1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1 （5 分）命题“x R，x 2x”的否定是（ ）A xR，x 2x BxR ，x 2=x CxR ，x 2x Dx R，x 2=x2 （5 分）抛物线 x2=20y 的焦点坐标为（ ）A （ 5，0） B （5，0） C （0，5） D （0， 5）3 （5 分）已知椭圆 的左焦点为 F1（3，0） ，则 m=（ ）A16 B9 C4 D34 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A8 B5 C4 D35 （5 分）在
2、区间1，5上任取一个数，则此数不大于 3 的概率是（ ）A B C D6 （5 分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（ ）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A线性回归直线一定过点（4.5 ，3.5）B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值必定是 3.15DA 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨7 （5 分）函数 f （ x） =sin x+ex，则 f（0）的值为（ ）A1 B2 C
3、3 D08 （5 分）已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）Am 2 或 m1 Bm2 C 1m2 Dm2 或2m19 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调增区间是（ ）A （ ，2 ） B （2，+ ） C （1，4） D （0，3）10 （5 分）过双曲线 的右焦点 F 作 x 轴的垂线，与 在第一象限的交点为 M，且直线 AM 的斜率大于 2，其中 A 为 的左顶点，则 的离心率的取值范围为（ ）A （1 ，3 ） B （3，+） C D11 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与
4、 C 的一个交点，若 =3 ，则|QF|=（ ）A B C3 D212 （5 分）已知 f（x ）=lnx + ，g（x）=x 22ax+4，若对x 1（0，2，x21，2，使得 f（x 1）g（x 2）成立，则 a 的取值范围是（ ）A ，+） B ，+） C ， D （， 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 14 （5 分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组别 成绩 人数 频率1 75，80） 5 0.052 80，85） 35
5、0.353 85，90） a b4 90，95） c d5 95，100） 10 0.1则 a= ，d= 15 （5 分）曲线 y=xex+2x+1 在点（0，1）处的切线方程为 16 （5 分）已知函数 f（ x）=x 3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17 题 10 分，18-22每题满分 70 分）17 （10 分）已知等差数列a n中，a 1+a4=10，a 5=10（1）求数列a n的通项公式；（2）已知 ，求数列b n的前 n 项和 Sn18 （12 分）已知ABC 的周长为 ，且
6、 （1）求边 BC 的长；（2）若ABC 的面积为 ，求角 A 的度数19 （12 分）为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度 ”（单位：天） ，某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了 80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度” 分为 6 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20 ，25） ，25 ，30 ，得到如图所示的频率分布直方图（1）求 a 的值；（2）求抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数；（3）在抽取的 80 名学生中，从月“关注度”不少于
7、 25 天的人中随机抽取 2 人，求至少抽取到 1 名女生的概率20 （12 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直，ADE=90， AFDE ，DE=DA=2AF=2（）求证：AC平面 BDE；（）求证：AC平面 BEF；（）求四面体 BDEF 的体积21 （12 分）已知函数 f（ x）=ln（x1）k（x1）+ 1（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围22 （12 分）已知椭圆 C： 经过 ，且椭圆 C 的离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点， O
8、 为坐标原点，OPOQ ，且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切，求圆 W 的方程2017-2018 学年黑龙江大庆高二上期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1 （5 分）命题“x R，x 2x”的否定是（ ）A xR，x 2x BxR ，x 2=x CxR ，x 2x Dx R，x 2=x【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，命题的否定是：x 0R， =x0故选：D2 （5 分）抛物线 x2=20y 的焦点坐标为（ ）A （ 5，0） B （5，0） C （0，5） D （0， 5）【解
9、答】解：抛物线 x2=20y 的焦点坐标为（0，5） 故选：C3 （5 分）已知椭圆 的左焦点为 F1（3，0） ，则 m=（ ）A16 B9 C4 D3【解答】解：椭圆 的左焦点为 F1（3，0） ，可得 25m2=9，解得 m=4故选：C4 （5 分）如图所示，程序框图的输出结果是（ ）A8 B5 C4 D3【解答】解：模拟程序的运行，可得x=1，y=1满足条件 x4，执行循环体， x=2，y=2满足条件 x4，执行循环体， x=4，y=3满足条件 x4，执行循环体， x=8，y=4不满足条件 x4，退出循环，输出 y 的值为 4故选：C5 （5 分）在区间1，5上任取一个数，则此数不大于
