1、2017-2018 学年吉林省 XX 中学高二（上）期末数学试卷（理科）一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于 2m 的概率是（ ）A B C D2 （5 分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A （ ，2 B2，1 C 1，2 D2，+）3 （5 分）命题“x 0RQ，x 03Q”的否定是（ ）Ax 0RQ，x 03Q Bx 0RQ，x 03QC xRQ，x 3Q Dx RQ，x 3Q4 （5 分）如
2、表是某厂 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是=0.7x+a，则 a=（ ）月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5A10.5 B5.15 C5.2 D5.255 （5 分）某单位员工按年龄分为 A，B ，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该单位员工总数为（ ）A110 B100 C90 D806 （5 分）k 3 是方程 + =1 表示双曲线的（ ）条件A充分但不必要 B充要C必要但不充分
3、D既不充分也不必要7 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为（ ）A B C D8 （5 分）6 把椅子排成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A144 B120 C72 D249 （5 分）已知 ，则 的最小值是（ ）A B C D10 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）A B C D111 （5 分）已知点 F1，F 2 分别是双曲线 C： （a0，b0）的左右焦点，点 G 是双曲线
4、 C 上的一点，且满足|GF 1|=7|GF2|，则 的取值范围是（ ）A （0 ， B （0， C （ D 12 （5 分）已知椭圆 =1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）若（x2） 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= （用数字作答）14 （5 分）2012 年的 NBA 全明星赛，于美国当地时间 2012 年 2 月 2
5、6 日在佛罗里达州奧兰多市举行如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 15 （5 分）已知点 A，B 的坐标分别是（1，0） ， （ 1，0） ，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2，则点 M 的轨迹方程是 16 （5 分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生 天三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）某校 100 名学生期中考试语
6、文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100（）求图中 a 的值；（）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数） 18 （12 分）设二项式（x ） 6（a0）的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为B，若 B=4A，求 a 的值19 （12 分）设抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，直线 l 过 F 与 C 交于 A，B 两点，若 =3 ，求直线 l 的方程20 （12 分）男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名，选派 5
7、人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员21 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是 CC1、BC 的中点，AEA1B1，D 为棱 A1B1 上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由22 （12 分）已知 A、B 是椭圆 +y2=1 上的两点，且 = ，其中 F 为椭圆的右焦点（1）求实数
8、的取值范围；（2）在 x 轴上是否存在一个定点 M，使得 为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由参考答案与试题解析一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）取一根长度为 5m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于 2m 的概率是（ ）A B C D【解答】解：记“ 两段的长都不小于 2m”为事件 A，则只能在中间 1m 的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于 2m，所以事件 A 发生的概率 故选 A2 （5 分）阅读程序框图，如果输出的函数值在区间 内，则输入的实数 x 的取值范围是（ ）A
9、（ ，2 B2，1 C 1，2 D2，+）【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 f（x ）= 的函数值又输出的函数值在区间 内，x2，1 故选 B3 （5 分）命题“x 0RQ，x 03Q”的否定是（ ）Ax 0RQ，x 03Q Bx 0RQ，x 03QC xRQ，x 3Q Dx RQ，x 3Q【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x 0RQ，x 03Q”的否定是：x RQ，x 3Q故选：D4 （5 分）如表是某厂 14 月份用水量（单位：百吨）的一组数据由散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系
10、，其线性回归方程是=0.7x+a，则 a=（ ）月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5A10.5 B5.15 C5.2 D5.25【解答】解： = （1+2+ 3+4）=2.5 ， = （4.5 +4+3+2.5）=3.5 ，将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是：=0.7x+a，可得 3.5=1.75+a，故 a=5.25，故选：D5 （5 分）某单位员工按年龄分为 A，B ，C 三组，其人数之比为 5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本，若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ，则该单位员工总数为（ ）A110 B100 C90 D80【
