1、2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的 ）1 （5 分）已知点（3，2）在椭圆 + =1 上，则（ ）A点（3 ， 2）不在椭圆上B点（3，2）不在椭圆上C点（3，2）在椭圆上D无法判断点（3 ，2） 、 （3， 2） 、 （3，2）是否在椭圆上2 （5 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上任意一点，则PF 1F2 的周长为（ ）A9 B13 C15 D183 （5 分）阅读如图的程序框图若输入 n=5，则输出 k 的值为（ ）
2、A2 B3 C4 D54 （5 分）已知焦点在 x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，若该椭圆的离心率为 ，则椭圆的方程是（ ）A B C D5 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的焦距为 8，则此双曲线的方程为（ ）A B C D6 （5 分）方程 （t 为参数）表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条射线C一条线段 D抛物线的一部分7 （5 分）把二进制的数 11111（2） 化成十进制的数为（ ）A31 B15 C16 D118 （5 分）已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D9 （5 分）抛物线 x2=4
3、y 的准线方程是（ ）Ay= 1 By=2 Cx= 1 Dx= 210 （5 分）已知双曲线 C 的中心为原点，点 是双曲线 C 的一个焦点，点 F 到渐近线的距离为 1，则 C 的方程为（ ）Ax 2y2=1 B C D11 （5 分）椭圆 + =1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则F 1PF2 的余弦值为（ ）A B C D12 （5 分）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A、B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之比 =（ ）A B C D二、填空题（本大题共有 4 个小题，
4、每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在极坐标系中，点 P 的坐标为 ，则点 P 的直角坐标为 14 （5 分）已知椭圆 与坐标轴依次交于 A，B，C，D 四点，则四边形ABCD 的面积为 15 （5 分）过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直的直线交抛物线 M，N ，则|MN|= 16 （5 分）l 是经过双曲线 C： =1（a0，b0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线 C 的两个顶点，点在 l 存在一点 P，使APB=60，则双曲线离心率的最大值为 三、解答题（本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知曲
5、线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =1把C1 的参数方程式化为普通方程，C 2 的极坐标方程式化为直角坐标方程18 （12 分）求与椭圆 有相同的焦距，且离心率为 的椭圆的标准方程19 （12 分）已知直线 l： ，圆 C 的极坐标方程为 =2sin（）求圆 C 在直角坐标方程；（）若圆 C 与直线 l 相切，求实数 a 的值20 （12 分）在抛物线 上找一点 P，使 P 到直线 y=4x5 的距离最短21 （12 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极
6、坐标方程为 sin2=4cos（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，设点 P（1，1） ，直线 l与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值22 （12 分）椭圆 的离心率为 ，右顶点为 （）求椭圆方程（）该椭圆的左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 与椭圆交于点 A、B，且F 2AB 面积为 ，求直线 l 的方程2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的 ）1
7、（5 分）已知点（3，2）在椭圆 + =1 上，则（ ）A点（3 ， 2）不在椭圆上B点（3，2）不在椭圆上C点（3，2）在椭圆上D无法判断点（3 ，2） 、 （3， 2） 、 （3，2）是否在椭圆上【解答】解：因为点（3，2）在椭圆 + =1 上，由椭圆的对称性可得点（3，2） （3，2） （ 3， 2）均在椭圆 + =1 上故选 C2 （5 分）设椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是 C 上任意一点，则PF 1F2 的周长为（ ）A9 B13 C15 D18【解答】解：根据题意，椭圆 ，其中 a= =5，b= =3，则 c= =4，P 是 C 上任意一点，则PF 1F2 的周长