10、 3 的概率是（ ）A B C D【解答】解：由于此数不大于 3，所求事件构成的区域长度为：31=2，在区间1，5上任取一个数 x 构成的区域长度为 51=4，则此数不大于 3 的概率是 P= = ，故选：C6 （5 分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗 y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（ ）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A线性回归直线一定过点（4.5 ，3.5）B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值必定是 3.15DA 产品每多生
11、产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨【解答】解： = （3+4+ 5+6）= =4.5，则 =0.74.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（ 4.5，3.5） ，故 A 正确，0.70，产品的生产能耗与产量呈正相关，故 B 正确， = （2.5 +t+4+4.5）=3.5，得 t=3，故 C 错误，A 产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增加 0.7 吨，故 D 正确故选：C7 （5 分）函数 f （ x） =sin x+ex，则 f（0）的值为（ ）A1 B2 C3 D0【解答】解：f （ x）=sinx+e x，f（ x）=cosx+e x，f（0）=cos0+e
12、0=1+1=2，故选：B8 （5 分）已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ）Am 2 或 m1 Bm2 C 1m2 Dm2 或2m1【解答】解：椭圆的焦点在 x 轴上m 22+m，即 m22m0解得 m2 或 m1又2+m0m2m 的取值范围：m2 或 2m1故选 D9 （5 分）函数 f（x ）=（x3）e x 的单调增区间是（ ）A （ ，2 ） B （2，+ ） C （1，4） D （0，3）【解答】解：f（x ）=（x3）e x+（x3） （e x）=（x2）e x，令 f（x）0，即（x2）e x0，解得 x2 故选：B10 （5 分）过双曲线 的右焦点 F
13、 作 x 轴的垂线，与 在第一象限的交点为 M，且直线 AM 的斜率大于 2，其中 A 为 的左顶点，则 的离心率的取值范围为（ ）A （1 ，3 ） B （3，+） C D【解答】解：双曲线 的右焦点 F（c，0）作 x 轴的垂线，与 在第一象限的交点为 M（c ， ） ，且直线 AM 的斜率大于 2，其中A 为 的左顶点（a ，0） ，可得： ，即 b22ac+2a 2，可得：c 22ac+3a 2，即：e 22e30，因为 e1，解得 e3则 的离心率的取值范围为：（3，+） 故选：B11 （5 分）已知抛物线 C：y 2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线
14、PF 与 C 的一个交点，若 =3 ，则|QF|=（ ）A B C3 D2【解答】解：设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为 N， =3 ， = ，又 |MF|=p=4，|NQ|= ，|NQ|=|QF|，|QF |= 故选：A12 （5 分）已知 f（x ）=lnx + ，g（x）=x 22ax+4，若对x 1（0，2，x21，2，使得 f（x 1）g（x 2）成立，则 a 的取值范围是（ ）A ，+） B ，+） C ， D （， 【解答】解：因为 f（x ）= = = ，易知当 x（0，1）时，f（x ）0，当 x（1，2）时，f（x）0，所以 f（ x）在（0
15、，1）上递减，在 1，2上递增，故 f（x） min=f（1）= 对于二次函数 g（x）=）= x22ax+4，该函数开口向下，所以其在区间1，2上的最小值在端点处取得，所以要使对x 1（0，2， x21，2，使得 f（x 1）g（x 2）成立，只需f（x 1） ming （x 2） min，即 或 ，所以 或 解得 故选 A二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13 （5 分）离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 =1 【解答】解：根据题意，椭圆 + =1 的焦点为（ 4，0） ，又由双曲线与椭圆有共同焦点，则双曲线的焦点在 x 轴上，且 c=4，设其方程为
16、=1，又由双曲线的离心率 e=2，即 e= =2，则 a=2，b2=c2a2=164=12，则双曲线的方程为： =1；故答案为： =114 （5 分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组别 成绩 人数 频率1 75，80） 5 0.052 80，85） 35 0.353 85，90） a b4 90，95） c d5 95，100） 10 0.1则 a= 30 ，d= 0.2 【解答】解：由频率分布表和频率分布直方图得：a=0.061005=30，d=0.045=0.2故答案为：30，0.215 （5 分）曲线 y=xex
17、+2x+1 在点（0，1）处的切线方程为 y=3x+1 【解答】解：y=e x+xex+2，y| x=0=3，切线方程为 y1=3（x0） ，y=3x +1故答案为：y=3x+116 （5 分）已知函数 f（ x）=x 3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值又存在极小值，则实数 m 的取值范围是 m 3 或 m6 【解答】解：函数 f（x ）=x 3+mx2+（m+6）x+1 既存在极大值，又存在极小值f（x ）=3x 2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，=4m 212（m+6）0解得 m3 或 m6故答案为：m3 或 m6三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（1
