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2017-2018学年吉林省XX实验中学高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析

1、2017-2018 学年吉林省 XX 中学高二(上)期末数学试卷(理科)一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)取一根长度为 5m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 2m 的概率是( )A B C D2 (5 分)阅读程序框图,如果输出的函数值在区间 内,则输入的实数 x 的取值范围是( )A ( ,2 B2,1 C 1,2 D2,+)3 (5 分)命题“x 0RQ,x 03Q”的否定是( )Ax 0RQ,x 03Q Bx 0RQ,x 03QC xRQ,x 3Q Dx RQ,x 3Q4 (5 分)如

2、表是某厂 14 月份用水量(单位:百吨)的一组数据由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是=0.7x+a,则 a=( )月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5A10.5 B5.15 C5.2 D5.255 (5 分)某单位员工按年龄分为 A,B ,C 三组,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本,若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,则该单位员工总数为( )A110 B100 C90 D806 (5 分)k 3 是方程 + =1 表示双曲线的( )条件A充分但不必要 B充要C必要但不充分

3、D既不充分也不必要7 (5 分)正方体 ABCDA1B1C1D1 中,直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为( )A B C D8 (5 分)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A144 B120 C72 D249 (5 分)已知 ,则 的最小值是( )A B C D10 (5 分)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( )A B C D111 (5 分)已知点 F1,F 2 分别是双曲线 C: (a0,b0)的左右焦点,点 G 是双曲线

4、 C 上的一点,且满足|GF 1|=7|GF2|,则 的取值范围是( )A (0 , B (0, C ( D 12 (5 分)已知椭圆 =1(ab 0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C,若 ,则椭圆的离心率为( )A B C D二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13 (5 分)若(x2) 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= (用数字作答)14 (5 分)2012 年的 NBA 全明星赛,于美国当地时间 2012 年 2 月 2

5、6 日在佛罗里达州奧兰多市举行如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 15 (5 分)已知点 A,B 的坐标分别是(1,0) , ( 1,0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,则点 M 的轨迹方程是 16 (5 分)原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生 天三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (10 分)某校 100 名学生期中考试语

6、文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:50,60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100()求图中 a 的值;()根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分和中位数(要求写出计算过程,结果保留一位小数) 18 (12 分)设二项式(x ) 6(a0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为B,若 B=4A,求 a 的值19 (12 分)设抛物线 C:y 2=2x 的焦点为 F,直线 l 过 F 与 C 交于 A,B 两点,若 =3 ,求直线 l 的方程20 (12 分)男运动员 6 名,女运动员 4 名,其中男女队长各 1 名,选派 5

7、人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员 3 名,女运动员 2 名;(2)至少有 1 名女运动员;(3)队长中至少有 1 人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员21 (12 分)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA 1=AB=AC=1,E ,F 分别是 CC1、BC 的中点,AEA1B1,D 为棱 A1B1 上的点(1)证明:DFAE;(2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由22 (12 分)已知 A、B 是椭圆 +y2=1 上的两点,且 = ,其中 F 为椭圆的右焦点(1)求实数

8、的取值范围;(2)在 x 轴上是否存在一个定点 M,使得 为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,说明理由参考答案与试题解析一选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1 (5 分)取一根长度为 5m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于 2m 的概率是( )A B C D【解答】解:记“ 两段的长都不小于 2m”为事件 A,则只能在中间 1m 的绳子上剪断,剪得两段的长都不小于 2m,所以事件 A 发生的概率 故选 A2 (5 分)阅读程序框图,如果输出的函数值在区间 内,则输入的实数 x 的取值范围是( )A

9、( ,2 B2,1 C 1,2 D2,+)【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数 f(x )= 的函数值又输出的函数值在区间 内,x2,1 故选 B3 (5 分)命题“x 0RQ,x 03Q”的否定是( )Ax 0RQ,x 03Q Bx 0RQ,x 03QC xRQ,x 3Q Dx RQ,x 3Q【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“x 0RQ,x 03Q”的否定是:x RQ,x 3Q故选:D4 (5 分)如表是某厂 14 月份用水量(单位:百吨)的一组数据由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系

10、,其线性回归方程是=0.7x+a,则 a=( )月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5A10.5 B5.15 C5.2 D5.25【解答】解: = (1+2+ 3+4)=2.5 , = (4.5 +4+3+2.5)=3.5 ,将(2.5,3.5)代入线性回归直线方程是:=0.7x+a,可得 3.5=1.75+a,故 a=5.25,故选:D5 (5 分)某单位员工按年龄分为 A,B ,C 三组,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 20 的样本,若 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,则该单位员工总数为( )A110 B100 C90 D80【

