1、2017-2018 学年吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，合计 60 分，每题只有一个正确的选项！）1 （5 分）等差数列a n中， a3=4，a 7=10，则 a6=（ ）A B C D2 （5 分）在ABC 中， a=18，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A6 B9 C4 D93 （5 分）不等式（x+5） （1 x）8 的解集是（ ）Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x14 （5 分）已知焦点在 y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为 3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ）A B C D5 （
2、5 分）等比数列a n中， a1a2a3=3，a 10a11a12=24，则 a13a14a15=（ ）A48 B72 C144 D1926 （5 分）在ABC 中， sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角 C 等于（ ）A30 B60 C120 D1507 （5 分）已知 x0，y0，且 + =2，则 x+y 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D98 （5 分）已知两定点 F1（0，5） ，F 2（0，5） ，平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则点 P 的轨迹方程为（ ）A B C D9 （5 分）在ABC 中， A=60，AB=4，S ABC
3、=2 ，则 BC 边等于（ ）A2 B2 C D310 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，则 a10=（ ）A1024 B1023 C2048 D204711 （5 分）函数 f（x ）=2x 24lnx 的单调减区间为（ ）A （ 1，1） B （1，+ ） C （0，1） D1，0）12 （5 分）抛物线 y=x2+bx+c 在点（1，2）处的切线 n 的倾斜角是 135 度，则过点（b，c）且与切线 n 垂直的直线方程为（ ）Ax y+3=0 Bxy+7=0 Cxy1=0 Dxy3=0二、填空题（共 4 个小题，每个小题 5 分，合计 20 分，要求：答案书
4、写时规范、标准 ）13 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y 的最小值是 14 （5 分）函数 y= 的定义域为 R，则 k 的取值范围 15 （5 分）已知点 P 到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ，则线段 AB 的中点坐标为 16 （5 分）函数 f（x ）=x 3x2x+k 的图象与 x 轴刚好有三个交点，则 k 的取值范围是 三、解答题（共 6 个小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题，每小题 10 分，合计70 分要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）1
5、7 （10 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且b2a2=c（bc ） ，a=4，（1）若 b= ，求 B；（2）若ABC 面积为 4 ，求 b 与 c 的值18 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 bsinA=2a（1）求角 B 的大小（2）若 b=4 ，sinAcosB+cosAsinB=2sinA ，求ABC 的面积19 （12 分）已知等差数列a n中，a 7=9，S 7=42（1）求 a15 与 S20（2）数列c n中 cn=2nan，求数列c n的前 n 项和 Tn20 （12 分）已知数列a n的前
6、n 项和为 Sn，若 Sn=n2+5n（1）证明数列a n是等差数列；（2）求数列 的前 n 项和 Tn21 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程（2）若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1，交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|22 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx +kx2+（2k +1）x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 k0 时，证明 f（x ） 2017-2018 学年吉林省吉林高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 个小题，每小题 5 分，合