11、解答】解：按年龄分为 A，B ，C 三组，其人数之比为 5：4：1，从中抽取一个容量为 20 的样本，则抽取的 C 组数为 20=2，设 C 组总数为 m，则甲、乙二人均被抽到的概率为 = = ，即 m（m 1）=90，解得 m=10设总体中员工总数为 x，则由 = = ，可得 x=100，故选：B6 （5 分）k 3 是方程 + =1 表示双曲线的（ ）条件A充分但不必要 B充要C必要但不充分 D既不充分也不必要【解答】解：方程 + =1 表示双曲线（3k ） （k1）0，解得 k3 或k1 k3 是方程 + =1 表示双曲线的充分但不必要条件故选：A7 （5 分）正方体 ABCDA1B1C
12、1D1 中，直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为（ ）A B C D【解答】解：A 1BC1 是等边三角形，A 1B1=BB1=B1C1，B 1 在平面 A1BC1 上的射影为A 1BC1 的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1 的中点，则 A1B= ，OB= BM= = ，OB 1= = ，sin B 1BO= = ，即 BB1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 ，DD 1BB 1，直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 故选：A8 （5 分）6 把椅子排成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A144 B120 C72 D24【解答】
13、解：使用“ 插空法“ 第一步，三个人先坐成一排，有 种，即全排，6 种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子，2 号位置与 3 号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡，随便摆放即可，即有 种办法根据分步计数原理，64=24故选：D9 （5 分）已知 ，则 的最小值是（ ）A B C D【解答】解： =（ 2，t ，t） （1 t，2t 1，0）=（1+t ，1 t，t ） ， = = 故当 t=0 时， 有最小值等于 ，故选 C10 （5 分）袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球
14、从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为（ ）A B C D1【解答】解：这是一个古典概型，从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ；基本事件总数为 105；设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球”为事件 A；则 A 包含的基本事件个数为 =50；P（A）= 故选：B11 （5 分）已知点 F1，F 2 分别是双曲线 C： （a0，b0）的左右焦点，点 G 是双曲线 C 上的一点，且满足|GF 1|=7|GF2|，则 的取值范围是（ ）A （0 ， B （0， C （ D 【解答】解：根据题意，设 G 点的横坐标为 x0，注意到 x0a由双曲线第
15、二定义得：|GF 1|=a+ex0，|GF 2|=ex0a，又由|GF 1|=7|GF2|，则有 a+ex0=7（ex 0a） ，解可得：x 0= a，变形可得：1e ，即 1e 2 ，又由 e2= =1+ ，则有 11+ ，解可得 0 ，即 的取值范围是（0， ；故选：A12 （5 分）已知椭圆 =1（ab 0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A B C D【解答】解：椭圆 =1（ab0）焦点在 x 轴上，设椭圆的左、右焦点分别为 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，
16、由 x=c，代入椭圆方程可得 y= ，可设 A（c， ） ，C（x，y） ，由 ，可得 =2 ，即有（2c， ）=2 （xc，y） ，即 2c=2x2c， =2y，可得：x=2c，y= ，代入椭圆方程可得： ，由 b2=a2c2，根据离心率公式可知： e= ，整理得：16e 2+1e2=4，解得 e= ，由 0e1 ，则 e= ，故选 A二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）若（x2） 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= 1 （用数字作答）【解答】解：（x2） 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a
17、1x+a0 中，令 x=1，得（12） 5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，即 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1故答案为：114 （5 分）2012 年的 NBA 全明星赛，于美国当地时间 2012 年 2 月 26 日在佛罗里达州奧兰多市举行如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 64 【解答】解：将甲的得分从小到大排好顺序后，第 5 个数为 28，将乙的得分从小到大排好顺序后，第 5 个数为 36所以甲乙的中位数分别为 28 和 36，所以中位数之和为 28+36=64故答案为：6415 （5 分）已知点 A，B
18、 的坐标分别是（1，0） ， （ 1，0） ，直线 AM，BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2，则点 M 的轨迹方程是 y=1x2（ x1 ） 【解答】解：设 M（x，y） ，则 kAMkBM= =2，整理，得 y=1x2， （x 1） 动点 P 的轨迹方程是 y=1x2， （x 1） 故答案为：y=1x 2， （x 1） 16 （5 分）原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生 510 天【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数，