11、解答】解:按年龄分为 A,B ,C 三组,其人数之比为 5:4:1,从中抽取一个容量为 20 的样本,则抽取的 C 组数为 20=2,设 C 组总数为 m,则甲、乙二人均被抽到的概率为 = = ,即 m(m 1)=90,解得 m=10设总体中员工总数为 x,则由 = = ,可得 x=100,故选:B6 (5 分)k 3 是方程 + =1 表示双曲线的( )条件A充分但不必要 B充要C必要但不充分 D既不充分也不必要【解答】解:方程 + =1 表示双曲线(3k ) (k1)0,解得 k3 或k1 k3 是方程 + =1 表示双曲线的充分但不必要条件故选:A7 (5 分)正方体 ABCDA1B1C

12、1D1 中,直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为( )A B C D【解答】解:A 1BC1 是等边三角形,A 1B1=BB1=B1C1,B 1 在平面 A1BC1 上的射影为A 1BC1 的中心 O,设正方体棱长为 1,M 为 A1C1 的中点,则 A1B= ,OB= BM= = ,OB 1= = ,sin B 1BO= = ,即 BB1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 ,DD 1BB 1,直线 DD1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为 故选:A8 (5 分)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )A144 B120 C72 D24【解答】

13、解:使用“ 插空法“ 第一步,三个人先坐成一排,有 种,即全排,6 种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子,2 号位置与 3 号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡,随便摆放即可,即有 种办法根据分步计数原理,64=24故选:D9 (5 分)已知 ,则 的最小值是( )A B C D【解答】解: =( 2,t ,t) (1 t,2t 1,0)=(1+t ,1 t,t ) , = = 故当 t=0 时, 有最小值等于 ,故选 C10 (5 分)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球,其中有 10 个白球,5 个红球

14、从袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( )A B C D1【解答】解:这是一个古典概型,从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ;基本事件总数为 105;设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球”为事件 A;则 A 包含的基本事件个数为 =50;P(A)= 故选:B11 (5 分)已知点 F1,F 2 分别是双曲线 C: (a0,b0)的左右焦点,点 G 是双曲线 C 上的一点,且满足|GF 1|=7|GF2|,则 的取值范围是( )A (0 , B (0, C ( D 【解答】解:根据题意,设 G 点的横坐标为 x0,注意到 x0a由双曲线第

15、二定义得:|GF 1|=a+ex0,|GF 2|=ex0a,又由|GF 1|=7|GF2|,则有 a+ex0=7(ex 0a) ,解可得:x 0= a,变形可得:1e ,即 1e 2 ,又由 e2= =1+ ,则有 11+ ,解可得 0 ,即 的取值范围是(0, ;故选:A12 (5 分)已知椭圆 =1(ab 0)的左、右焦点分别为 F1,F 2,过 F1且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C,若 ,则椭圆的离心率为( )A B C D【解答】解:椭圆 =1(ab0)焦点在 x 轴上,设椭圆的左、右焦点分别为 F1(c,0) ,F 2(c,0) ,

16、由 x=c,代入椭圆方程可得 y= ,可设 A(c, ) ,C(x,y) ,由 ,可得 =2 ,即有(2c, )=2 (xc,y) ,即 2c=2x2c, =2y,可得:x=2c,y= ,代入椭圆方程可得: ,由 b2=a2c2,根据离心率公式可知: e= ,整理得:16e 2+1e2=4,解得 e= ,由 0e1 ,则 e= ,故选 A二填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13 (5 分)若(x2) 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a0+a1+a2+a3+a4+a5= 1 (用数字作答)【解答】解:(x2) 5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a

17、1x+a0 中,令 x=1,得(12) 5=a5+a4+a3+a2+a1+a0,即 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1故答案为:114 (5 分)2012 年的 NBA 全明星赛,于美国当地时间 2012 年 2 月 26 日在佛罗里达州奧兰多市举行如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 64 【解答】解:将甲的得分从小到大排好顺序后,第 5 个数为 28,将乙的得分从小到大排好顺序后,第 5 个数为 36所以甲乙的中位数分别为 28 和 36,所以中位数之和为 28+36=64故答案为:6415 (5 分)已知点 A,B

18、 的坐标分别是(1,0) , ( 1,0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是 2,则点 M 的轨迹方程是 y=1x2( x1 ) 【解答】解:设 M(x,y) ,则 kAMkBM= =2,整理,得 y=1x2, (x 1) 动点 P 的轨迹方程是 y=1x2, (x 1) 故答案为:y=1x 2, (x 1) 16 (5 分)原始社会时期,人们通过在绳子上打结来计算数量,即“结绳计数”当时有位父亲,为了准确记录孩子的成长天数,在粗细不同的绳子上打结,由细到粗,满七进一,那么孩子已经出生 510 天【解答】解:由题意满七进一,可得该图示为七进制数,

19、化为十进制数为 173+372+271+670=510故答案为:510三解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17 (10 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:50,60) ,60,70) ,70,80) ,80,90) ,90,100()求图中 a 的值;()根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分和中位数(要求写出计算过程,结果保留一位小数) 【解答】 (本小题满分 12 分)解:(1)由频率分布直方图中小矩形有面积之和为 1,得:10(2a+0.02 +0.03+0.04)=1,解得 a=0.005(2)这 10

