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2017-2018学年黑龙江省牡丹江高二(上)期末数学文科试卷(1)含答案解析

1、2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的 )1 (5 分)已知点(3,2)在椭圆 + =1 上,则( )A点(3 , 2)不在椭圆上B点(3,2)不在椭圆上C点(3,2)在椭圆上D无法判断点(3 ,2) 、 (3, 2) 、 (3,2)是否在椭圆上2 (5 分)设椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F 2,P 是 C 上任意一点,则PF 1F2 的周长为( )A9 B13 C15 D183 (5 分)阅读如图的程序框图若输入 n=5,则输出 k 的值为( )

2、A2 B3 C4 D54 (5 分)已知焦点在 x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6,若该椭圆的离心率为 ,则椭圆的方程是( )A B C D5 (5 分)已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,它的焦距为 8,则此双曲线的方程为( )A B C D6 (5 分)方程 (t 为参数)表示的曲线是( )A一条直线 B两条射线C一条线段 D抛物线的一部分7 (5 分)把二进制的数 11111(2) 化成十进制的数为( )A31 B15 C16 D118 (5 分)已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的离心率为( )A B C D9 (5 分)抛物线 x2=4

3、y 的准线方程是( )Ay= 1 By=2 Cx= 1 Dx= 210 (5 分)已知双曲线 C 的中心为原点,点 是双曲线 C 的一个焦点,点 F 到渐近线的距离为 1,则 C 的方程为( )Ax 2y2=1 B C D11 (5 分)椭圆 + =1 的焦点为 F1,F 2,点 P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则F 1PF2 的余弦值为( )A B C D12 (5 分)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A、B 两点,与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则BCF 与ACF 的面积之比 =( )A B C D二、填空题(本大题共有 4 个小题,

4、每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在极坐标系中,点 P 的坐标为 ,则点 P 的直角坐标为 14 (5 分)已知椭圆 与坐标轴依次交于 A,B,C,D 四点,则四边形ABCD 的面积为 15 (5 分)过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直的直线交抛物线 M,N ,则|MN|= 16 (5 分)l 是经过双曲线 C: =1(a0,b0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A,B 是双曲线 C 的两个顶点,点在 l 存在一点 P,使APB=60,则双曲线离心率的最大值为 三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知曲

5、线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 =1把C1 的参数方程式化为普通方程,C 2 的极坐标方程式化为直角坐标方程18 (12 分)求与椭圆 有相同的焦距,且离心率为 的椭圆的标准方程19 (12 分)已知直线 l: ,圆 C 的极坐标方程为 =2sin()求圆 C 在直角坐标方程;()若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值20 (12 分)在抛物线 上找一点 P,使 P 到直线 y=4x5 的距离最短21 (12 分)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极

6、坐标方程为 sin2=4cos(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,设点 P(1,1) ,直线 l与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值22 (12 分)椭圆 的离心率为 ,右顶点为 ()求椭圆方程()该椭圆的左右焦点分别为 F1,F 2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于点 A、B,且F 2AB 面积为 ,求直线 l 的方程2017-2018 学年黑龙江省牡丹江高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的 )1

7、(5 分)已知点(3,2)在椭圆 + =1 上,则( )A点(3 , 2)不在椭圆上B点(3,2)不在椭圆上C点(3,2)在椭圆上D无法判断点(3 ,2) 、 (3, 2) 、 (3,2)是否在椭圆上【解答】解:因为点(3,2)在椭圆 + =1 上,由椭圆的对称性可得点(3,2) (3,2) ( 3, 2)均在椭圆 + =1 上故选 C2 (5 分)设椭圆 的左、右焦点分别为 F1,F 2,P 是 C 上任意一点,则PF 1F2 的周长为( )A9 B13 C15 D18【解答】解:根据题意,椭圆 ,其中 a= =5,b= =3,则 c= =4,P 是 C 上任意一点,则PF 1F2 的周长

8、l=|PF1|+|PF 2|+|F1F2|=2a+2c=10+8=18;故选:D3 (5 分)阅读如图的程序框图若输入 n=5,则输出 k 的值为( )A2 B3 C4 D5【解答】解:第一次执行循环体,n=16,不满足退出循环的条件,k=1; 第二次执行循环体,n=49,不满足退出循环的条件,k=2; 第三次执行循环体,n=148 ,不满足退出循环的条件, k=3; 第四次执行循环体,n=445 ,满足退出循环的条件,故输出 k 值为 3,故选:B4 (5 分)已知焦点在 x 轴上,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6,若该椭圆的离心率为 ,则椭圆的方程是( )A B C D【解答】解

