，即 e= =2，则 a=2，b2=c2a2=164=12，则双曲线的方程为： =1；故答案为： =19 （5 分）将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和不小于 9 的概率是 【解答】解：将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2 ，3 ，4，5，6 个点为正方体玩具）先后抛掷 2 次，基本事件总数 n=66=36，出现向上的点数之和不小于 9 包含的基本事件有：（3，6） ， （6，3） ， （4，5） ， （5，4） ， （4，6）
13、， （6，4） ， （5，5） ， （5，6） ，（6，5） ， （6，6） ，共有 10 个，出现向上的点数之和不小于 9 的概率：p= 故答案为： 10 （5 分）已知命题 p：“ x1，2，x 2a0”；命题q：“x R，x 2+2ax+2a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数 a 的取值范围是 a 2，或 a=1 【解答】解：若命题 p：“ x1，2，x 2a0”为真；则 1a 0，解得：a1，若命题 q：“xR，x 2+2ax+2a=0”为真，则=4a 24（2a）0，解得：a2 ，或 a1 ，若命题“pq”是真命题，则 a 2，或 a=1，故答案为：a2，或 a=111 （5 分
14、）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 mxy3m2=0（m R）被圆（x2）2+（y+1） 2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为 【解答】解：直线 mxy3m2=0 过定点 I（3，2） ，圆（x2） 2+（y+1） 2=4 的圆心坐标 C（2， 1） ，半径为 r=2如图，|CI|= ，直线 mxy3m2=0 被圆（ x2） 2+（y +1） 2=4 截得的所有弦中弦长的最小值为故答案为： 12 （5 分）已知点 A 的坐标是（1，1） ，F 1 是椭圆 3x2+4y212=0 的左焦点，点P 在椭圆上移动，则|PA |+2|PF1|的最小值 5 【解答】解：由椭圆 3x2+4y212=0
15、作出椭圆如图，由 a2=4，b 2=3，得 c2=1，c=1 ， = ，由椭圆的第二定义可得，椭圆上的点到左焦点的距离|PF 1|与到左准线的距离的比值为 e= ，2|PF 1|为椭圆上的点到左准线的距离，过 A 作 AB左准线 l 与 B，交椭圆于 P，则 P 点为使 |PA|+2|PF1|最小的点，最小值为 A 到 l 的距离，等于1+ =1+4=5故答案为：513 （5 分）已知圆 和两点 ，（m0） ，若圆 C 上存在点 P，使得APB=60 ，则实数 m 的取值范围是 m| 【解答】解：如图，当 D（0，3m）时，ADB=60，故满足条件的点 P 必在以 A、B 、D 三点所确定的圆
16、周上，该圆圆心为 M（0，m） ，要使圆 C 上存在点 P，由两圆必有交点，即|r MrC|MC|r M+rC|，如图，|r MrC|2|MC |2|r M+rC|2，（2m2） 2（3 ） 2+（m 5） 2（2m+2） 2，由 m0，解得 2 故答案为：m| 14 （5 分）如图，已知椭圆 （ab0）的左、右焦点为 F1、F 2，P是椭圆上一点，M 在 PF1 上，且满足 ，POF 2M，O 为坐标原点椭圆离心率 e 的取值范围 （ ，1） 【解答】解：设 P（x 0，y 0） ，M（x M，y M） ， ， = （ x0+c，y 0）=（x M+c，y M）M（ x0 c， y0） ，
17、=（ x0 c， y0） ，POF 2M， =（x 0，y 0）（ x0 c）x 0+ y02=0即 x02+y02=2cx0，联立方程得： ，消去 y0 得：c2x022a2cx0+a2（a 2c2）=0，解得：x 0= 或 x0= ，a x 0a，x 0= （0，a） ，0a 2acac 解得：e ，综上，椭圆离心率 e 的取值范围为（ ，1） 故答案为：（ ，1） 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （14 分）已知 z 为复数，z+2i 和 均为实数，其中 i 是虚数单位（1）求复数 z 和|z|；（2）
