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2017-2018学年吉林省吉林高二(上)期末数学试卷(文科)含答案解析

1、2017-2018 学年吉林省吉林高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,合计 60 分,每题只有一个正确的选项!)1 (5 分)等差数列a n中, a3=4,a 7=10,则 a6=( )A B C D2 (5 分)在ABC 中, a=18,B=60 ,C=75,则 b=( )A6 B9 C4 D93 (5 分)不等式(x+5) (1 x)8 的解集是( )Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x14 (5 分)已知焦点在 y 轴上,对称轴为坐标轴的椭圆,半短轴长为 3,焦距为4,则该椭圆的标准方程为( )A B C D5 (

2、5 分)等比数列a n中, a1a2a3=3,a 10a11a12=24,则 a13a14a15=( )A48 B72 C144 D1926 (5 分)在ABC 中, sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,则角 C 等于( )A30 B60 C120 D1507 (5 分)已知 x0,y0,且 + =2,则 x+y 的最小值为( )A6 B7 C8 D98 (5 分)已知两定点 F1(0,5) ,F 2(0,5) ,平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6,则点 P 的轨迹方程为( )A B C D9 (5 分)在ABC 中, A=60,AB=4,S ABC

3、=2 ,则 BC 边等于( )A2 B2 C D310 (5 分)已知数列a n满足 a1=1,a n+1=an+2n,则 a10=( )A1024 B1023 C2048 D204711 (5 分)函数 f(x )=2x 24lnx 的单调减区间为( )A ( 1,1) B (1,+ ) C (0,1) D1,0)12 (5 分)抛物线 y=x2+bx+c 在点(1,2)处的切线 n 的倾斜角是 135 度,则过点(b,c)且与切线 n 垂直的直线方程为( )Ax y+3=0 Bxy+7=0 Cxy1=0 Dxy3=0二、填空题(共 4 个小题,每个小题 5 分,合计 20 分,要求:答案书

4、写时规范、标准 )13 (5 分)已知 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x+4y 的最小值是 14 (5 分)函数 y= 的定义域为 R,则 k 的取值范围 15 (5 分)已知点 P 到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=5 的距离小 4,若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ,则线段 AB 的中点坐标为 16 (5 分)函数 f(x )=x 3x2x+k 的图象与 x 轴刚好有三个交点,则 k 的取值范围是 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题,每小题 10 分,合计70 分要求:书写规范,步骤清晰,按步骤赋分,没有过程,不给评分)1

5、7 (10 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b ,c ,且b2a2=c(bc ) ,a=4,(1)若 b= ,求 B;(2)若ABC 面积为 4 ,求 b 与 c 的值18 (12 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b ,c ,且 bsinA=2a(1)求角 B 的大小(2)若 b=4 ,sinAcosB+cosAsinB=2sinA ,求ABC 的面积19 (12 分)已知等差数列a n中,a 7=9,S 7=42(1)求 a15 与 S20(2)数列c n中 cn=2nan,求数列c n的前 n 项和 Tn20 (12 分)已知数列a n的前

6、n 项和为 Sn,若 Sn=n2+5n(1)证明数列a n是等差数列;(2)求数列 的前 n 项和 Tn21 (12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合(1)求椭圆的标准方程(2)若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1,交椭圆于 A、B 两点,求弦长|AB|22 (12 分)已知函数 f( x)=lnx +kx2+(2k +1)x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 k0 时,证明 f(x ) 2017-2018 学年吉林省吉林高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,合

7、计 60 分,每题只有一个正确的选项!)1 (5 分)等差数列a n中, a3=4,a 7=10,则 a6=( )A B C D【解答】解:等差数列a n中,a 3=4,a 7=10, ,解得 ,a 6=1+5 = 故选:C2 (5 分)在ABC 中, a=18,B=60 ,C=75,则 b=( )A6 B9 C4 D9【解答】解:在ABC 中,a=18,B=60 ,C=75 ,A=45,由正弦定理 = 得: b= = =9 ,故选:C3 (5 分)不等式(x+5) (1 x)8 的解集是( )Ax |x1 或 x5 Bx|x3 或 x1 Cx|5x1Dx |3x1【解答】解:(x+5) (

8、1x)8,(x+3) (x+1)0,解得:3x1,故选:D4 (5 分)已知焦点在 y 轴上,对称轴为坐标轴的椭圆,半短轴长为 3,焦距为4,则该椭圆的标准方程为( )A B C D【解答】解:根据题意,要求椭圆的半短轴长为 3,焦距为 4,即 b=3,2c=4,解可得 b=3,c=2;则 a= = ,又由椭圆的焦点在 y 轴上,则椭圆的方程为 + =1;故选:D5 (5 分)等比数列a n中, a1a2a3=3,a 10a11a12=24,则 a13a14a15=( )A48 B72 C144 D192【解答】解:设等比数列a n的公比为 q,a 1a2a3=3,a 10a11a12=24,