9、:根据题意,中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为 6,即2a=6,则 a=3,又由椭圆的离心率为 ,即 e= = ,则 c=1,则有 b2=a2c2=8,又由椭圆的焦点在 x 轴上,则其标准方程为: + =1,故选:B5 (5 分)已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,它的焦距为 8,则此双曲线的方程为( )A B C D【解答】解:根据题意,双曲线的方程为 ,则双曲线的焦点在 x 轴上,若其一条渐近线方程为 ,则有 = ,即 b= a,又由双曲线的焦距为 8,即 2c=8,则有 c2=a2+b2=4a2=16,解可得:a 2=4,b 2=12,则双曲线的标准方程为 =1;故选:C6 (5 分)

10、方程 (t 为参数)表示的曲线是( )A一条直线 B两条射线C一条线段 D抛物线的一部分【解答】解:根据已知条件: ,在 x=2t( 1t1)时,函数 y=2所以,该函数的图象是平行于 x 轴的一条线段故选:C7 (5 分)把二进制的数 11111(2) 化成十进制的数为( )A31 B15 C16 D11【解答】解:11111 (2 )=20+21+22+23+24=1+2+4+8+16=31故选:A8 (5 分)已知双曲线 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的离心率为( )A B C D【解答】解:抛物线 y2=12x 的 p=6,开口方向向右,焦点是(3,0) ,双曲

11、线 的 c=3,a 2=94=5,e= 故选:B9 (5 分)抛物线 x2=4y 的准线方程是( )Ay= 1 By=2 Cx= 1 Dx= 2【解答】解:由 x2=2py(p 0)的准线方程为 y= ,则抛物线 x2=4y 的准线方程是 y=1,故选 A10 (5 分)已知双曲线 C 的中心为原点,点 是双曲线 C 的一个焦点,点 F 到渐近线的距离为 1,则 C 的方程为( )Ax 2y2=1 B C D【解答】解:根据题意,点 是双曲线 C 的一个焦点,则双曲线的焦点在 x 轴上,且 c= ,设其方程为 =1,则有 a2+b2=2,则双曲线的渐近线方程为 y= x,即 aybx=0,点

12、F 到渐近线的距离为 1,则有 =1,解可得 b=1;则 a=1,则双曲线的方程为 x2y2=1;故选:A11 (5 分)椭圆 + =1 的焦点为 F1,F 2,点 P 在椭圆上,若|PF 1|=4,则F 1PF2 的余弦值为( )A B C D【解答】解:根据题意,椭圆的标准方程为 + =1,其中 a= =3,b= ,则 c= ,则有|F 1F2|=2 ,若 a=3,则|PF 1|+|PF2|=2a=6,又由|PF 1|=4,则 |PF2|=6|PF1|=2,则 cosF 1PF2= = ;故选:A12 (5 分)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A

13、、B 两点,与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则BCF 与ACF 的面积之比 =( )A B C D【解答】解:如图过 B 作准线 l:x= 的垂线,垂足分别为 A1,B 1, = ,又B 1BC A1AC、 = ,由拋物线定义 = = 由|BF|=|BB 1|=2 知 xB= ,y B= ,AB:y0= (x ) 把 x= 代入上式,求得 yA=2,x A=2,|AF|= |AA1|= 故 = = = 故选 A二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)13 (5 分)在极坐标系中,点 P 的坐标为 ,则点 P 的直角坐标为 【解答】解:在极坐标系中,点 P 的

14、坐标为 , =1,y=2sin = ,点 P 的直角坐标为( 1, ) 故答案为:(1, ) 14 (5 分)已知椭圆 与坐标轴依次交于 A,B,C,D 四点,则四边形ABCD 的面积为 30 【解答】解:根据题意,椭圆 中,a= =5,b= =3,如图椭圆 与坐标轴依次交于 A,B ,C, D 四点,则 A(5 ,0) ,B(0 ,3) ,C(5,0) ,D(0,3) ,则|AO|=5 ,|DO|=3,四边形 ABCD 的面积 S=4SAOD =4 53=30;故答案为:3015 (5 分)过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直的直线交抛物线 M,N ,则|MN|= 6 【解答】解:根