18、若 在第四象限，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）设 z=a+bi（a，bR ） ，则 z+2i=a+（b+2）i，由 z+2i 为实数，得 b+2=0，则 b=2由 = 为实数，得 ，则 a=4，z=42i ，则 ；（2）由 =4+3m+（m 24）i 在第四象限，得 ，解得 16 （14 分）已知命题 p：xR ，tx 2+x+t0（1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围；（2）命题 q：x2，16 ，tlog 2x+10，当 pq 为真命题且 pq 为假命题时，求实数 t 的取值范围【解答】解：（1）xR，tx 2+x+t0，t0 且=1 4t20，解得p 为真命题时， （6
19、 分）（2）x2，16，tlog 2x+10x 2，16， 有解又 x2，16时， ，t1（8 分）pq 为真命题且 pq 为假命题时，p 真 q 假或 p 假 q 真，当 p 假 q 真，有 解得 ；当 p 真 q 假，有 解得 t1；pq 为真命题且 pq 为假命题时，t1 或 （14 分）17 （14 分）已知椭圆 C 的方程为 + =1（1）求 k 的取值范围；（2）若椭圆 C 的离心率 e= ，求 k 的值【解答】解：（1）方程为 + =1 表示椭圆，则 ，解得 k（1，5）（5， 9）（6 分） （未去 5 扣 2 分）（2）当 9kk 1 时，依题意可知 a= ，b= ，c= ，
20、 = ， ，k=2；当 9kk 1 时，依题意可知 b= ，a= ，c= ， = ， ，k=8；k 的值为 2 或 8 （一种情况（4 分）共 8 分）18 （16 分）已知圆 O： x2+y2=4，两个定点 A（a ，2） ，B（m，1） ，其中aR，m0P 为圆 O 上任意一点，且 （ 为常数） （1）求常数 的值；（2）过点 E（a，t）作直线 l 与圆 C：x 2+y2=m 交于 M，N 两点，若 M 点恰好是线段 NE 的中点，求实数 t 的取值范围【解答】解：（1）设点 P（x ，y） ，x 2+y2=4， ，因为 ，所以（xa） 2+（y2） 2=2（xm） 2+（y 1） 2，
21、化简得 2ax+4ya28=2（2mx+2ym 25） ，因为 P 为圆 O 上任意一点，所以 ，又 m0，0，解得 ，所以常数 （8 分）（2）设 M（ x0，y 0） ，M 是线段 NE 的中点，N（2x 02，2y 0t） ，又 M， N 在圆 C 上，即关于 x，y 的方程组 有解，化简得 有解，即直线 n：8x+4tyt 27=0 与圆 C：x 2+y2=1 有交点，则 ，化简得：t 42t2150，解得 （ 16 分）19 （16 分） （1）找出一个等比数列a n，使得 1， ，4 为其中的三项，并指出分别是a n的第几项；（2）证明： 为无理数；（3）证明：1， ，4 不可能为
22、同一等差数列中的三项【解答】解：（1）取一个等比数列a n：首项为 1、公比为 ，则 ，2 分则令 =4，解得 n=5，所以 a1=1， ，a 5=4 4 分（2）证明：假设 是有理数，则存在互质整数 h、k ，使得 ，5 分则 h2=2k2，所以 h 为偶数， 7 分设 h=2t，t 为整数，则 k2=2t2，所以 k 也为偶数，则 h、k 有公约数 2，这与 h、k 互质相矛盾，9 分所以假设不成立，所以 是有理数 10 分（3）证明：假设 1， ，4 是同一等差数列中的三项，且分别为第 n、m、p 项且 n、m、p 互不相等，11 分设公差为 d，显然 d0，则 ，消去 d 得， ，13
23、 分由 n、m、p 都为整数，所以 为有理数，由（2）得 是无理数，所以等式不可能成立，15 分所以假设不成立，即 1， ，4 不可能为同一等差数列中的三项 16 分20 （16 分）已知椭圆 C： 左焦点 F，左顶点 A，椭圆上一点 B 满足BFx 轴，且点 B 在 x 轴下方，BA 连线与左准线 l 交于点 P，过点 P 任意引一直线与椭圆交于 C、D ，连结 AD、BC 交于点 Q，若实数 1， 2 满足： =1 ，=2 （1）求 12 的值；（2）求证：点 Q 在一定直线上【解答】解：（1）由椭圆 C： ，得 a2=16，b 2=12， ，则 F（2，0） ，由 BFx 轴，不妨设 B