8、l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18；故选：D3 （5 分）阅读如图的程序框图若输入 n=5，则输出 k 的值为（ ）A2 B3 C4 D5【解答】解：第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1； 第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2； 第三次执行循环体，n=148 ，不满足退出循环的条件， k=3； 第四次执行循环体，n=445 ，满足退出循环的条件，故输出 k 值为 3，故选：B4 （5 分）已知焦点在 x 轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，若该椭圆的离心率为 ，则椭圆的方程是（ ）A B C D【解答】解
9、：根据题意，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6，即2a=6，则 a=3，又由椭圆的离心率为 ，即 e= = ，则 c=1，则有 b2=a2c2=8，又由椭圆的焦点在 x 轴上，则其标准方程为： + =1，故选：B5 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，它的焦距为 8，则此双曲线的方程为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，双曲线的方程为 ，则双曲线的焦点在 x 轴上，若其一条渐近线方程为 ，则有 = ，即 b= a，又由双曲线的焦距为 8，即 2c=8，则有 c2=a2+b2=4a2=16，解可得：a 2=4，b 2=12，则双曲线的标准方程为 =1；故选：C6 （5 分）
10、方程 （t 为参数）表示的曲线是（ ）A一条直线 B两条射线C一条线段 D抛物线的一部分【解答】解：根据已知条件： ，在 x=2t（ 1t1）时，函数 y=2所以，该函数的图象是平行于 x 轴的一条线段故选：C7 （5 分）把二进制的数 11111（2） 化成十进制的数为（ ）A31 B15 C16 D11【解答】解：11111 （2 ）=20+21+22+23+24=1+2+4+8+16=31故选：A8 （5 分）已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D【解答】解：抛物线 y2=12x 的 p=6，开口方向向右，焦点是（3，0） ，双曲
11、线 的 c=3，a 2=94=5，e= 故选：B9 （5 分）抛物线 x2=4y 的准线方程是（ ）Ay= 1 By=2 Cx= 1 Dx= 2【解答】解：由 x2=2py（p 0）的准线方程为 y= ，则抛物线 x2=4y 的准线方程是 y=1，故选 A10 （5 分）已知双曲线 C 的中心为原点，点 是双曲线 C 的一个焦点，点 F 到渐近线的距离为 1，则 C 的方程为（ ）Ax 2y2=1 B C D【解答】解：根据题意，点 是双曲线 C 的一个焦点，则双曲线的焦点在 x 轴上，且 c= ，设其方程为 =1，则有 a2+b2=2，则双曲线的渐近线方程为 y= x，即 aybx=0，点
12、F 到渐近线的距离为 1，则有 =1，解可得 b=1；则 a=1，则双曲线的方程为 x2y2=1；故选：A11 （5 分）椭圆 + =1 的焦点为 F1，F 2，点 P 在椭圆上，若|PF 1|=4，则F 1PF2 的余弦值为（ ）A B C D【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为 + =1，其中 a= =3，b= ，则 c= ，则有|F 1F2|=2 ，若 a=3，则|PF 1|+|PF2|=2a=6，又由|PF 1|=4，则 |PF2|=6|PF1|=2，则 cosF 1PF2= = ；故选：A12 （5 分）设抛物线 y2=2x 的焦点为 F，过点 M（ ，0）的直线与抛物线相交于 A
13、、B 两点，与抛物线的准线相交于点 C，|BF|=2，则BCF 与ACF 的面积之比 =（ ）A B C D【解答】解：如图过 B 作准线 l：x= 的垂线，垂足分别为 A1，B 1， = ，又B 1BC A1AC、 = ，由拋物线定义 = = 由|BF|=|BB 1|=2 知 xB= ，y B= ，AB：y0= （x ） 把 x= 代入上式，求得 yA=2，x A=2，|AF|= |AA1|= 故 = = = 故选 A二、填空题（本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在极坐标系中，点 P 的坐标为 ，则点 P 的直角坐标为 【解答】解：在极坐标系中，点 P 的
14、坐标为 ， =1，y=2sin = ，点 P 的直角坐标为（ 1， ） 故答案为：（1， ） 14 （5 分）已知椭圆 与坐标轴依次交于 A，B，C，D 四点，则四边形ABCD 的面积为 30 【解答】解：根据题意，椭圆 中，a= =5，b= =3，如图椭圆 与坐标轴依次交于 A，B ，C， D 四点，则 A（5 ，0） ，B（0 ，3） ，C（5，0） ，D（0，3） ，则|AO|=5 ，|DO|=3，四边形 ABCD 的面积 S=4SAOD =4 53=30；故答案为：3015 （5 分）过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直的直线交抛物线 M，N ，则|MN|= 6 【解答】解：根
