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2017-2018学年黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(文科)含答案解析

1、2017-2018 学年黑龙江省大庆高二(上)期末数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1 (5 分)命题“x R,x 2x”的否定是( )A xR,x 2x BxR ,x 2=x CxR ,x 2x Dx R,x 2=x2 (5 分)抛物线 x2=20y 的焦点坐标为( )A ( 5,0) B (5,0) C (0,5) D (0, 5)3 (5 分)已知椭圆 的左焦点为 F1(3,0) ,则 m=( )A16 B9 C4 D34 (5 分)如图所示,程序框图的输出结果是( )A8 B5 C4 D35 (5 分)在

2、区间1,5上任取一个数,则此数不大于 3 的概率是( )A B C D6 (5 分)如表提供了某厂节能降耗改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A线性回归直线一定过点(4.5 ,3.5)B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值必定是 3.15DA 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨7 (5 分)函数 f ( x) =sin x+ex,则 f(0)的值为( )A1 B2 C

3、3 D08 (5 分)已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( )Am 2 或 m1 Bm2 C 1m2 Dm2 或2m19 (5 分)函数 f(x )=(x3)e x 的单调增区间是( )A ( ,2 ) B (2,+ ) C (1,4) D (0,3)10 (5 分)过双曲线 的右焦点 F 作 x 轴的垂线,与 在第一象限的交点为 M,且直线 AM 的斜率大于 2,其中 A 为 的左顶点,则 的离心率的取值范围为( )A (1 ,3 ) B (3,+) C D11 (5 分)已知抛物线 C:y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与

4、 C 的一个交点,若 =3 ,则|QF|=( )A B C3 D212 (5 分)已知 f(x )=lnx + ,g(x)=x 22ax+4,若对x 1(0,2,x21,2,使得 f(x 1)g(x 2)成立,则 a 的取值范围是( )A ,+) B ,+) C , D (, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13 (5 分)离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 14 (5 分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组别 成绩 人数 频率1 75,80) 5 0.052 80,85) 35

5、0.353 85,90) a b4 90,95) c d5 95,100) 10 0.1则 a= ,d= 15 (5 分)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 16 (5 分)已知函数 f( x)=x 3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17 题 10 分,18-22每题满分 70 分)17 (10 分)已知等差数列a n中,a 1+a4=10,a 5=10(1)求数列a n的通项公式;(2)已知 ,求数列b n的前 n 项和 Sn18 (12 分)已知ABC 的周长为 ,且

6、 (1)求边 BC 的长;(2)若ABC 的面积为 ,求角 A 的度数19 (12 分)为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度 ”(单位:天) ,某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了 80名学生(其中男女人数各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月“关注度” 分为 6 组:0,5) ,5,10) ,10,15) ,15,20) ,20 ,25) ,25 ,30 ,得到如图所示的频率分布直方图(1)求 a 的值;(2)求抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数;(3)在抽取的 80 名学生中,从月“关注度”不少于

7、 25 天的人中随机抽取 2 人,求至少抽取到 1 名女生的概率20 (12 分)如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直,ADE=90, AFDE ,DE=DA=2AF=2()求证:AC平面 BDE;()求证:AC平面 BEF;()求四面体 BDEF 的体积21 (12 分)已知函数 f( x)=ln(x1)k(x1)+ 1(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围22 (12 分)已知椭圆 C: 经过 ,且椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点, O

8、 为坐标原点,OPOQ ,且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切,求圆 W 的方程2017-2018 学年黑龙江大庆高二上期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求.1 (5 分)命题“x R,x 2x”的否定是( )A xR,x 2x BxR ,x 2=x CxR ,x 2x Dx R,x 2=x【解答】解:根据全称命题的否定是特称命题,命题的否定是:x 0R, =x0故选:D2 (5 分)抛物线 x2=20y 的焦点坐标为( )A ( 5,0) B (5,0) C (0,5) D (0, 5)【解

9、答】解:抛物线 x2=20y 的焦点坐标为(0,5) 故选:C3 (5 分)已知椭圆 的左焦点为 F1(3,0) ,则 m=( )A16 B9 C4 D3【解答】解:椭圆 的左焦点为 F1(3,0) ,可得 25m2=9,解得 m=4故选:C4 (5 分)如图所示,程序框图的输出结果是( )A8 B5 C4 D3【解答】解:模拟程序的运行,可得x=1,y=1满足条件 x4,执行循环体, x=2,y=2满足条件 x4,执行循环体, x=4,y=3满足条件 x4,执行循环体, x=8,y=4不满足条件 x4,退出循环,输出 y 的值为 4故选:C5 (5 分)在区间1,5上任取一个数,则此数不大于

10、 3 的概率是( )A B C D【解答】解:由于此数不大于 3,所求事件构成的区域长度为:31=2,在区间1,5上任取一个数 x 构成的区域长度为 51=4,则此数不大于 3 的概率是 P= = ,故选:C6 (5 分)如表提供了某厂节能降耗改造后在生产 A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 =0.7x+0.35,则下列结论错误的是( )x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A线性回归直线一定过点(4.5 ,3.5)B产品的生产能耗与产量呈正相关C t 的取值必定是 3.15DA 产品每多生