18、7 题 10 分，18-22每题满分 70 分）17 （10 分）已知等差数列a n中，a 1+a4=10，a 5=10（1）求数列a n的通项公式；（2）已知 ，求数列b n的前 n 项和 Sn【解答】解：（1）等差数列a n中，设首项为 a1，公差为 d，由于：a 1+a4=10，a 5=10则： ，解得： ，所以：a n=2+2（n1 ）=2n ，（2）由于：a n=2n，所以： = ，则： ，=1 ，= 18 （12 分）已知ABC 的周长为 ，且 （1）求边 BC 的长；（2）若ABC 的面积为 ，求角 A 的度数【解答】 （1）由题意及正弦定理，得 ， ，BC=1（2） ， 又 ，
19、由余弦定理，得 = = ，A=6019 （12 分）为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度 ”（单位：天） ，某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了 80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度” 分为 6 组：0，5） ，5，10） ，10，15） ，15，20） ，20 ，25） ，25 ，30 ，得到如图所示的频率分布直方图（1）求 a 的值；（2）求抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数；（3）在抽取的 80 名学生中，从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人，求
20、至少抽取到 1 名女生的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图，知（0.01+0.01+0.03 +0.08+a+0.02）5=1，解得 a=0.05（2）在所抽取的女生中，月“关注度”不少于 15 天的频率为（0.06+0.03 +0.01）5=0.5，所以月“关注度 ”不少于 15 天的女生有 0.540=20（人） 在所抽取的男生中，月“ 关注度” 不少于 15 天的概率为（0.08+0.05 +0.02）5=0.75，所以月“关注度 ”不少于 15 天的男生有 0.7540=30（人） 故抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数共有 50 人（3）记“在抽取的 80 名
21、学生中，从月“关注度” 不少于 25 天的人中随机抽取 2人，至少抽到 1 名女生”为事件 A，在抽取的女生中，月“ 关注度” 不少于 25 天的频率为 0.015=0.05，人数为0.0540=2 人，分别记为 a1，a 2在抽取的男生中，月“ 关注度” 不少于 25 天的频率为 0.025=0.10，人数为0.1040=4 人，分别记为 b1，b 2，b 3，b 4，则在抽取的 80 名学生中，共有 6 人月“关注度”不少于 25 天，从中随机抽取 2人，所有可能的结果为：（a 1，a 2） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 1，b 4） ，
22、 （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ，（a 2，b 3） ，（a 2，b 4） ， （ b1，b 2） ， （b 1，b 3） ， （b 1，b 4） ， （b 2， b3） ， （b 2，b 4） ， （b 3，b 4）共15 种，而事件 A 包含的结果有：（a 1，a 2） ， （a 1，b 1） ， （a 1，b 2） ， （a 1，b 3） ， （a 1，b 4） ， （a 2，b 1） ， （a 2，b 2） ，（a 2，b 3） ， （ a2，b 4）共 9 种，所以至少抽取到 1 名女生的概率 20 （12 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面
23、互相垂直，ADE=90， AFDE ，DE=DA=2AF=2（）求证：AC平面 BDE；（）求证：AC平面 BEF；（）求四面体 BDEF 的体积【解答】解：（）证明：平面 ABCD平面 ADEF，ADE=90，DE平面 ABCD，DE AC ABCD 是正方形，ACBD，AC平面 BDE（）证明：设 ACBD=O ，取 BE 中点 G，连接 FG，OG，OG 为BDE 的中位线OGAFDE，DE=2AF，AF OG，四边形 AFGO 是平行四边形，FGAOFG平面 BEF，AO 平面 BEF，AO平面 BEF，即 AC平面 BEF （）平面 ABCD平面ADEF， ABAD，AB平面 ADE
24、FAFDE， ADE=90， DE=DA=2AF=2，DEF 的面积为 ，四面体 BDEF 的体积= = 21 （12 分）已知函数 f（ x）=ln（x1）k（x1）+ 1（1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x ）的定义域为（1，+） ， ，当 k0 时， ，函数 f（x ）的递增区间为（1，+） ，当 k0 时， ，当 时，f（x ）0，当 时，f（x）0，所以函数 f（x）的递增区间为 ，函数 f（x）的递减区间为（2）由 f（x）0 得 ，令 ，则 ，当 1x2 时，y0，当 x2 时，y0，所以 的最大
25、值为y（2）=1 ，故 k122 （12 分）已知椭圆 C： 经过 ，且椭圆 C 的离心率为 （1）求椭圆 C 的方程；（2）设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点， O 为坐标原点，OPOQ ，且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切，求圆 W 的方程【解答】解：（1）因为 C 经过点（0， ） ，所以 b2=2，又因为椭圆 C 的离心率为 e= = = ，则 a2=4，所以椭圆 C 的方程为： （2）设 P（x 1，y 1）Q （x 2，y 2）l 的方程为 y=kx+m，由 ，整理得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m24=0，由 OPOQ，则 =0，即 x1x2+y1y2=0，即（1+k 2）x 1x2+km（x 1+x2）+m 2= ，3m 2=4k2+4=4（k 2+1） ，=16k 2m24（1+2k 2） （2m 24）=8（4k 2m2+2）0 成立，因为 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切 所以 O 到 l 的距离即定圆 W 的方程为