15、据题意,抛物线 y2=6x 的焦点为( ,0)直线 MN 过抛物线 y2=6x 的焦点且与 x 轴垂直,设 M 的坐标( ,b) ,则 N 的坐标为( ,b) ,M 在抛物线上,则有 b2=6 ,解可得 b=3,|MN|=2|b|=6;故答案为:616 (5 分)l 是经过双曲线 C: =1(a0,b0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A,B 是双曲线 C 的两个顶点,点在 l 存在一点 P,使APB=60,则双曲线离心率的最大值为 【解答】解:设双曲线的焦点 F(c ,0) ,直线 l:x=c,可设点 P(c , n) ,A( a, 0) ,B(a,0) ,由两直线的夹角公式可得 tanAPB

16、=| |= , ,化简可得 3c24a 2,即 c a,即有 e 当且仅当 n= ,即 P(c, ) ,离心率取得最大值 故答案为 三、解答题(本大题共有 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17 (10 分)已知曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 =1把C1 的参数方程式化为普通方程,C 2 的极坐标方程式化为直角坐标方程【解答】解:曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,消去参数 ,得 C1 的普通方程是:(x1) 2+(y1) 2=1;曲线 C2 的极坐标方程为 =1,

17、化为直角坐标方程是 =1,即 x2+y2=118 (12 分)求与椭圆 有相同的焦距,且离心率为 的椭圆的标准方程【解答】解:根据题意,椭圆 的焦距为 2 =2 ,要求椭圆的焦距也为 2 ,即 2c=2 ,则 c= ,又由要求椭圆的离心率 e= ,则 a=5,则其中 b= =20,当椭圆的焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程为 ;当椭圆的焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程为 19 (12 分)已知直线 l: ,圆 C 的极坐标方程为 =2sin()求圆 C 在直角坐标方程;()若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值【解答】解:()圆 C 的极坐标方程为 =2sin即 2=2sin,化为:x

18、2+y2=2y,配方为: x2+(y 1) 2=1()C 的圆心 C(0, 1) ,r=1 圆 C 与直线 l 相切, =1,解得 a=3 或 120 (12 分)在抛物线 上找一点 P,使 P 到直线 y=4x5 的距离最短【解答】解法一:设与 y=4x5 平行的直线 y=4x+b 与 y=4x2 相切,则 y=4x+b 代入 y=4x2,得 4x24xb=0=16+16b=0 时 b=1,代入得 x= ,所求点为( ,1) 解法二:设该点坐标为 A(x 0,y 0) ,那么有 y0=4x02设点 A 到直线 y=4x5 的距离为 d,则d= = |4x02+4x05|= |4x024x0+

19、5|= |4(x 0 ) 2+1|当且仅当 x0= 时,d 有最小值,将 x0= 代入 y=4x2 解得 y0=1故 P 点坐标为( ,1) 点 P 到直线 y=4x5 的距离最短21 (12 分)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 sin2=4cos(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)若直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,设点 P(1,1) ,直线 l与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值【解答】解:(1)曲线 C 的极坐标方程为 sin2=4cos,即2sin2=4cos,曲线 C 的直角坐标方程为

20、 y2=4x(2)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,代入曲线 C 方程 y2=4x可得( 1+ t) 2=4(1+ t) ,整理得 ,t 1t2=150,点 P 在 AB 之间,|PA|+| PB|=|t1t2|= =4 22 (12 分)椭圆 的离心率为 ,右顶点为 ()求椭圆方程()该椭圆的左右焦点分别为 F1,F 2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于点 A、B,且F 2AB 面积为 ,求直线 l 的方程【解答】解:()由题意可得:a= ,离心率e= = , c=1,b 2=a2c2=1,所以椭圆 C 的方程为 5 分()焦点 F1(1,0) ,因为直线 l 的斜率不为 0,所以可设直线方程为x=ky1,将其代入 x2+2y22=0,并化简得:k 2y22ky+1+2y2=2,整理得:(k 2+2)y 22ky1=0,设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,由韦达定理得:, |y 1y2|= = , |F1F2|y1y2|= ,代入解出 k2=1直线的方程为 xy+1=0 或 x+y+1=0