7、计 60 分，每题只有一个正确的选项！）1 （5 分）等差数列a n中， a3=4，a 7=10，则 a6=（ ）A B C D【解答】解：等差数列a n中，a 3=4，a 7=10， ，解得 ，a 6=1+5 = 故选：C2 （5 分）在ABC 中， a=18，B=60 ，C=75，则 b=（ ）A6 B9 C4 D9【解答】解：在ABC 中，a=18，B=60 ，C=75 ，A=45，由正弦定理 = 得： b= = =9 ，故选：C3 （5 分）不等式（x+5） （1 x）8 的解集是（ ）Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x1【解答】解：（x+5） （
8、1x）8，（x+3） （x+1）0，解得：3x1，故选：D4 （5 分）已知焦点在 y 轴上，对称轴为坐标轴的椭圆，半短轴长为 3，焦距为4，则该椭圆的标准方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，要求椭圆的半短轴长为 3，焦距为 4，即 b=3，2c=4，解可得 b=3，c=2；则 a= = ，又由椭圆的焦点在 y 轴上，则椭圆的方程为 + =1；故选：D5 （5 分）等比数列a n中， a1a2a3=3，a 10a11a12=24，则 a13a14a15=（ ）A48 B72 C144 D192【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 1a2a3=3，a 10a11a12=24，
9、（q 9） 3= =8，解得： q9=2则 a13a14a15=q36a1a2a3=243=48，故选：A6 （5 分）在ABC 中， sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，则角 C 等于（ ）A30 B60 C120 D150【解答】解：sin 2A+sin2B+sinAsinB=sin2C，由正弦定理可得，a 2+b2+ab=c2，由余弦定理可得，cosC= = = ，由 C（0， 180） ，可得： C=120故选：C7 （5 分）已知 x0，y0，且 + =2，则 x+y 的最小值为（ ）A6 B7 C8 D9【解答】解：x0，y0，且 + =2， + =1，x+y=（
10、x+y ） （ + ） =5+ + 5+2 =5+3=8，当且仅当 y=3x=6 时取等号故选：C8 （5 分）已知两定点 F1（0，5） ，F 2（0，5） ，平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则点 P 的轨迹方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，两定点 F1（0，5） ，F 2（ 0，5） ，则|F 1F2|=10，若动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6，则有 610，则 P 的轨迹是以 F1（0，5） ，F 2（0，5）为焦点的双曲线，其中 c=5，a=3 ，则 b= =4，则双曲线的方程为： =1；故选：C9 （5 分）在ABC 中，
11、 A=60，AB=4，S ABC =2 ，则 BC 边等于（ ）A2 B2 C D3【解答】解：A=60，AB=4，S ABC =2 = ABACsinA= ，AC=2，由余弦定理可得：BC= = =2 故选：B10 （5 分）已知数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，则 a10=（ ）A1024 B1023 C2048 D2047【解答】解：数列a n满足 a1=1，a n+1=an+2n，a n=a1+（a 2a1）+（a nan1）=1+2 1+22+2n1= =2n1 （nN *） a 10=2101=1023故选 B11 （5 分）函数 f（x ）=2x 24lnx 的单
12、调减区间为（ ）A （ 1，1） B （1，+ ） C （0，1） D1，0）【解答】解：f（x）的定义域是（ 0，+） ，f（x ）=4x = ，令 f（x）0，解得：0x1，故选：C12 （5 分）抛物线 y=x2+bx+c 在点（1，2）处的切线 n 的倾斜角是 135 度，则过点（b，c）且与切线 n 垂直的直线方程为（ ）Ax y+3=0 Bxy+7=0 Cxy1=0 Dxy3=0【解答】解：令 f（x）=x 2+bx+c，则 f（x ）=2x+b ，f（ x）在（1，2）处的切线斜率为 k=f（1）=2+b，2+b=tan135= 1，b=3又 f（x）过点（1，2） ， 13+c
13、=2，即 c=4过（3，4）且与 n 垂直的直线方程为：y4=x+3，即 xy+7=0故选 B二、填空题（共 4 个小题，每个小题 5 分，合计 20 分，要求：答案书写时规范、标准 ）13 （5 分）已知 x、y 满足约束条件 ，则 z=2x+4y 的最小值是 6 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+4y 得 y= x+ ，平移直线 y= x+ ，由图象可知当直线 y= x+ 经过点 A 时，直线 y= x+ 的截距最小，此时 z 最小，由 ，解得 ，即 A（3， 3） ，此时 z=23+4（3）= 6，故答案为：614 （5 分）函数 y= 的定义域为 R，则 k 的
14、取值范围 0，2 【解答】解：要使函数 y= 的定义域为 R，则 kx24kx+60 对任意 xR 恒成立当 k=0 时，不等式化为 60 恒成立；当 k0 时，则 ，解得 0k2综上，k 的取值范围是0，2故答案为：0，215 （5 分）已知点 P 到点 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ，则线段 AB 的中点坐标为 （ ， ） 【解答】解：点 P 到 F（0，1）的距离比它到直线 y=5 的距离小 4，点 P 在直线 l 的上方，点 P 到 F（0，1）的距离与它到直线 y=1 的距离相等点 M 的轨迹 C 是以 F