11、产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨【解答】解: = (3+4+ 5+6)= =4.5,则 =0.74.5+0.35=3.5,即线性回归直线一定过点( 4.5,3.5) ,故 A 正确,0.70,产品的生产能耗与产量呈正相关,故 B 正确, = (2.5 +t+4+4.5)=3.5,得 t=3,故 C 错误,A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨,故 D 正确故选:C7 (5 分)函数 f ( x) =sin x+ex,则 f(0)的值为( )A1 B2 C3 D0【解答】解:f ( x)=sinx+e x,f( x)=cosx+e x,f(0)=cos0+e

12、0=1+1=2,故选:B8 (5 分)已知方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是( )Am 2 或 m1 Bm2 C 1m2 Dm2 或2m1【解答】解:椭圆的焦点在 x 轴上m 22+m,即 m22m0解得 m2 或 m1又2+m0m2m 的取值范围:m2 或 2m1故选 D9 (5 分)函数 f(x )=(x3)e x 的单调增区间是( )A ( ,2 ) B (2,+ ) C (1,4) D (0,3)【解答】解:f(x )=(x3)e x+(x3) (e x)=(x2)e x,令 f(x)0,即(x2)e x0,解得 x2 故选:B10 (5 分)过双曲线 的右焦点 F

13、 作 x 轴的垂线,与 在第一象限的交点为 M,且直线 AM 的斜率大于 2,其中 A 为 的左顶点,则 的离心率的取值范围为( )A (1 ,3 ) B (3,+) C D【解答】解:双曲线 的右焦点 F(c,0)作 x 轴的垂线,与 在第一象限的交点为 M(c , ) ,且直线 AM 的斜率大于 2,其中A 为 的左顶点(a ,0) ,可得: ,即 b22ac+2a 2,可得:c 22ac+3a 2,即:e 22e30,因为 e1,解得 e3则 的离心率的取值范围为:(3,+) 故选:B11 (5 分)已知抛物线 C:y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线

14、PF 与 C 的一个交点,若 =3 ,则|QF|=( )A B C3 D2【解答】解:设 l 与 x 轴的交点为 M,过 Q 向准线 l 作垂线,垂足为 N, =3 , = ,又 |MF|=p=4,|NQ|= ,|NQ|=|QF|,|QF |= 故选:A12 (5 分)已知 f(x )=lnx + ,g(x)=x 22ax+4,若对x 1(0,2,x21,2,使得 f(x 1)g(x 2)成立,则 a 的取值范围是( )A ,+) B ,+) C , D (, 【解答】解:因为 f(x )= = = ,易知当 x(0,1)时,f(x )0,当 x(1,2)时,f(x)0,所以 f( x)在(0

15、,1)上递减,在 1,2上递增,故 f(x) min=f(1)= 对于二次函数 g(x)=)= x22ax+4,该函数开口向下,所以其在区间1,2上的最小值在端点处取得,所以要使对x 1(0,2, x21,2,使得 f(x 1)g(x 2)成立,只需f(x 1) ming (x 2) min,即 或 ,所以 或 解得 故选 A二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13 (5 分)离心率为 2 且与椭圆 + =1 有共同焦点的双曲线方程是 =1 【解答】解:根据题意,椭圆 + =1 的焦点为( 4,0) ,又由双曲线与椭圆有共同焦点,则双曲线的焦点在 x 轴上,且 c=4,设其方程为

16、=1,又由双曲线的离心率 e=2,即 e= =2,则 a=2,b2=c2a2=164=12,则双曲线的方程为: =1;故答案为: =114 (5 分)某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩,分为 5 组制出频率分布直方图如图所示组别 成绩 人数 频率1 75,80) 5 0.052 80,85) 35 0.353 85,90) a b4 90,95) c d5 95,100) 10 0.1则 a= 30 ,d= 0.2 【解答】解:由频率分布表和频率分布直方图得:a=0.061005=30,d=0.045=0.2故答案为:30,0.215 (5 分)曲线 y=xex

17、+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 y=3x+1 【解答】解:y=e x+xex+2,y| x=0=3,切线方程为 y1=3(x0) ,y=3x +1故答案为:y=3x+116 (5 分)已知函数 f( x)=x 3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的取值范围是 m 3 或 m6 【解答】解:函数 f(x )=x 3+mx2+(m+6)x+1 既存在极大值,又存在极小值f(x )=3x 2+2mx+m+6=0,它有两个不相等的实根,=4m 212(m+6)0解得 m3 或 m6故答案为:m3 或 m6三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1

18、7 题 10 分,18-22每题满分 70 分)17 (10 分)已知等差数列a n中,a 1+a4=10,a 5=10(1)求数列a n的通项公式;(2)已知 ,求数列b n的前 n 项和 Sn【解答】解:(1)等差数列a n中,设首项为 a1,公差为 d,由于:a 1+a4=10,a 5=10则: ,解得: ,所以:a n=2+2(n1 )=2n ,(2)由于:a n=2n,所以: = ,则: ,=1 ,= 18 (12 分)已知ABC 的周长为 ,且 (1)求边 BC 的长;(2)若ABC 的面积为 ,求角 A 的度数【解答】 (1)由题意及正弦定理,得 , ,BC=1(2) , 又 ,