24、（ 2， 3） ，A（ 4，0） ，直线 AB：y= （x+4） ，又左准线 l：x= 8，P（8，6） ，又 =1 ， ，得 ，由 =2 ，得 ，得 ，又 ， ， ，由系数相等得 ，得 ；（2）证明：设点 C（x 1，y 1） ，D （x 2，y 2） ，Q （x 0，y 0） ，由 =1 ，得（x 1+2，y 1+3）= 1（x 0x1，y 0y1） ，得 ， ，代入椭圆方程： ，得：，显然 10， ，同理得： ，又由（1） ， ，整理得：x 0+y0+2=0，即点 Q 在定直线 xy+2=0 上选修 4-2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）21 （10 分）已知矩阵 M= ，其中 aR
25、，若点 P（1，2）在矩阵 M 的变换下得到点 P（4，0）（1）求实数 a 的值；（2）求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量【解答】解：（1）由 = ，22a=4 a=3（2）由（1）知 M= ，则矩阵 M 的特征多项式为令 f（）=0，得矩阵 M 的特征值为 1 与 4当 =1 时，矩阵 M 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ；当 =4 时，矩阵 M 的属于特征值 4 的一个特征向量为 选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 20 分）22已知直线的极坐标方程为 ，圆 M 的参数方程为（其中 为参数） （）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）求圆 M 上的点到直线的距离的最小值
26、【解答】解：（）以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 （1 分） ，sin+cos=1 （2 分）该直线的直角坐标方程为：x+y 1=0 （3 分）（）圆 M 的普通方程为： x2+（y+2） 2=4（4 分）圆心 M（0， 2）到直线 x+y1=0 的距离 （5 分）所以圆 M 上的点到直线的距离的最小值为 （7 分）23 （10 分）如图，正方形 ABCD 的中心为 O，四边形 OBEF 为矩形，平面OBEF平面 ABCD，点 G 为 AB 的中点，AB=BE=2 （1）求证：EG平面 ADF；（2）求二面角 OEFC 的正弦值；（3）设 H 为线段 AF 上的点，且 AH=
27、HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值【解答】 （1）证明：取 AD 的中点 I，连接 FI，矩形 OBEF，EFOB，EF=OB，G，I 是中点，GIBD，GI= BDO 是正方形 ABCD 的中心，OB= BDEF GI ，EF=GI，四边形 EFIG 是平行四边形，EGFI，EG平面 ADF，FI平面 ADF，EG平面 ADF；（2）解：建立如图所示的坐标系 Oxyz，则 B（0， ，0） ，C（ ，0，0） ，E（ 0， ，2） ，F（0，0，2 ） ，设平面 CEF 的法向量为 =（x，y ，z） ，则 ，取 =（ ，0，1）OC平面 OEF，平面 OEF 的法向量为 =
28、（1，0，0） ，|cos ， |=二面角 OEFC 的正弦值为 = ；（3）解：AH= HF， = =（ ，0， ） 设 H（ a，b，c） ，则 =（a+ ，b ，c ）=（ ，0， ） a= ，b=0，c= ， =（ ， ， ） ，直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值=|cos ， |= = 24 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：x= 1，点 T（3，0） ，动点 P 满足 PS l，垂足为 S，且 =0，设动点 P 的轨迹为曲线 C（1）求曲线 C 的方程；（2）设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点，且直线 PQ 过点（1，0） ，线段 PQ的中点为 M，直线 l 与 x 轴的交点为 N求证：向量 与 共线【解答】解：（1）设 P（x 0，y 0） ，则 S（ 1，y 0） ， =（ x0，y 0）（4， y0）=4 =0， 曲线 C：y 2=4x证明：（2）设 Q（x 1，y 1） ，则 ，y2=4x，p=2 ，焦点 F（1，0） ，N（ 1，0 ） ，PQ 过 F，x 0x1= =1， ， ， = ，= ， =（ ）= （ ） ，=（x 1+1， y1）= （ ） ，假设 = 成立， ，解得 ， ，向量 与 共线