15、 为焦点，y=1 为准线的抛物线，曲线 C 的方程为 x2=4y，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，AB 的中点为（x 0，y 0）将直线 x4y+2=0 代入 x2=4y，可得 x2=x+2，解得 x1=2 或 x2=1，则 y1=1 或 y2= ，x 0= （21 ）= ，y 0= （1+ ）= ，AB 的中点为（ ， ） ，故答案为：（ ， ）16 （5 分）函数 f（x ）=x 3x2x+k 的图象与 x 轴刚好有三个交点，则 k 的取值范围是 （ ，1） 【解答】解：f（x ）=3x 22x1，令 f（x）=0 得 x= 或 x=1，当 x 或 x1 时，f （x）
16、0，当 x1 时，f（x ）0，f（ x）在（， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，当 x= 时， f（x）取得极大值 f（ ）= +k，当 x=1 时，f（x）取得极小值f（1）=k1f（ x）的图象与 x 轴刚好有三个交点， ，解得： k1故答案为：（ ，1） 三、解答题（共 6 个小题，第 17 题 10 分，第 18-22 题，每小题 10 分，合计70 分要求：书写规范，步骤清晰，按步骤赋分，没有过程，不给评分）17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且b2a2=c（bc ） ，a=4，（1）若 b= ，求 B；（
17、2）若ABC 面积为 4 ，求 b 与 c 的值【解答】解：（1）由 b2a2=c（b c）得：a 2=b2+c2bc根据余弦定理：a 2=b2+c22bccosA 得：又：ABC 中，0 A180，则 A=60，由正弦定理： 结合 解出：又：ABC 中，0 B18060 ，则 B=45，（2）由 a=4，A=60写出余弦定理：a 2=b2+c22bccosA得：b 2+c2bc=16再由面积公式： 及已知得：bc=16联立，且 b0，c0 解得：b=4，c=418 （12 分）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b ，c ，且 bsinA=2a（1）求角 B 的大小（2）若
18、b=4 ，sinAcosB+cosAsinB=2sinA ，求ABC 的面积【解答】解：（1） 化为： ，由正弦定理，得： ，又三角形中，sinA0，化简，得： 即： ，又：ABC 中，0 B180，得：B=60；（2）把 sinAcosB+cosAsinB=2sinA 化为：sin（A +B）=2sinA，由三角形内角和定理 A+B+C=180，得：sin（A+B ）=sinC=2sinA ，根据正弦定理，得：c=2a，又 ，结合余弦定理：b 2=a2+c22accosB，即为 48=5a24a2 ，解得：a=4，c=8，由面积公式： = 48 ，得： 19 （12 分）已知等差数列a n中
19、，a 7=9，S 7=42（1）求 a15 与 S20（2）数列c n中 cn=2nan，求数列c n的前 n 项和 Tn【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，则由 a7=9，S 7=42联立： ，解得： ，则数列的通项公式为：a n=n+2 （2）由（1）知： ，则： ，得： ， （n+2） 2n+1，整理得： 20 （12 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sn=n2+5n（1）证明数列a n是等差数列；（2）求数列 的前 n 项和 Tn【解答】证明：（1）当 n=1 时，S 1=1+5=6=a1当 n2 时，化简，得：a n=2n+4 检验，n=1 时，代入上式符合
20、则 ；解：（2）由题意知：= ，= ，解得： 21 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合（1）求椭圆的标准方程（2）若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1，交椭圆于 A、B 两点，求弦长|AB|【解答】解：（1）由题意，设所求椭圆标准方程为： ，焦点距为 2c抛物线 y2=4x 的焦点为 F（1，0） ，c=1，又离心率 ，则：再由 b2=a2c2 得：b 2=4；所求椭圆标准方程为： ，（2）由（1）知，左焦点为 F1（1，0） ，直线 m 的方程为：y 0=1（x +1）即y=x+1联立： 消去 y 得：9x 2+
21、10x15=0，则 ，由弦长公式|AB|= = =22 （12 分）已知函数 f（ x）=lnx +kx2+（2k +1）x（1）讨论 f（x）的单调性；（2）当 k0 时，证明 f（x ） 【解答】 （1）解： ，化为： ，由于原函数定义域为（0，+） k0 时，f（x）0 恒成立，则原函数在定义域内为单调增函数当 k0 时，令 f（x）=0 有正数解： ；在区间 上时，f（x ）0，此时，原函数为减函数在区间 上时，f（x ）0，此时，原函数为增函数综上：k0 时，原函数为增函数，增区间为（0， +） ，k0 时，原函数的增区间为： 减区间为： （2）证明：由（1）知，当 k0 时，在 时，原函数有极大值，且为最大值要证明 ，只需证明： ，作差： = ，设： ，则： ，令：（t）=0 ，解得：t=1，且 t1 时， （t）0，原函数为减函数，t1 时， （t）0，原函数为增函数，则：（1）=ln11+1=0 为函数最大值， ，即