19、由余弦定理,得 = = ,A=6019 (12 分)为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度 ”(单位:天) ,某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了 80名学生(其中男女人数各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月“关注度” 分为 6 组:0,5) ,5,10) ,10,15) ,15,20) ,20 ,25) ,25 ,30 ,得到如图所示的频率分布直方图(1)求 a 的值;(2)求抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数;(3)在抽取的 80 名学生中,从月“关注度”不少于 25 天的人中随机抽取 2 人,求

20、至少抽取到 1 名女生的概率【解答】解:(1)由频率分布直方图,知(0.01+0.01+0.03 +0.08+a+0.02)5=1,解得 a=0.05(2)在所抽取的女生中,月“关注度”不少于 15 天的频率为(0.06+0.03 +0.01)5=0.5,所以月“关注度 ”不少于 15 天的女生有 0.540=20(人) 在所抽取的男生中,月“ 关注度” 不少于 15 天的概率为(0.08+0.05 +0.02)5=0.75,所以月“关注度 ”不少于 15 天的男生有 0.7540=30(人) 故抽取的 80 名学生中月“关注度”不少于 15 天的人数共有 50 人(3)记“在抽取的 80 名

21、学生中,从月“关注度” 不少于 25 天的人中随机抽取 2人,至少抽到 1 名女生”为事件 A,在抽取的女生中,月“ 关注度” 不少于 25 天的频率为 0.015=0.05,人数为0.0540=2 人,分别记为 a1,a 2在抽取的男生中,月“ 关注度” 不少于 25 天的频率为 0.025=0.10,人数为0.1040=4 人,分别记为 b1,b 2,b 3,b 4,则在抽取的 80 名学生中,共有 6 人月“关注度”不少于 25 天,从中随机抽取 2人,所有可能的结果为:(a 1,a 2) , (a 1,b 1) , (a 1,b 2) , (a 1,b 3) , (a 1,b 4) ,

22、 (a 2,b 1) , (a 2,b 2) ,(a 2,b 3) ,(a 2,b 4) , ( b1,b 2) , (b 1,b 3) , (b 1,b 4) , (b 2, b3) , (b 2,b 4) , (b 3,b 4)共15 种,而事件 A 包含的结果有:(a 1,a 2) , (a 1,b 1) , (a 1,b 2) , (a 1,b 3) , (a 1,b 4) , (a 2,b 1) , (a 2,b 2) ,(a 2,b 3) , ( a2,b 4)共 9 种,所以至少抽取到 1 名女生的概率 20 (12 分)如图所示,正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面

23、互相垂直,ADE=90, AFDE ,DE=DA=2AF=2()求证:AC平面 BDE;()求证:AC平面 BEF;()求四面体 BDEF 的体积【解答】解:()证明:平面 ABCD平面 ADEF,ADE=90,DE平面 ABCD,DE AC ABCD 是正方形,ACBD,AC平面 BDE()证明:设 ACBD=O ,取 BE 中点 G,连接 FG,OG,OG 为BDE 的中位线OGAFDE,DE=2AF,AF OG,四边形 AFGO 是平行四边形,FGAOFG平面 BEF,AO 平面 BEF,AO平面 BEF,即 AC平面 BEF ()平面 ABCD平面ADEF, ABAD,AB平面 ADE

24、FAFDE, ADE=90, DE=DA=2AF=2,DEF 的面积为 ,四面体 BDEF 的体积= = 21 (12 分)已知函数 f( x)=ln(x1)k(x1)+ 1(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围【解答】解:(1)函数 f(x )的定义域为(1,+) , ,当 k0 时, ,函数 f(x )的递增区间为(1,+) ,当 k0 时, ,当 时,f(x )0,当 时,f(x)0,所以函数 f(x)的递增区间为 ,函数 f(x)的递减区间为(2)由 f(x)0 得 ,令 ,则 ,当 1x2 时,y0,当 x2 时,y0,所以 的最大

25、值为y(2)=1 ,故 k122 (12 分)已知椭圆 C: 经过 ,且椭圆 C 的离心率为 (1)求椭圆 C 的方程;(2)设斜率存在的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点, O 为坐标原点,OPOQ ,且 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切,求圆 W 的方程【解答】解:(1)因为 C 经过点(0, ) ,所以 b2=2,又因为椭圆 C 的离心率为 e= = = ,则 a2=4,所以椭圆 C 的方程为: (2)设 P(x 1,y 1)Q (x 2,y 2)l 的方程为 y=kx+m,由 ,整理得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m24=0,由 OPOQ,则 =0,即 x1x2+y1y2=0,即(1+k 2)x 1x2+km(x 1+x2)+m 2= ,3m 2=4k2+4=4(k 2+1) ,=16k 2m24(1+2k 2) (2m 24)=8(4k 2m2+2)0 成立,因为 l 与圆心为 O 的定圆 W 相切 所以 O 到 l 的距离即定圆 W 的方程为