20、0 名学生语文成绩的平均分为:550.05+650.4+750.3+850.2+950.05=73(分)这 100 名学生语文成绩在50,70)的频率为(0.005+0.04)10=0.45,这 100 名学生语文成绩在70,80)的频率为 0.0310=0.3,这 100 名学生语文成绩的中位数为:70+10 71.7(分) 18 (12 分)设二项式(x ) 6(a0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为B,若 B=4A,求 a 的值【解答】解:二项式(x ) 6(a 0)展开式的通项公式为Tr+1= x6r =(a ) r ,令 r=2,得展开式中 x3 的系数为 A= a2=15a

21、2;令 r=4,得展开式中常数项为 B= a4=15a4,由 B=4A 可得 a2=4,又 a0,所以 a=219 (12 分)设抛物线 C:y 2=2x 的焦点为 F,直线 l 过 F 与 C 交于 A,B 两点,若 =3 ,求直线 l 的方程【解答】解:抛物线 C: y2=2x 的焦点为 F( ,0)设直线 ,由 ,可得 m0 设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 =( x1,y 1) , =( x2 ,y 2) ,由 =3 ,所以 y1=3y2,由 ,整理得 y22my1=0,则 ,且 y1=3y2,得 ,解得 ,直线 20 (12 分)男运动员 6 名,女运动员 4

22、名,其中男女队长各 1 名,选派 5 人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员 3 名,女运动员 2 名;(2)至少有 1 名女运动员;(3)队长中至少有 1 人参加;(4)既要有队长,又要有女运动员【解答】解:(1)由题意知本题是一个分步计数问题,首先选 3 名男运动员,有 C63 种选法再选 2 名女运动员,有 C42 种选法共有 C63C42=120 种选法(2)法一(直接法):“至少 1 名女运动员”包括以下几种情况:1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男由分类加法计数原理可得有 C41C64+C42C63+C43C62+C44C61=246

23、种选法法二(间接法):“ 至少 1 名女运动员”的反面为“ 全是男运动员 ”从 10 人中任选 5 人,有 C105 种选法,其中全是男运动员的选法有 C65 种所以“至少有 1 名女运动员”的选法有 C105C65=246 种(3) “只有男队长” 的选法为 C84 种;“只有女队长 ”的选法为 C84 种;“男、女队长都入选 ”的选法为 C83 种;共有 2C84+C83=196 种“至少 1 名队长” 的选法有 C105C85=196 种选法(4)当有女队长时,其他人选法任意,共有 C94 种选法不选女队长时,必选男队长,共有 C84 种选法其中不含女运动员的选法有 C54 种,不选女队

24、长时共有 C84C54 种选法既有队长又有女运动员的选法共有 C94+C84C54=191 种21 (12 分)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA 1=AB=AC=1,E ,F 分别是 CC1、BC 的中点,AEA1B1,D 为棱 A1B1 上的点(1)证明:DFAE;(2)是否存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由【解答】 (1)证明:AEA 1B1,A 1B1AB ,AEAB,又AA 1AB,AA 1AE=A,AB面 A1ACC1,又AC面 A1ACC1,ABAC,以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标

25、系 Axyz,则有 A(0,0,0) ,E (0 ,1, ) ,F ( , ,0) ,A 1(0,0,1) ,B1(1 ,0 ,1 ) ,设 D(x ,y,z) , 且 0,1,即(x,y,z1)=(1,0,0) ,则 D(,0,1) ,所以 =( , , 1) , =( 0,1, ) , = =0,所以 DFAE; (2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为理由如下:设面 DEF 的法向量为 =(x ,y,z) ,则 , =( , , ) , =( , 1) , ,即 ,令 z=2(1) ,则 =(3,1+2,2(1 ) ) 由题可知面 ABC 的法向

26、量 =(0,0,1) ,平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ,|cos , |= = ,即 = ,解得 或 (舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求22 (12 分)已知 A、B 是椭圆 +y2=1 上的两点,且 = ,其中 F 为椭圆的右焦点(1)求实数 的取值范围;(2)在 x 轴上是否存在一个定点 M,使得 为定值?若存在,求出定值和定点坐标;若不存在,说明理由【解答】解:(1)由已知条件知:直线 AB 过椭圆右焦点 F(1,0) 当直线 AB 与 x 轴重合时, 当直线 AB 不与 x 轴重合时,设 AB:x=my+1,代入椭圆方程,并整理得(2+m 2)y 2+2my1=0设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由根与系数的关系得 , 所以 又由 ,得y 1=y2,所以 ,解之得 综上,实数 的取值范围是 (7 分)(2)设 M( a,0) ,则=( my1+1a) (my 2+1a)+y 1y2= 为定值,所以 2a24a+1=2(a 22) ,解得 故存在定点 ,使得 为定值 经检验,当 AB 与 x 轴重合时也成立,存在定点 ,使得 为定值 (13 分)