15、据题意，抛物线 y2=6x 的焦点为（ ，0）直线 MN 过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直，设 M 的坐标（ ，b） ，则 N 的坐标为（ ，b） ，M 在抛物线上，则有 b2=6 ，解可得 b=3，|MN|=2|b|=6；故答案为：616 （5 分）l 是经过双曲线 C： =1（a0，b0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A，B 是双曲线 C 的两个顶点，点在 l 存在一点 P，使APB=60，则双曲线离心率的最大值为 【解答】解：设双曲线的焦点 F（c ，0） ，直线 l：x=c，可设点 P（c ， n） ，A（ a， 0） ，B（a，0） ，由两直线的夹角公式可得 tanAPB
16、=| |= ， ，化简可得 3c24a 2，即 c a，即有 e 当且仅当 n= ，即 P（c， ） ，离心率取得最大值 故答案为 三、解答题（本大题共有 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （10 分）已知曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 =1把C1 的参数方程式化为普通方程，C 2 的极坐标方程式化为直角坐标方程【解答】解：曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，消去参数 ，得 C1 的普通方程是：（x1） 2+（y1） 2=1；曲线 C2 的极坐标方程为 =1，
17、化为直角坐标方程是 =1，即 x2+y2=118 （12 分）求与椭圆 有相同的焦距，且离心率为 的椭圆的标准方程【解答】解：根据题意，椭圆 的焦距为 2 =2 ，要求椭圆的焦距也为 2 ，即 2c=2 ，则 c= ，又由要求椭圆的离心率 e= ，则 a=5，则其中 b= =20，当椭圆的焦点在 x 轴上时，椭圆的标准方程为 ；当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的标准方程为 19 （12 分）已知直线 l： ，圆 C 的极坐标方程为 =2sin（）求圆 C 在直角坐标方程；（）若圆 C 与直线 l 相切，求实数 a 的值【解答】解：（）圆 C 的极坐标方程为 =2sin即 2=2sin，化为：x
18、2+y2=2y，配方为： x2+（y 1） 2=1（）C 的圆心 C（0， 1） ，r=1 圆 C 与直线 l 相切， =1，解得 a=3 或 120 （12 分）在抛物线 上找一点 P，使 P 到直线 y=4x5 的距离最短【解答】解法一：设与 y=4x5 平行的直线 y=4x+b 与 y=4x2 相切，则 y=4x+b 代入 y=4x2，得 4x24xb=0=16+16b=0 时 b=1，代入得 x= ，所求点为（ ，1） 解法二：设该点坐标为 A（x 0，y 0） ，那么有 y0=4x02设点 A 到直线 y=4x5 的距离为 d，则d= = |4x02+4x05|= |4x024x0+
19、5|= |4（x 0 ） 2+1|当且仅当 x0= 时，d 有最小值，将 x0= 代入 y=4x2 解得 y0=1故 P 点坐标为（ ，1） 点 P 到直线 y=4x5 的距离最短21 （12 分）以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2=4cos（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，设点 P（1，1） ，直线 l与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|+|PB|的值【解答】解：（1）曲线 C 的极坐标方程为 sin2=4cos，即2sin2=4cos，曲线 C 的直角坐标方程为
20、 y2=4x（2）直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，代入曲线 C 方程 y2=4x可得（ 1+ t） 2=4（1+ t） ，整理得 ，t 1t2=150，点 P 在 AB 之间，|PA|+| PB|=|t1t2|= =4 22 （12 分）椭圆 的离心率为 ，右顶点为 （）求椭圆方程（）该椭圆的左右焦点分别为 F1，F 2，过 F1 的直线 l 与椭圆交于点 A、B，且F 2AB 面积为 ，求直线 l 的方程【解答】解：（）由题意可得：a= ，离心率e= = ， c=1，b 2=a2c2=1，所以椭圆 C 的方程为 5 分（）焦点 F1（1，0） ，因为直线 l 的斜率不为 0，所以可设直线方程为x=ky1，将其代入 x2+2y22=0，并化简得：k 2y22ky+1+2y2=2，整理得：（k 2+2）y 22ky1=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由韦达定理得：， |y 1y2|= = ， |F1F2|y1y2|= ，代入解出 k2=1直线的方程为 xy+1=0 或 x+y+1=0