19、化为十进制数为 173+372+271+670=510故答案为：510三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （10 分）某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100（）求图中 a 的值；（）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数） 【解答】 （本小题满分 12 分）解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为 1，得：10（2a+0.02 +0.03+0.04）=1，解得 a=0.005（2）这 10
20、0 名学生语文成绩的平均分为：550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73（分）这 100 名学生语文成绩在50，70）的频率为（0.005+0.04）10=0.45，这 100 名学生语文成绩在70，80）的频率为 0.0310=0.3，这 100 名学生语文成绩的中位数为：70+10 71.7（分） 18 （12 分）设二项式（x ） 6（a0）的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为B，若 B=4A，求 a 的值【解答】解：二项式（x ） 6（a 0）展开式的通项公式为Tr+1= x6r =（a ） r ，令 r=2，得展开式中 x3 的系数为 A= a2=15a
21、2；令 r=4，得展开式中常数项为 B= a4=15a4，由 B=4A 可得 a2=4，又 a0，所以 a=219 （12 分）设抛物线 C：y 2=2x 的焦点为 F，直线 l 过 F 与 C 交于 A，B 两点，若 =3 ，求直线 l 的方程【解答】解：抛物线 C： y2=2x 的焦点为 F（ ，0）设直线 ，由 ，可得 m0 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 =（ x1，y 1） ， =（ x2 ，y 2） ，由 =3 ，所以 y1=3y2，由 ，整理得 y22my1=0，则 ，且 y1=3y2，得 ，解得 ，直线 20 （12 分）男运动员 6 名，女运动员 4
22、名，其中男女队长各 1 名，选派 5 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员 3 名，女运动员 2 名；（2）至少有 1 名女运动员；（3）队长中至少有 1 人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，首先选 3 名男运动员，有 C63 种选法再选 2 名女运动员，有 C42 种选法共有 C63C42=120 种选法（2）法一（直接法）：“至少 1 名女运动员”包括以下几种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男由分类加法计数原理可得有 C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246
23、种选法法二（间接法）：“ 至少 1 名女运动员”的反面为“ 全是男运动员 ”从 10 人中任选 5 人，有 C105 种选法，其中全是男运动员的选法有 C65 种所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 C105C65=246 种（3） “只有男队长” 的选法为 C84 种；“只有女队长 ”的选法为 C84 种；“男、女队长都入选 ”的选法为 C83 种；共有 2C84+C83=196 种“至少 1 名队长” 的选法有 C105C85=196 种选法（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有 C94 种选法不选女队长时，必选男队长，共有 C84 种选法其中不含女运动员的选法有 C54 种，不选女队
24、长时共有 C84C54 种选法既有队长又有女运动员的选法共有 C94+C84C54=191 种21 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA 1=AB=AC=1，E ，F 分别是 CC1、BC 的中点，AEA1B1，D 为棱 A1B1 上的点（1）证明：DFAE；（2）是否存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ？若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由【解答】 （1）证明：AEA 1B1，A 1B1AB ，AEAB，又AA 1AB，AA 1AE=A，AB面 A1ACC1，又AC面 A1ACC1，ABAC，以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标
25、系 Axyz，则有 A（0，0，0） ，E （0 ，1， ） ，F （ ， ，0） ，A 1（0，0，1） ，B1（1 ，0 ，1 ） ，设 D（x ，y，z） ， 且 0，1，即（x，y，z1）=（1，0，0） ，则 D（，0，1） ，所以 =（ ， ， 1） ， =（ 0，1， ） ， = =0，所以 DFAE； （2）结论：存在一点 D，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为理由如下：设面 DEF 的法向量为 =（x ，y，z） ，则 ， =（ ， ， ） ， =（ ， 1） ， ，即 ，令 z=2（1） ，则 =（3，1+2，2（1 ） ） 由题可知面 ABC 的法向
26、量 =（0，0，1） ，平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ，|cos ， |= = ，即 = ，解得 或 （舍） ，所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求22 （12 分）已知 A、B 是椭圆 +y2=1 上的两点，且 = ，其中 F 为椭圆的右焦点（1）求实数 的取值范围；（2）在 x 轴上是否存在一个定点 M，使得 为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）由已知条件知：直线 AB 过椭圆右焦点 F（1，0） 当直线 AB 与 x 轴重合时， 当直线 AB 不与 x 轴重合时，设 AB：x=my+1，代入椭圆方程，并整理得（2+m 2）y 2+2my1=0设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由根与系数的关系得 ， 所以 又由 ，得y 1=y2，所以 ，解之得 综上，实数 的取值范围是 （7 分）（2）设 M（ a，0） ，则=（ my1+1a） （my 2+1a）+y 1y2= 为定值，所以 2a24a+1=2（a 22） ，解得 故存在定点 ，使得 为定值 经检验，当 AB 与 x 轴重合时也成立，存在定点 ，使得 为定值 （13 分）