9、(q 9) 3= =8,解得: q9=2则 a13a14a15=q36a1a2a3=243=48,故选:A6 (5 分)在ABC 中, sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,则角 C 等于( )A30 B60 C120 D150【解答】解:sin 2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,由正弦定理可得,a 2+b2+ab=c2,由余弦定理可得,cosC= = = ,由 C(0, 180) ,可得: C=120故选:C7 (5 分)已知 x0,y0,且 + =2,则 x+y 的最小值为( )A6 B7 C8 D9【解答】解:x0,y0,且 + =2, + =1,x+y=(

10、x+y ) ( + ) =5+ + 5+2 =5+3=8,当且仅当 y=3x=6 时取等号故选:C8 (5 分)已知两定点 F1(0,5) ,F 2(0,5) ,平面内动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6,则点 P 的轨迹方程为( )A B C D【解答】解:根据题意,两定点 F1(0,5) ,F 2( 0,5) ,则|F 1F2|=10,若动点 P 到 F1、F 2 的距离之差的绝对值是 6,则有 610,则 P 的轨迹是以 F1(0,5) ,F 2(0,5)为焦点的双曲线,其中 c=5,a=3 ,则 b= =4,则双曲线的方程为: =1;故选:C9 (5 分)在ABC 中,

11、 A=60,AB=4,S ABC =2 ,则 BC 边等于( )A2 B2 C D3【解答】解:A=60,AB=4,S ABC =2 = ABACsinA= ,AC=2,由余弦定理可得:BC= = =2 故选:B10 (5 分)已知数列a n满足 a1=1,a n+1=an+2n,则 a10=( )A1024 B1023 C2048 D2047【解答】解:数列a n满足 a1=1,a n+1=an+2n,a n=a1+(a 2a1)+(a nan1)=1+2 1+22+2n1= =2n1 (nN *) a 10=2101=1023故选 B11 (5 分)函数 f(x )=2x 24lnx 的单

12、调减区间为( )A ( 1,1) B (1,+ ) C (0,1) D1,0)【解答】解:f(x)的定义域是( 0,+) ,f(x )=4x = ,令 f(x)0,解得:0x1,故选:C12 (5 分)抛物线 y=x2+bx+c 在点(1,2)处的切线 n 的倾斜角是 135 度,则过点(b,c)且与切线 n 垂直的直线方程为( )Ax y+3=0 Bxy+7=0 Cxy1=0 Dxy3=0【解答】解:令 f(x)=x 2+bx+c,则 f(x )=2x+b ,f( x)在(1,2)处的切线斜率为 k=f(1)=2+b,2+b=tan135= 1,b=3又 f(x)过点(1,2) , 13+c

13、=2,即 c=4过(3,4)且与 n 垂直的直线方程为:y4=x+3,即 xy+7=0故选 B二、填空题(共 4 个小题,每个小题 5 分,合计 20 分,要求:答案书写时规范、标准 )13 (5 分)已知 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x+4y 的最小值是 6 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:由 z=2x+4y 得 y= x+ ,平移直线 y= x+ ,由图象可知当直线 y= x+ 经过点 A 时,直线 y= x+ 的截距最小,此时 z 最小,由 ,解得 ,即 A(3, 3) ,此时 z=23+4(3)= 6,故答案为:614 (5 分)函数 y= 的定义域为 R,则 k 的

14、取值范围 0,2 【解答】解:要使函数 y= 的定义域为 R,则 kx24kx+60 对任意 xR 恒成立当 k=0 时,不等式化为 60 恒成立;当 k0 时,则 ,解得 0k2综上,k 的取值范围是0,2故答案为:0,215 (5 分)已知点 P 到点 F(0,1)的距离比它到直线 y=5 的距离小 4,若点P 的轨迹与直线 x4y+2=0 的交点为 A、B ,则线段 AB 的中点坐标为 ( , ) 【解答】解:点 P 到 F(0,1)的距离比它到直线 y=5 的距离小 4,点 P 在直线 l 的上方,点 P 到 F(0,1)的距离与它到直线 y=1 的距离相等点 M 的轨迹 C 是以 F

15、 为焦点,y=1 为准线的抛物线,曲线 C 的方程为 x2=4y,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,AB 的中点为(x 0,y 0)将直线 x4y+2=0 代入 x2=4y,可得 x2=x+2,解得 x1=2 或 x2=1,则 y1=1 或 y2= ,x 0= (21 )= ,y 0= (1+ )= ,AB 的中点为( , ) ,故答案为:( , )16 (5 分)函数 f(x )=x 3x2x+k 的图象与 x 轴刚好有三个交点,则 k 的取值范围是 ( ,1) 【解答】解:f(x )=3x 22x1,令 f(x)=0 得 x= 或 x=1,当 x 或 x1 时,f (x)

16、0,当 x1 时,f(x )0,f( x)在(, )上单调递增,在( ,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当 x= 时, f(x)取得极大值 f( )= +k,当 x=1 时,f(x)取得极小值f(1)=k1f( x)的图象与 x 轴刚好有三个交点, ,解得: k1故答案为:( ,1) 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题,每小题 10 分,合计70 分要求:书写规范,步骤清晰,按步骤赋分,没有过程,不给评分)17 (10 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b ,c ,且b2a2=c(bc ) ,a=4,(1)若 b= ,求 B;(

17、2)若ABC 面积为 4 ,求 b 与 c 的值【解答】解:(1)由 b2a2=c(b c)得:a 2=b2+c2bc根据余弦定理:a 2=b2+c22bccosA 得:又:ABC 中,0 A180,则 A=60,由正弦定理: 结合 解出:又:ABC 中,0 B18060 ,则 B=45,(2)由 a=4,A=60写出余弦定理:a 2=b2+c22bccosA得:b 2+c2bc=16再由面积公式: 及已知得:bc=16联立,且 b0,c0 解得:b=4,c=418 (12 分)在ABC 中,内角 A,B ,C 的对边分别为 a,b ,c ,且 bsinA=2a(1)求角 B 的大小(2)若

18、b=4 ,sinAcosB+cosAsinB=2sinA ,求ABC 的面积【解答】解:(1) 化为: ,由正弦定理,得: ,又三角形中,sinA0,化简,得: 即: ,又:ABC 中,0 B180,得:B=60;(2)把 sinAcosB+cosAsinB=2sinA 化为:sin(A +B)=2sinA,由三角形内角和定理 A+B+C=180,得:sin(A+B )=sinC=2sinA ,根据正弦定理,得:c=2a,又 ,结合余弦定理:b 2=a2+c22accosB,即为 48=5a24a2 ,解得:a=4,c=8,由面积公式: = 48 ,得: 19 (12 分)已知等差数列a n中

19、,a 7=9,S 7=42(1)求 a15 与 S20(2)数列c n中 cn=2nan,求数列c n的前 n 项和 Tn【解答】解:(1)设等差数列a n的公差为 d,则由 a7=9,S 7=42联立: ,解得: ,则数列的通项公式为:a n=n+2 (2)由(1)知: ,则: ,得: , (n+2) 2n+1,整理得: 20 (12 分)已知数列a n的前 n 项和为 Sn,若 Sn=n2+5n(1)证明数列a n是等差数列;(2)求数列 的前 n 项和 Tn【解答】证明:(1)当 n=1 时,S 1=1+5=6=a1当 n2 时,化简,得:a n=2n+4 检验,n=1 时,代入上式符合

20、则 ;解:(2)由题意知:= ,= ,解得: 21 (12 分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,若抛物线y2=4x 的焦点与椭圆一个焦点重合(1)求椭圆的标准方程(2)若直线 m 椭圆左焦点 F1 且斜率为 1,交椭圆于 A、B 两点,求弦长|AB|【解答】解:(1)由题意,设所求椭圆标准方程为: ,焦点距为 2c抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0) ,c=1,又离心率 ,则:再由 b2=a2c2 得:b 2=4;所求椭圆标准方程为: ,(2)由(1)知,左焦点为 F1(1,0) ,直线 m 的方程为:y 0=1(x +1)即y=x+1联立: 消去 y 得:9x 2+

21、10x15=0,则 ,由弦长公式|AB|= = =22 (12 分)已知函数 f( x)=lnx +kx2+(2k +1)x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 k0 时,证明 f(x ) 【解答】 (1)解: ,化为: ,由于原函数定义域为(0,+) k0 时,f(x)0 恒成立,则原函数在定义域内为单调增函数当 k0 时,令 f(x)=0 有正数解: ;在区间 上时,f(x )0,此时,原函数为减函数在区间 上时,f(x )0,此时,原函数为增函数综上:k0 时,原函数为增函数,增区间为(0, +) ,k0 时,原函数的增区间为: 减区间为: (2)证明:由(1)知,当 k0 时,在 时,原函数有极大值,且为最大值要证明 ,只需证明: ,作差: = ,设: ,则: ,令:(t)=0 ,解得:t=1,且 t1 时, (t)0,原函数为减函数,t1 时, (t)0,原函数为增函数,则:(1)=ln11+1=0 为函数最大值, ,即